MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tgpconcompeqg Unicode version

Theorem tgpconcompeqg 18062
Description: The connected component containing  A is the left coset of the identity component containing  A. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tgpconcomp.x  |-  X  =  ( Base `  G
)
tgpconcomp.z  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
tgpconcomp.j  |-  J  =  ( TopOpen `  G )
tgpconcomp.s  |-  S  = 
U. { x  e. 
~P X  |  (  .0.  e.  x  /\  ( Jt  x )  e.  Con ) }
tgpconcompeqg.r  |-  .~  =  ( G ~QG  S )
Assertion
Ref Expression
tgpconcompeqg  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  A  e.  X )  ->  [ A ]  .~  =  U. {
x  e.  ~P X  |  ( A  e.  x  /\  ( Jt  x )  e.  Con ) } )
Distinct variable groups:    x,  .0.    x, A    x, J    x, G    x, X
Allowed substitution hints:    .~ ( x)    S( x)

Proof of Theorem tgpconcompeqg
Dummy variables  y 
z  g are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dfec2 6844 . . . . 5  |-  ( A  e.  X  ->  [ A ]  .~  =  { z  |  A  .~  z } )
21adantl 453 . . . 4  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  A  e.  X )  ->  [ A ]  .~  =  { z  |  A  .~  z } )
3 tgpconcomp.s . . . . . . . . 9  |-  S  = 
U. { x  e. 
~P X  |  (  .0.  e.  x  /\  ( Jt  x )  e.  Con ) }
4 ssrab2 3371 . . . . . . . . . 10  |-  { x  e.  ~P X  |  (  .0.  e.  x  /\  ( Jt  x )  e.  Con ) }  C_  ~P X
5 sspwuni 4117 . . . . . . . . . 10  |-  ( { x  e.  ~P X  |  (  .0.  e.  x  /\  ( Jt  x )  e.  Con ) } 
C_  ~P X  <->  U. { x  e.  ~P X  |  (  .0.  e.  x  /\  ( Jt  x )  e.  Con ) }  C_  X )
64, 5mpbi 200 . . . . . . . . 9  |-  U. {
x  e.  ~P X  |  (  .0.  e.  x  /\  ( Jt  x )  e.  Con ) } 
C_  X
73, 6eqsstri 3321 . . . . . . . 8  |-  S  C_  X
87a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  A  e.  X )  ->  S  C_  X )
9 tgpconcomp.x . . . . . . . 8  |-  X  =  ( Base `  G
)
10 eqid 2387 . . . . . . . 8  |-  ( inv g `  G )  =  ( inv g `  G )
11 eqid 2387 . . . . . . . 8  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
12 tgpconcompeqg.r . . . . . . . 8  |-  .~  =  ( G ~QG  S )
139, 10, 11, 12eqgval 14916 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  C_  X )  ->  ( A  .~  z  <->  ( A  e.  X  /\  z  e.  X  /\  (
( ( inv g `  G ) `  A
) ( +g  `  G
) z )  e.  S ) ) )
148, 13syldan 457 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  A  e.  X )  ->  ( A  .~  z  <->  ( A  e.  X  /\  z  e.  X  /\  (
( ( inv g `  G ) `  A
) ( +g  `  G
) z )  e.  S ) ) )
15 simp2 958 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  X  /\  z  e.  X  /\  ( ( ( inv g `  G ) `
 A ) ( +g  `  G ) z )  e.  S
)  ->  z  e.  X )
1614, 15syl6bi 220 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  A  e.  X )  ->  ( A  .~  z  ->  z  e.  X ) )
1716abssdv 3360 . . . 4  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  A  e.  X )  ->  { z  |  A  .~  z }  C_  X )
182, 17eqsstrd 3325 . . 3  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  A  e.  X )  ->  [ A ]  .~  C_  X )
19 simpr 448 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  A  e.  X )  ->  A  e.  X )
20 tgpgrp 18029 . . . . . . 7  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  G  e.  Grp )
21 tgpconcomp.z . . . . . . . 8  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
229, 11, 21, 10grplinv 14778 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  ->  ( ( ( inv g `  G ) `
 A ) ( +g  `  G ) A )  =  .0.  )
2320, 22sylan 458 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  A  e.  X )  ->  (
( ( inv g `  G ) `  A
) ( +g  `  G
) A )  =  .0.  )
24 tgpconcomp.j . . . . . . . . 9  |-  J  =  ( TopOpen `  G )
2524, 9tgptopon 18033 . . . . . . . 8  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
2625adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  A  e.  X )  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
2720adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  A  e.  X )  ->  G  e.  Grp )
289, 21grpidcl 14760 . . . . . . . 8  |-  ( G  e.  Grp  ->  .0.  e.  X )
2927, 28syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  A  e.  X )  ->  .0.  e.  X )
303concompid 17415 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  .0.  e.  X )  ->  .0.  e.  S )
3126, 29, 30syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  A  e.  X )  ->  .0.  e.  S )
3223, 31eqeltrd 2461 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  A  e.  X )  ->  (
( ( inv g `  G ) `  A
) ( +g  `  G
) A )  e.  S )
339, 10, 11, 12eqgval 14916 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  C_  X )  ->  ( A  .~  A  <->  ( A  e.  X  /\  A  e.  X  /\  ( ( ( inv g `  G ) `  A
) ( +g  `  G
) A )  e.  S ) ) )
348, 33syldan 457 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  A  e.  X )  ->  ( A  .~  A  <->  ( A  e.  X  /\  A  e.  X  /\  ( ( ( inv g `  G ) `  A
) ( +g  `  G
) A )  e.  S ) ) )
3519, 19, 32, 34mpbir3and 1137 . . . 4  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  A  e.  X )  ->  A  .~  A )
36 elecg 6879 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  X  /\  A  e.  X )  ->  ( A  e.  [ A ]  .~  <->  A  .~  A ) )
3719, 19, 36syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  A  e.  X )  ->  ( A  e.  [ A ]  .~  <->  A  .~  A ) )
3835, 37mpbird 224 . . 3  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  A  e.  X )  ->  A  e.  [ A ]  .~  )
399, 12, 11eqglact 14918 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  S  C_  X  /\  A  e.  X )  ->  [ A ]  .~  =  ( ( z  e.  X  |->  ( A ( +g  `  G
) z ) )
" S ) )
407, 39mp3an2 1267 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  ->  [ A ]  .~  =  ( ( z  e.  X  |->  ( A ( +g  `  G
) z ) )
" S ) )
4120, 40sylan 458 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  A  e.  X )  ->  [ A ]  .~  =  ( ( z  e.  X  |->  ( A ( +g  `  G
) z ) )
" S ) )
4241oveq2d 6036 . . . 4  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  A  e.  X )  ->  ( Jt  [ A ]  .~  )  =  ( Jt  ( ( z  e.  X  |->  ( A ( +g  `  G
) z ) )
" S ) ) )
43 eqid 2387 . . . . 5  |-  U. J  =  U. J
44 eqid 2387 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  X  |->  ( A ( +g  `  G
) z ) )  =  ( z  e.  X  |->  ( A ( +g  `  G ) z ) )
4544, 9, 11, 24tgplacthmeo 18054 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  A  e.  X )  ->  (
z  e.  X  |->  ( A ( +g  `  G
) z ) )  e.  ( J  Homeo  J ) )
46 hmeocn 17713 . . . . . 6  |-  ( ( z  e.  X  |->  ( A ( +g  `  G
) z ) )  e.  ( J  Homeo  J )  ->  ( z  e.  X  |->  ( A ( +g  `  G
) z ) )  e.  ( J  Cn  J ) )
4745, 46syl 16 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  A  e.  X )  ->  (
z  e.  X  |->  ( A ( +g  `  G
) z ) )  e.  ( J  Cn  J ) )
48 toponuni 16915 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  =  U. J )
4926, 48syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  A  e.  X )  ->  X  =  U. J )
507, 49syl5sseq 3339 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  A  e.  X )  ->  S  C_ 
U. J )
513concompcon 17416 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  .0.  e.  X )  ->  ( Jt  S )  e.  Con )
5226, 29, 51syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  A  e.  X )  ->  ( Jt  S )  e.  Con )
5343, 47, 50, 52conima 17409 . . . 4  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  A  e.  X )  ->  ( Jt  ( ( z  e.  X  |->  ( A ( +g  `  G ) z ) ) " S ) )  e. 
Con )
5442, 53eqeltrd 2461 . . 3  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  A  e.  X )  ->  ( Jt  [ A ]  .~  )  e.  Con )
55 eqid 2387 . . . 4  |-  U. {
x  e.  ~P X  |  ( A  e.  x  /\  ( Jt  x )  e.  Con ) }  =  U. { x  e.  ~P X  |  ( A  e.  x  /\  ( Jt  x )  e.  Con ) }
5655concompss 17417 . . 3  |-  ( ( [ A ]  .~  C_  X  /\  A  e. 
[ A ]  .~  /\  ( Jt  [ A ]  .~  )  e.  Con )  ->  [ A ]  .~  C_ 
U. { x  e. 
~P X  |  ( A  e.  x  /\  ( Jt  x )  e.  Con ) } )
5718, 38, 54, 56syl3anc 1184 . 2  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  A  e.  X )  ->  [ A ]  .~  C_  U. { x  e.  ~P X  |  ( A  e.  x  /\  ( Jt  x )  e.  Con ) } )
58 elpwi 3750 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ~P X  -> 
y  C_  X )
5944mptpreima 5303 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( `' ( z  e.  X  |->  ( A ( +g  `  G ) z ) ) " y )  =  { z  e.  X  |  ( A ( +g  `  G
) z )  e.  y }
60 ssrab2 3371 . . . . . . . . . . . 12  |-  { z  e.  X  |  ( A ( +g  `  G
) z )  e.  y }  C_  X
6159, 60eqsstri 3321 . . . . . . . . . . 11  |-  ( `' ( z  e.  X  |->  ( A ( +g  `  G ) z ) ) " y ) 
C_  X
6261a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  A  e.  X )  /\  ( y  C_  X  /\  ( A  e.  y  /\  ( Jt  y )  e.  Con )
) )  ->  ( `' ( z  e.  X  |->  ( A ( +g  `  G ) z ) ) "
y )  C_  X
)
6329adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  A  e.  X )  /\  ( y  C_  X  /\  ( A  e.  y  /\  ( Jt  y )  e.  Con )
) )  ->  .0.  e.  X )
649, 11, 21grprid 14763 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  ->  ( A ( +g  `  G )  .0.  )  =  A )
6520, 64sylan 458 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  A  e.  X )  ->  ( A ( +g  `  G
)  .0.  )  =  A )
6665adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  A  e.  X )  /\  ( y  C_  X  /\  ( A  e.  y  /\  ( Jt  y )  e.  Con )
) )  ->  ( A ( +g  `  G
)  .0.  )  =  A )
67 simprrl 741 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  A  e.  X )  /\  ( y  C_  X  /\  ( A  e.  y  /\  ( Jt  y )  e.  Con )
) )  ->  A  e.  y )
6866, 67eqeltrd 2461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  A  e.  X )  /\  ( y  C_  X  /\  ( A  e.  y  /\  ( Jt  y )  e.  Con )
) )  ->  ( A ( +g  `  G
)  .0.  )  e.  y )
69 oveq2 6028 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  .0.  ->  ( A ( +g  `  G
) z )  =  ( A ( +g  `  G )  .0.  )
)
7069eleq1d 2453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  .0.  ->  (
( A ( +g  `  G ) z )  e.  y  <->  ( A
( +g  `  G )  .0.  )  e.  y ) )
7170, 59elrab2 3037 . . . . . . . . . . 11  |-  (  .0. 
e.  ( `' ( z  e.  X  |->  ( A ( +g  `  G
) z ) )
" y )  <->  (  .0.  e.  X  /\  ( A ( +g  `  G
)  .0.  )  e.  y ) )
7263, 68, 71sylanbrc 646 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  A  e.  X )  /\  ( y  C_  X  /\  ( A  e.  y  /\  ( Jt  y )  e.  Con )
) )  ->  .0.  e.  ( `' ( z  e.  X  |->  ( A ( +g  `  G
) z ) )
" y ) )
73 hmeocnvcn 17714 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  X  |->  ( A ( +g  `  G
) z ) )  e.  ( J  Homeo  J )  ->  `' (
z  e.  X  |->  ( A ( +g  `  G
) z ) )  e.  ( J  Cn  J ) )
7445, 73syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  A  e.  X )  ->  `' ( z  e.  X  |->  ( A ( +g  `  G ) z ) )  e.  ( J  Cn  J ) )
7574adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  A  e.  X )  /\  ( y  C_  X  /\  ( A  e.  y  /\  ( Jt  y )  e.  Con )
) )  ->  `' ( z  e.  X  |->  ( A ( +g  `  G ) z ) )  e.  ( J  Cn  J ) )
76 simprl 733 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  A  e.  X )  /\  ( y  C_  X  /\  ( A  e.  y  /\  ( Jt  y )  e.  Con )
) )  ->  y  C_  X )
7749adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  A  e.  X )  /\  ( y  C_  X  /\  ( A  e.  y  /\  ( Jt  y )  e.  Con )
) )  ->  X  =  U. J )
7876, 77sseqtrd 3327 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  A  e.  X )  /\  ( y  C_  X  /\  ( A  e.  y  /\  ( Jt  y )  e.  Con )
) )  ->  y  C_ 
U. J )
79 simprrr 742 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  A  e.  X )  /\  ( y  C_  X  /\  ( A  e.  y  /\  ( Jt  y )  e.  Con )
) )  ->  ( Jt  y )  e.  Con )
8043, 75, 78, 79conima 17409 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  A  e.  X )  /\  ( y  C_  X  /\  ( A  e.  y  /\  ( Jt  y )  e.  Con )
) )  ->  ( Jt  ( `' ( z  e.  X  |->  ( A ( +g  `  G ) z ) ) "
y ) )  e. 
Con )
813concompss 17417 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( `' ( z  e.  X  |->  ( A ( +g  `  G
) z ) )
" y )  C_  X  /\  .0.  e.  ( `' ( z  e.  X  |->  ( A ( +g  `  G ) z ) ) "
y )  /\  ( Jt  ( `' ( z  e.  X  |->  ( A ( +g  `  G ) z ) ) "
y ) )  e. 
Con )  ->  ( `' ( z  e.  X  |->  ( A ( +g  `  G ) z ) ) "
y )  C_  S
)
8262, 72, 80, 81syl3anc 1184 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  A  e.  X )  /\  ( y  C_  X  /\  ( A  e.  y  /\  ( Jt  y )  e.  Con )
) )  ->  ( `' ( z  e.  X  |->  ( A ( +g  `  G ) z ) ) "
y )  C_  S
)
83 eqid 2387 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( g  e.  X  |->  ( z  e.  X  |->  ( g ( +g  `  G
) z ) ) )  =  ( g  e.  X  |->  ( z  e.  X  |->  ( g ( +g  `  G
) z ) ) )
8483, 9, 11, 10grplactcnv 14814 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  ->  ( ( ( g  e.  X  |->  ( z  e.  X  |->  ( g ( +g  `  G
) z ) ) ) `  A ) : X -1-1-onto-> X  /\  `' ( ( g  e.  X  |->  ( z  e.  X  |->  ( g ( +g  `  G ) z ) ) ) `  A
)  =  ( ( g  e.  X  |->  ( z  e.  X  |->  ( g ( +g  `  G
) z ) ) ) `  ( ( inv g `  G
) `  A )
) ) )
8520, 84sylan 458 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  A  e.  X )  ->  (
( ( g  e.  X  |->  ( z  e.  X  |->  ( g ( +g  `  G ) z ) ) ) `
 A ) : X -1-1-onto-> X  /\  `' ( ( g  e.  X  |->  ( z  e.  X  |->  ( g ( +g  `  G ) z ) ) ) `  A
)  =  ( ( g  e.  X  |->  ( z  e.  X  |->  ( g ( +g  `  G
) z ) ) ) `  ( ( inv g `  G
) `  A )
) ) )
8685simpld 446 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  A  e.  X )  ->  (
( g  e.  X  |->  ( z  e.  X  |->  ( g ( +g  `  G ) z ) ) ) `  A
) : X -1-1-onto-> X )
8783, 9grplactfval 14812 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  X  ->  (
( g  e.  X  |->  ( z  e.  X  |->  ( g ( +g  `  G ) z ) ) ) `  A
)  =  ( z  e.  X  |->  ( A ( +g  `  G
) z ) ) )
8887adantl 453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  A  e.  X )  ->  (
( g  e.  X  |->  ( z  e.  X  |->  ( g ( +g  `  G ) z ) ) ) `  A
)  =  ( z  e.  X  |->  ( A ( +g  `  G
) z ) ) )
89 f1oeq1 5605 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( g  e.  X  |->  ( z  e.  X  |->  ( g ( +g  `  G ) z ) ) ) `  A
)  =  ( z  e.  X  |->  ( A ( +g  `  G
) z ) )  ->  ( ( ( g  e.  X  |->  ( z  e.  X  |->  ( g ( +g  `  G
) z ) ) ) `  A ) : X -1-1-onto-> X  <->  ( z  e.  X  |->  ( A ( +g  `  G ) z ) ) : X -1-1-onto-> X ) )
9088, 89syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  A  e.  X )  ->  (
( ( g  e.  X  |->  ( z  e.  X  |->  ( g ( +g  `  G ) z ) ) ) `
 A ) : X -1-1-onto-> X  <->  ( z  e.  X  |->  ( A ( +g  `  G ) z ) ) : X -1-1-onto-> X ) )
9186, 90mpbid 202 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  A  e.  X )  ->  (
z  e.  X  |->  ( A ( +g  `  G
) z ) ) : X -1-1-onto-> X )
9291adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  A  e.  X )  /\  ( y  C_  X  /\  ( A  e.  y  /\  ( Jt  y )  e.  Con )
) )  ->  (
z  e.  X  |->  ( A ( +g  `  G
) z ) ) : X -1-1-onto-> X )
93 f1ocnv 5627 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  X  |->  ( A ( +g  `  G
) z ) ) : X -1-1-onto-> X  ->  `' (
z  e.  X  |->  ( A ( +g  `  G
) z ) ) : X -1-1-onto-> X )
94 f1ofun 5616 . . . . . . . . . . 11  |-  ( `' ( z  e.  X  |->  ( A ( +g  `  G ) z ) ) : X -1-1-onto-> X  ->  Fun  `' ( z  e.  X  |->  ( A ( +g  `  G ) z ) ) )
9592, 93, 943syl 19 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  A  e.  X )  /\  ( y  C_  X  /\  ( A  e.  y  /\  ( Jt  y )  e.  Con )
) )  ->  Fun  `' ( z  e.  X  |->  ( A ( +g  `  G ) z ) ) )
96 f1odm 5618 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( `' ( z  e.  X  |->  ( A ( +g  `  G ) z ) ) : X -1-1-onto-> X  ->  dom  `' ( z  e.  X  |->  ( A ( +g  `  G ) z ) )  =  X )
9792, 93, 963syl 19 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  A  e.  X )  /\  ( y  C_  X  /\  ( A  e.  y  /\  ( Jt  y )  e.  Con )
) )  ->  dom  `' ( z  e.  X  |->  ( A ( +g  `  G ) z ) )  =  X )
9876, 97sseqtr4d 3328 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  A  e.  X )  /\  ( y  C_  X  /\  ( A  e.  y  /\  ( Jt  y )  e.  Con )
) )  ->  y  C_ 
dom  `' ( z  e.  X  |->  ( A ( +g  `  G ) z ) ) )
99 funimass3 5785 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Fun  `' ( z  e.  X  |->  ( A ( +g  `  G
) z ) )  /\  y  C_  dom  `' ( z  e.  X  |->  ( A ( +g  `  G ) z ) ) )  ->  (
( `' ( z  e.  X  |->  ( A ( +g  `  G
) z ) )
" y )  C_  S 
<->  y  C_  ( `' `' ( z  e.  X  |->  ( A ( +g  `  G ) z ) ) " S ) ) )
10095, 98, 99syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  A  e.  X )  /\  ( y  C_  X  /\  ( A  e.  y  /\  ( Jt  y )  e.  Con )
) )  ->  (
( `' ( z  e.  X  |->  ( A ( +g  `  G
) z ) )
" y )  C_  S 
<->  y  C_  ( `' `' ( z  e.  X  |->  ( A ( +g  `  G ) z ) ) " S ) ) )
10182, 100mpbid 202 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  A  e.  X )  /\  ( y  C_  X  /\  ( A  e.  y  /\  ( Jt  y )  e.  Con )
) )  ->  y  C_  ( `' `' ( z  e.  X  |->  ( A ( +g  `  G
) z ) )
" S ) )
10241adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  A  e.  X )  /\  ( y  C_  X  /\  ( A  e.  y  /\  ( Jt  y )  e.  Con )
) )  ->  [ A ]  .~  =  ( ( z  e.  X  |->  ( A ( +g  `  G
) z ) )
" S ) )
103 imacnvcnv 5274 . . . . . . . . 9  |-  ( `' `' ( z  e.  X  |->  ( A ( +g  `  G ) z ) ) " S )  =  ( ( z  e.  X  |->  ( A ( +g  `  G ) z ) ) " S )
104102, 103syl6eqr 2437 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  A  e.  X )  /\  ( y  C_  X  /\  ( A  e.  y  /\  ( Jt  y )  e.  Con )
) )  ->  [ A ]  .~  =  ( `' `' ( z  e.  X  |->  ( A ( +g  `  G ) z ) ) " S ) )
105101, 104sseqtr4d 3328 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  A  e.  X )  /\  ( y  C_  X  /\  ( A  e.  y  /\  ( Jt  y )  e.  Con )
) )  ->  y  C_ 
[ A ]  .~  )
106105expr 599 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  A  e.  X )  /\  y  C_  X
)  ->  ( ( A  e.  y  /\  ( Jt  y )  e. 
Con )  ->  y  C_ 
[ A ]  .~  ) )
10758, 106sylan2 461 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  A  e.  X )  /\  y  e.  ~P X )  ->  (
( A  e.  y  /\  ( Jt  y )  e.  Con )  -> 
y  C_  [ A ]  .~  ) )
108107ralrimiva 2732 . . . 4  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  A  e.  X )  ->  A. y  e.  ~P  X ( ( A  e.  y  /\  ( Jt  y )  e. 
Con )  ->  y  C_ 
[ A ]  .~  ) )
109 eleq2 2448 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  ( A  e.  x  <->  A  e.  y ) )
110 oveq2 6028 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  ( Jt  x )  =  ( Jt  y ) )
111110eleq1d 2453 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
( Jt  x )  e.  Con  <->  ( Jt  y )  e.  Con ) )
112109, 111anbi12d 692 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  (
( A  e.  x  /\  ( Jt  x )  e.  Con ) 
<->  ( A  e.  y  /\  ( Jt  y )  e.  Con ) ) )
113112ralrab 3039 . . . 4  |-  ( A. y  e.  { x  e.  ~P X  |  ( A  e.  x  /\  ( Jt  x )  e.  Con ) } y  C_  [ A ]  .~  <->  A. y  e.  ~P  X ( ( A  e.  y  /\  ( Jt  y )  e.  Con )  ->  y  C_  [ A ]  .~  ) )
114108, 113sylibr 204 . . 3  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  A  e.  X )  ->  A. y  e.  { x  e.  ~P X  |  ( A  e.  x  /\  ( Jt  x )  e.  Con ) } y  C_  [ A ]  .~  )
115 unissb 3987 . . 3  |-  ( U. { x  e.  ~P X  |  ( A  e.  x  /\  ( Jt  x )  e.  Con ) }  C_  [ A ]  .~  <->  A. y  e.  {
x  e.  ~P X  |  ( A  e.  x  /\  ( Jt  x )  e.  Con ) } y  C_  [ A ]  .~  )
116114, 115sylibr 204 . 2  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  A  e.  X )  ->  U. {
x  e.  ~P X  |  ( A  e.  x  /\  ( Jt  x )  e.  Con ) }  C_  [ A ]  .~  )
11757, 116eqssd 3308 1  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  A  e.  X )  ->  [ A ]  .~  =  U. {
x  e.  ~P X  |  ( A  e.  x  /\  ( Jt  x )  e.  Con ) } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1717   {cab 2373   A.wral 2649   {crab 2653    C_ wss 3263   ~Pcpw 3742   U.cuni 3957   class class class wbr 4153    e. cmpt 4207   `'ccnv 4817   dom cdm 4818   "cima 4821   Fun wfun 5388   -1-1-onto->wf1o 5393   ` cfv 5394  (class class class)co 6020   [cec 6839   Basecbs 13396   +g cplusg 13456   ↾t crest 13575   TopOpenctopn 13576   0gc0g 13650   Grpcgrp 14612   inv gcminusg 14613   ~QG cqg 14867  TopOnctopon 16882    Cn ccn 17210   Conccon 17395    Homeo chmeo 17706   TopGrpctgp 18022
This theorem is referenced by:  tgpconcomp  18063
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-rep 4261  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rmo 2657  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-pss 3279  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-tp 3765  df-op 3766  df-uni 3958  df-int 3993  df-iun 4037  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-tr 4244  df-eprel 4435  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-fr 4482  df-we 4484  df-ord 4525  df-on 4526  df-lim 4527  df-suc 4528  df-om 4786  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-1st 6288  df-2nd 6289  df-riota 6485  df-recs 6569  df-rdg 6604  df-oadd 6664  df-er 6841  df-ec 6843  df-map 6956  df-en 7046  df-fin 7049  df-fi 7351  df-rest 13577  df-topgen 13594  df-0g 13654  df-mnd 14617  df-plusf 14618  df-grp 14739  df-minusg 14740  df-eqg 14870  df-top 16886  df-bases 16888  df-topon 16889  df-topsp 16890  df-cld 17006  df-cn 17213  df-cnp 17214  df-con 17396  df-tx 17515  df-hmeo 17708  df-tmd 18023  df-tgp 18024
  Copyright terms: Public domain W3C validator