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Theorem tgpconcompeqg 17810
Description: The connected component containing  A is the left coset of the identity component containing  A. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tgpconcomp.x  |-  X  =  ( Base `  G
)
tgpconcomp.z  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
tgpconcomp.j  |-  J  =  ( TopOpen `  G )
tgpconcomp.s  |-  S  = 
U. { x  e. 
~P X  |  (  .0.  e.  x  /\  ( Jt  x )  e.  Con ) }
tgpconcompeqg.r  |-  .~  =  ( G ~QG  S )
Assertion
Ref Expression
tgpconcompeqg  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  A  e.  X )  ->  [ A ]  .~  =  U. {
x  e.  ~P X  |  ( A  e.  x  /\  ( Jt  x )  e.  Con ) } )
Distinct variable groups:    x,  .0.    x, A    x, J    x, G    x, X
Allowed substitution hints:    .~ ( x)    S( x)

Proof of Theorem tgpconcompeqg
Dummy variables  y 
z  g are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dfec2 6679 . . . . 5  |-  ( A  e.  X  ->  [ A ]  .~  =  { z  |  A  .~  z } )
21adantl 452 . . . 4  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  A  e.  X )  ->  [ A ]  .~  =  { z  |  A  .~  z } )
3 tgpconcomp.s . . . . . . . . 9  |-  S  = 
U. { x  e. 
~P X  |  (  .0.  e.  x  /\  ( Jt  x )  e.  Con ) }
4 ssrab2 3271 . . . . . . . . . 10  |-  { x  e.  ~P X  |  (  .0.  e.  x  /\  ( Jt  x )  e.  Con ) }  C_  ~P X
5 sspwuni 4003 . . . . . . . . . 10  |-  ( { x  e.  ~P X  |  (  .0.  e.  x  /\  ( Jt  x )  e.  Con ) } 
C_  ~P X  <->  U. { x  e.  ~P X  |  (  .0.  e.  x  /\  ( Jt  x )  e.  Con ) }  C_  X )
64, 5mpbi 199 . . . . . . . . 9  |-  U. {
x  e.  ~P X  |  (  .0.  e.  x  /\  ( Jt  x )  e.  Con ) } 
C_  X
73, 6eqsstri 3221 . . . . . . . 8  |-  S  C_  X
87a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  A  e.  X )  ->  S  C_  X )
9 tgpconcomp.x . . . . . . . 8  |-  X  =  ( Base `  G
)
10 eqid 2296 . . . . . . . 8  |-  ( inv g `  G )  =  ( inv g `  G )
11 eqid 2296 . . . . . . . 8  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
12 tgpconcompeqg.r . . . . . . . 8  |-  .~  =  ( G ~QG  S )
139, 10, 11, 12eqgval 14682 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  C_  X )  ->  ( A  .~  z  <->  ( A  e.  X  /\  z  e.  X  /\  (
( ( inv g `  G ) `  A
) ( +g  `  G
) z )  e.  S ) ) )
148, 13syldan 456 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  A  e.  X )  ->  ( A  .~  z  <->  ( A  e.  X  /\  z  e.  X  /\  (
( ( inv g `  G ) `  A
) ( +g  `  G
) z )  e.  S ) ) )
15 simp2 956 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  X  /\  z  e.  X  /\  ( ( ( inv g `  G ) `
 A ) ( +g  `  G ) z )  e.  S
)  ->  z  e.  X )
1614, 15syl6bi 219 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  A  e.  X )  ->  ( A  .~  z  ->  z  e.  X ) )
1716abssdv 3260 . . . 4  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  A  e.  X )  ->  { z  |  A  .~  z }  C_  X )
182, 17eqsstrd 3225 . . 3  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  A  e.  X )  ->  [ A ]  .~  C_  X )
19 simpr 447 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  A  e.  X )  ->  A  e.  X )
20 tgpgrp 17777 . . . . . . 7  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  G  e.  Grp )
21 tgpconcomp.z . . . . . . . 8  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
229, 11, 21, 10grplinv 14544 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  ->  ( ( ( inv g `  G ) `
 A ) ( +g  `  G ) A )  =  .0.  )
2320, 22sylan 457 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  A  e.  X )  ->  (
( ( inv g `  G ) `  A
) ( +g  `  G
) A )  =  .0.  )
24 tgpconcomp.j . . . . . . . . 9  |-  J  =  ( TopOpen `  G )
2524, 9tgptopon 17781 . . . . . . . 8  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
2625adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  A  e.  X )  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
2720adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  A  e.  X )  ->  G  e.  Grp )
289, 21grpidcl 14526 . . . . . . . 8  |-  ( G  e.  Grp  ->  .0.  e.  X )
2927, 28syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  A  e.  X )  ->  .0.  e.  X )
303concompid 17173 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  .0.  e.  X )  ->  .0.  e.  S )
3126, 29, 30syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  A  e.  X )  ->  .0.  e.  S )
3223, 31eqeltrd 2370 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  A  e.  X )  ->  (
( ( inv g `  G ) `  A
) ( +g  `  G
) A )  e.  S )
339, 10, 11, 12eqgval 14682 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  S  C_  X )  ->  ( A  .~  A  <->  ( A  e.  X  /\  A  e.  X  /\  ( ( ( inv g `  G ) `  A
) ( +g  `  G
) A )  e.  S ) ) )
348, 33syldan 456 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  A  e.  X )  ->  ( A  .~  A  <->  ( A  e.  X  /\  A  e.  X  /\  ( ( ( inv g `  G ) `  A
) ( +g  `  G
) A )  e.  S ) ) )
3519, 19, 32, 34mpbir3and 1135 . . . 4  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  A  e.  X )  ->  A  .~  A )
36 elecg 6714 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  X  /\  A  e.  X )  ->  ( A  e.  [ A ]  .~  <->  A  .~  A ) )
3719, 19, 36syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  A  e.  X )  ->  ( A  e.  [ A ]  .~  <->  A  .~  A ) )
3835, 37mpbird 223 . . 3  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  A  e.  X )  ->  A  e.  [ A ]  .~  )
399, 12, 11eqglact 14684 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  S  C_  X  /\  A  e.  X )  ->  [ A ]  .~  =  ( ( z  e.  X  |->  ( A ( +g  `  G
) z ) )
" S ) )
407, 39mp3an2 1265 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  ->  [ A ]  .~  =  ( ( z  e.  X  |->  ( A ( +g  `  G
) z ) )
" S ) )
4120, 40sylan 457 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  A  e.  X )  ->  [ A ]  .~  =  ( ( z  e.  X  |->  ( A ( +g  `  G
) z ) )
" S ) )
4241oveq2d 5890 . . . 4  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  A  e.  X )  ->  ( Jt  [ A ]  .~  )  =  ( Jt  ( ( z  e.  X  |->  ( A ( +g  `  G
) z ) )
" S ) ) )
43 eqid 2296 . . . . 5  |-  U. J  =  U. J
44 eqid 2296 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  X  |->  ( A ( +g  `  G
) z ) )  =  ( z  e.  X  |->  ( A ( +g  `  G ) z ) )
4544, 9, 11, 24tgplacthmeo 17802 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  A  e.  X )  ->  (
z  e.  X  |->  ( A ( +g  `  G
) z ) )  e.  ( J  Homeo  J ) )
46 hmeocn 17467 . . . . . 6  |-  ( ( z  e.  X  |->  ( A ( +g  `  G
) z ) )  e.  ( J  Homeo  J )  ->  ( z  e.  X  |->  ( A ( +g  `  G
) z ) )  e.  ( J  Cn  J ) )
4745, 46syl 15 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  A  e.  X )  ->  (
z  e.  X  |->  ( A ( +g  `  G
) z ) )  e.  ( J  Cn  J ) )
48 toponuni 16681 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  =  U. J )
4926, 48syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  A  e.  X )  ->  X  =  U. J )
507, 49syl5sseq 3239 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  A  e.  X )  ->  S  C_ 
U. J )
513concompcon 17174 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  .0.  e.  X )  ->  ( Jt  S )  e.  Con )
5226, 29, 51syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  A  e.  X )  ->  ( Jt  S )  e.  Con )
5343, 47, 50, 52conima 17167 . . . 4  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  A  e.  X )  ->  ( Jt  ( ( z  e.  X  |->  ( A ( +g  `  G ) z ) ) " S ) )  e. 
Con )
5442, 53eqeltrd 2370 . . 3  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  A  e.  X )  ->  ( Jt  [ A ]  .~  )  e.  Con )
55 eqid 2296 . . . 4  |-  U. {
x  e.  ~P X  |  ( A  e.  x  /\  ( Jt  x )  e.  Con ) }  =  U. { x  e.  ~P X  |  ( A  e.  x  /\  ( Jt  x )  e.  Con ) }
5655concompss 17175 . . 3  |-  ( ( [ A ]  .~  C_  X  /\  A  e. 
[ A ]  .~  /\  ( Jt  [ A ]  .~  )  e.  Con )  ->  [ A ]  .~  C_ 
U. { x  e. 
~P X  |  ( A  e.  x  /\  ( Jt  x )  e.  Con ) } )
5718, 38, 54, 56syl3anc 1182 . 2  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  A  e.  X )  ->  [ A ]  .~  C_  U. { x  e.  ~P X  |  ( A  e.  x  /\  ( Jt  x )  e.  Con ) } )
58 elpwi 3646 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ~P X  -> 
y  C_  X )
5944mptpreima 5182 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( `' ( z  e.  X  |->  ( A ( +g  `  G ) z ) ) " y )  =  { z  e.  X  |  ( A ( +g  `  G
) z )  e.  y }
60 ssrab2 3271 . . . . . . . . . . . 12  |-  { z  e.  X  |  ( A ( +g  `  G
) z )  e.  y }  C_  X
6159, 60eqsstri 3221 . . . . . . . . . . 11  |-  ( `' ( z  e.  X  |->  ( A ( +g  `  G ) z ) ) " y ) 
C_  X
6261a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  A  e.  X )  /\  ( y  C_  X  /\  ( A  e.  y  /\  ( Jt  y )  e.  Con )
) )  ->  ( `' ( z  e.  X  |->  ( A ( +g  `  G ) z ) ) "
y )  C_  X
)
6329adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  A  e.  X )  /\  ( y  C_  X  /\  ( A  e.  y  /\  ( Jt  y )  e.  Con )
) )  ->  .0.  e.  X )
649, 11, 21grprid 14529 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  ->  ( A ( +g  `  G )  .0.  )  =  A )
6520, 64sylan 457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  A  e.  X )  ->  ( A ( +g  `  G
)  .0.  )  =  A )
6665adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  A  e.  X )  /\  ( y  C_  X  /\  ( A  e.  y  /\  ( Jt  y )  e.  Con )
) )  ->  ( A ( +g  `  G
)  .0.  )  =  A )
67 simprrl 740 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  A  e.  X )  /\  ( y  C_  X  /\  ( A  e.  y  /\  ( Jt  y )  e.  Con )
) )  ->  A  e.  y )
6866, 67eqeltrd 2370 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  A  e.  X )  /\  ( y  C_  X  /\  ( A  e.  y  /\  ( Jt  y )  e.  Con )
) )  ->  ( A ( +g  `  G
)  .0.  )  e.  y )
69 oveq2 5882 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  .0.  ->  ( A ( +g  `  G
) z )  =  ( A ( +g  `  G )  .0.  )
)
7069eleq1d 2362 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  .0.  ->  (
( A ( +g  `  G ) z )  e.  y  <->  ( A
( +g  `  G )  .0.  )  e.  y ) )
7170, 59elrab2 2938 . . . . . . . . . . 11  |-  (  .0. 
e.  ( `' ( z  e.  X  |->  ( A ( +g  `  G
) z ) )
" y )  <->  (  .0.  e.  X  /\  ( A ( +g  `  G
)  .0.  )  e.  y ) )
7263, 68, 71sylanbrc 645 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  A  e.  X )  /\  ( y  C_  X  /\  ( A  e.  y  /\  ( Jt  y )  e.  Con )
) )  ->  .0.  e.  ( `' ( z  e.  X  |->  ( A ( +g  `  G
) z ) )
" y ) )
73 hmeocnvcn 17468 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  X  |->  ( A ( +g  `  G
) z ) )  e.  ( J  Homeo  J )  ->  `' (
z  e.  X  |->  ( A ( +g  `  G
) z ) )  e.  ( J  Cn  J ) )
7445, 73syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  A  e.  X )  ->  `' ( z  e.  X  |->  ( A ( +g  `  G ) z ) )  e.  ( J  Cn  J ) )
7574adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  A  e.  X )  /\  ( y  C_  X  /\  ( A  e.  y  /\  ( Jt  y )  e.  Con )
) )  ->  `' ( z  e.  X  |->  ( A ( +g  `  G ) z ) )  e.  ( J  Cn  J ) )
76 simprl 732 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  A  e.  X )  /\  ( y  C_  X  /\  ( A  e.  y  /\  ( Jt  y )  e.  Con )
) )  ->  y  C_  X )
7749adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  A  e.  X )  /\  ( y  C_  X  /\  ( A  e.  y  /\  ( Jt  y )  e.  Con )
) )  ->  X  =  U. J )
7876, 77sseqtrd 3227 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  A  e.  X )  /\  ( y  C_  X  /\  ( A  e.  y  /\  ( Jt  y )  e.  Con )
) )  ->  y  C_ 
U. J )
79 simprrr 741 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  A  e.  X )  /\  ( y  C_  X  /\  ( A  e.  y  /\  ( Jt  y )  e.  Con )
) )  ->  ( Jt  y )  e.  Con )
8043, 75, 78, 79conima 17167 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  A  e.  X )  /\  ( y  C_  X  /\  ( A  e.  y  /\  ( Jt  y )  e.  Con )
) )  ->  ( Jt  ( `' ( z  e.  X  |->  ( A ( +g  `  G ) z ) ) "
y ) )  e. 
Con )
813concompss 17175 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( `' ( z  e.  X  |->  ( A ( +g  `  G
) z ) )
" y )  C_  X  /\  .0.  e.  ( `' ( z  e.  X  |->  ( A ( +g  `  G ) z ) ) "
y )  /\  ( Jt  ( `' ( z  e.  X  |->  ( A ( +g  `  G ) z ) ) "
y ) )  e. 
Con )  ->  ( `' ( z  e.  X  |->  ( A ( +g  `  G ) z ) ) "
y )  C_  S
)
8262, 72, 80, 81syl3anc 1182 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  A  e.  X )  /\  ( y  C_  X  /\  ( A  e.  y  /\  ( Jt  y )  e.  Con )
) )  ->  ( `' ( z  e.  X  |->  ( A ( +g  `  G ) z ) ) "
y )  C_  S
)
83 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( g  e.  X  |->  ( z  e.  X  |->  ( g ( +g  `  G
) z ) ) )  =  ( g  e.  X  |->  ( z  e.  X  |->  ( g ( +g  `  G
) z ) ) )
8483, 9, 11, 10grplactcnv 14580 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  ->  ( ( ( g  e.  X  |->  ( z  e.  X  |->  ( g ( +g  `  G
) z ) ) ) `  A ) : X -1-1-onto-> X  /\  `' ( ( g  e.  X  |->  ( z  e.  X  |->  ( g ( +g  `  G ) z ) ) ) `  A
)  =  ( ( g  e.  X  |->  ( z  e.  X  |->  ( g ( +g  `  G
) z ) ) ) `  ( ( inv g `  G
) `  A )
) ) )
8520, 84sylan 457 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  A  e.  X )  ->  (
( ( g  e.  X  |->  ( z  e.  X  |->  ( g ( +g  `  G ) z ) ) ) `
 A ) : X -1-1-onto-> X  /\  `' ( ( g  e.  X  |->  ( z  e.  X  |->  ( g ( +g  `  G ) z ) ) ) `  A
)  =  ( ( g  e.  X  |->  ( z  e.  X  |->  ( g ( +g  `  G
) z ) ) ) `  ( ( inv g `  G
) `  A )
) ) )
8685simpld 445 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  A  e.  X )  ->  (
( g  e.  X  |->  ( z  e.  X  |->  ( g ( +g  `  G ) z ) ) ) `  A
) : X -1-1-onto-> X )
8783, 9grplactfval 14578 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  X  ->  (
( g  e.  X  |->  ( z  e.  X  |->  ( g ( +g  `  G ) z ) ) ) `  A
)  =  ( z  e.  X  |->  ( A ( +g  `  G
) z ) ) )
8887adantl 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  A  e.  X )  ->  (
( g  e.  X  |->  ( z  e.  X  |->  ( g ( +g  `  G ) z ) ) ) `  A
)  =  ( z  e.  X  |->  ( A ( +g  `  G
) z ) ) )
89 f1oeq1 5479 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( g  e.  X  |->  ( z  e.  X  |->  ( g ( +g  `  G ) z ) ) ) `  A
)  =  ( z  e.  X  |->  ( A ( +g  `  G
) z ) )  ->  ( ( ( g  e.  X  |->  ( z  e.  X  |->  ( g ( +g  `  G
) z ) ) ) `  A ) : X -1-1-onto-> X  <->  ( z  e.  X  |->  ( A ( +g  `  G ) z ) ) : X -1-1-onto-> X ) )
9088, 89syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  A  e.  X )  ->  (
( ( g  e.  X  |->  ( z  e.  X  |->  ( g ( +g  `  G ) z ) ) ) `
 A ) : X -1-1-onto-> X  <->  ( z  e.  X  |->  ( A ( +g  `  G ) z ) ) : X -1-1-onto-> X ) )
9186, 90mpbid 201 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  A  e.  X )  ->  (
z  e.  X  |->  ( A ( +g  `  G
) z ) ) : X -1-1-onto-> X )
9291adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  A  e.  X )  /\  ( y  C_  X  /\  ( A  e.  y  /\  ( Jt  y )  e.  Con )
) )  ->  (
z  e.  X  |->  ( A ( +g  `  G
) z ) ) : X -1-1-onto-> X )
93 f1ocnv 5501 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  X  |->  ( A ( +g  `  G
) z ) ) : X -1-1-onto-> X  ->  `' (
z  e.  X  |->  ( A ( +g  `  G
) z ) ) : X -1-1-onto-> X )
94 f1ofun 5490 . . . . . . . . . . 11  |-  ( `' ( z  e.  X  |->  ( A ( +g  `  G ) z ) ) : X -1-1-onto-> X  ->  Fun  `' ( z  e.  X  |->  ( A ( +g  `  G ) z ) ) )
9592, 93, 943syl 18 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  A  e.  X )  /\  ( y  C_  X  /\  ( A  e.  y  /\  ( Jt  y )  e.  Con )
) )  ->  Fun  `' ( z  e.  X  |->  ( A ( +g  `  G ) z ) ) )
96 f1odm 5492 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( `' ( z  e.  X  |->  ( A ( +g  `  G ) z ) ) : X -1-1-onto-> X  ->  dom  `' ( z  e.  X  |->  ( A ( +g  `  G ) z ) )  =  X )
9792, 93, 963syl 18 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  A  e.  X )  /\  ( y  C_  X  /\  ( A  e.  y  /\  ( Jt  y )  e.  Con )
) )  ->  dom  `' ( z  e.  X  |->  ( A ( +g  `  G ) z ) )  =  X )
9876, 97sseqtr4d 3228 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  A  e.  X )  /\  ( y  C_  X  /\  ( A  e.  y  /\  ( Jt  y )  e.  Con )
) )  ->  y  C_ 
dom  `' ( z  e.  X  |->  ( A ( +g  `  G ) z ) ) )
99 funimass3 5657 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Fun  `' ( z  e.  X  |->  ( A ( +g  `  G
) z ) )  /\  y  C_  dom  `' ( z  e.  X  |->  ( A ( +g  `  G ) z ) ) )  ->  (
( `' ( z  e.  X  |->  ( A ( +g  `  G
) z ) )
" y )  C_  S 
<->  y  C_  ( `' `' ( z  e.  X  |->  ( A ( +g  `  G ) z ) ) " S ) ) )
10095, 98, 99syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  A  e.  X )  /\  ( y  C_  X  /\  ( A  e.  y  /\  ( Jt  y )  e.  Con )
) )  ->  (
( `' ( z  e.  X  |->  ( A ( +g  `  G
) z ) )
" y )  C_  S 
<->  y  C_  ( `' `' ( z  e.  X  |->  ( A ( +g  `  G ) z ) ) " S ) ) )
10182, 100mpbid 201 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  A  e.  X )  /\  ( y  C_  X  /\  ( A  e.  y  /\  ( Jt  y )  e.  Con )
) )  ->  y  C_  ( `' `' ( z  e.  X  |->  ( A ( +g  `  G
) z ) )
" S ) )
10241adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  A  e.  X )  /\  ( y  C_  X  /\  ( A  e.  y  /\  ( Jt  y )  e.  Con )
) )  ->  [ A ]  .~  =  ( ( z  e.  X  |->  ( A ( +g  `  G
) z ) )
" S ) )
103 imacnvcnv 5153 . . . . . . . . 9  |-  ( `' `' ( z  e.  X  |->  ( A ( +g  `  G ) z ) ) " S )  =  ( ( z  e.  X  |->  ( A ( +g  `  G ) z ) ) " S )
104102, 103syl6eqr 2346 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  A  e.  X )  /\  ( y  C_  X  /\  ( A  e.  y  /\  ( Jt  y )  e.  Con )
) )  ->  [ A ]  .~  =  ( `' `' ( z  e.  X  |->  ( A ( +g  `  G ) z ) ) " S ) )
105101, 104sseqtr4d 3228 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  A  e.  X )  /\  ( y  C_  X  /\  ( A  e.  y  /\  ( Jt  y )  e.  Con )
) )  ->  y  C_ 
[ A ]  .~  )
106105expr 598 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  A  e.  X )  /\  y  C_  X
)  ->  ( ( A  e.  y  /\  ( Jt  y )  e. 
Con )  ->  y  C_ 
[ A ]  .~  ) )
10758, 106sylan2 460 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  A  e.  X )  /\  y  e.  ~P X )  ->  (
( A  e.  y  /\  ( Jt  y )  e.  Con )  -> 
y  C_  [ A ]  .~  ) )
108107ralrimiva 2639 . . . 4  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  A  e.  X )  ->  A. y  e.  ~P  X ( ( A  e.  y  /\  ( Jt  y )  e. 
Con )  ->  y  C_ 
[ A ]  .~  ) )
109 eleq2 2357 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  ( A  e.  x  <->  A  e.  y ) )
110 oveq2 5882 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  ( Jt  x )  =  ( Jt  y ) )
111110eleq1d 2362 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
( Jt  x )  e.  Con  <->  ( Jt  y )  e.  Con ) )
112109, 111anbi12d 691 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  (
( A  e.  x  /\  ( Jt  x )  e.  Con ) 
<->  ( A  e.  y  /\  ( Jt  y )  e.  Con ) ) )
113112ralrab 2940 . . . 4  |-  ( A. y  e.  { x  e.  ~P X  |  ( A  e.  x  /\  ( Jt  x )  e.  Con ) } y  C_  [ A ]  .~  <->  A. y  e.  ~P  X ( ( A  e.  y  /\  ( Jt  y )  e.  Con )  ->  y  C_  [ A ]  .~  ) )
114108, 113sylibr 203 . . 3  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  A  e.  X )  ->  A. y  e.  { x  e.  ~P X  |  ( A  e.  x  /\  ( Jt  x )  e.  Con ) } y  C_  [ A ]  .~  )
115 unissb 3873 . . 3  |-  ( U. { x  e.  ~P X  |  ( A  e.  x  /\  ( Jt  x )  e.  Con ) }  C_  [ A ]  .~  <->  A. y  e.  {
x  e.  ~P X  |  ( A  e.  x  /\  ( Jt  x )  e.  Con ) } y  C_  [ A ]  .~  )
116114, 115sylibr 203 . 2  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  A  e.  X )  ->  U. {
x  e.  ~P X  |  ( A  e.  x  /\  ( Jt  x )  e.  Con ) }  C_  [ A ]  .~  )
11757, 116eqssd 3209 1  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  A  e.  X )  ->  [ A ]  .~  =  U. {
x  e.  ~P X  |  ( A  e.  x  /\  ( Jt  x )  e.  Con ) } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   {cab 2282   A.wral 2556   {crab 2560    C_ wss 3165   ~Pcpw 3638   U.cuni 3843   class class class wbr 4039    e. cmpt 4093   `'ccnv 4704   dom cdm 4705   "cima 4708   Fun wfun 5265   -1-1-onto->wf1o 5270   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   [cec 6674   Basecbs 13164   +g cplusg 13224   ↾t crest 13341   TopOpenctopn 13342   0gc0g 13416   Grpcgrp 14378   inv gcminusg 14379   ~QG cqg 14633  TopOnctopon 16648    Cn ccn 16970   Conccon 17153    Homeo chmeo 17460   TopGrpctgp 17770
This theorem is referenced by:  tgpconcomp  17811
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-oadd 6499  df-er 6676  df-ec 6678  df-map 6790  df-en 6880  df-fin 6883  df-fi 7181  df-rest 13343  df-topgen 13360  df-0g 13420  df-mnd 14383  df-plusf 14384  df-grp 14505  df-minusg 14506  df-eqg 14636  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-topsp 16656  df-cld 16772  df-cn 16973  df-cnp 16974  df-con 17154  df-tx 17273  df-hmeo 17462  df-tmd 17771  df-tgp 17772
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