Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tgpconcompeqg Structured version   Unicode version

Theorem tgpconcompeqg 18131
 Description: The connected component containing is the left coset of the identity component containing . (Contributed by Mario Carneiro, 17-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tgpconcomp.x
tgpconcomp.z
tgpconcomp.j
tgpconcomp.s t
tgpconcompeqg.r ~QG
Assertion
Ref Expression
tgpconcompeqg t
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()

Proof of Theorem tgpconcompeqg
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dfec2 6900 . . . . 5
21adantl 453 . . . 4
3 tgpconcomp.s . . . . . . . . 9 t
4 ssrab2 3420 . . . . . . . . . 10 t
5 sspwuni 4168 . . . . . . . . . 10 t t
64, 5mpbi 200 . . . . . . . . 9 t
73, 6eqsstri 3370 . . . . . . . 8
87a1i 11 . . . . . . 7
9 tgpconcomp.x . . . . . . . 8
10 eqid 2435 . . . . . . . 8
11 eqid 2435 . . . . . . . 8
12 tgpconcompeqg.r . . . . . . . 8 ~QG
139, 10, 11, 12eqgval 14979 . . . . . . 7
148, 13syldan 457 . . . . . 6
15 simp2 958 . . . . . 6
1614, 15syl6bi 220 . . . . 5
1716abssdv 3409 . . . 4
182, 17eqsstrd 3374 . . 3
19 simpr 448 . . . . 5
20 tgpgrp 18098 . . . . . . 7
21 tgpconcomp.z . . . . . . . 8
229, 11, 21, 10grplinv 14841 . . . . . . 7
2320, 22sylan 458 . . . . . 6
24 tgpconcomp.j . . . . . . . . 9
2524, 9tgptopon 18102 . . . . . . . 8 TopOn
2625adantr 452 . . . . . . 7 TopOn
2720adantr 452 . . . . . . . 8
289, 21grpidcl 14823 . . . . . . . 8
2927, 28syl 16 . . . . . . 7
303concompid 17484 . . . . . . 7 TopOn
3126, 29, 30syl2anc 643 . . . . . 6
3223, 31eqeltrd 2509 . . . . 5
339, 10, 11, 12eqgval 14979 . . . . . 6
348, 33syldan 457 . . . . 5
3519, 19, 32, 34mpbir3and 1137 . . . 4
36 elecg 6935 . . . . 5
3719, 19, 36syl2anc 643 . . . 4
3835, 37mpbird 224 . . 3
399, 12, 11eqglact 14981 . . . . . . 7
407, 39mp3an2 1267 . . . . . 6
4120, 40sylan 458 . . . . 5
4241oveq2d 6089 . . . 4 t t
43 eqid 2435 . . . . 5
44 eqid 2435 . . . . . . 7
4544, 9, 11, 24tgplacthmeo 18123 . . . . . 6
46 hmeocn 17782 . . . . . 6
4745, 46syl 16 . . . . 5
48 toponuni 16982 . . . . . . 7 TopOn
4926, 48syl 16 . . . . . 6
507, 49syl5sseq 3388 . . . . 5
513concompcon 17485 . . . . . 6 TopOn t
5226, 29, 51syl2anc 643 . . . . 5 t
5343, 47, 50, 52conima 17478 . . . 4 t
5442, 53eqeltrd 2509 . . 3 t
55 eqid 2435 . . . 4 t t
5655concompss 17486 . . 3 t t
5718, 38, 54, 56syl3anc 1184 . 2 t
58 elpwi 3799 . . . . . 6
5944mptpreima 5355 . . . . . . . . . . . 12
60 ssrab2 3420 . . . . . . . . . . . 12
6159, 60eqsstri 3370 . . . . . . . . . . 11
6261a1i 11 . . . . . . . . . 10 t
6329adantr 452 . . . . . . . . . . 11 t
649, 11, 21grprid 14826 . . . . . . . . . . . . . 14
6520, 64sylan 458 . . . . . . . . . . . . 13
6665adantr 452 . . . . . . . . . . . 12 t
67 simprrl 741 . . . . . . . . . . . 12 t
6866, 67eqeltrd 2509 . . . . . . . . . . 11 t
69 oveq2 6081 . . . . . . . . . . . . 13
7069eleq1d 2501 . . . . . . . . . . . 12
7170, 59elrab2 3086 . . . . . . . . . . 11
7263, 68, 71sylanbrc 646 . . . . . . . . . 10 t
73 hmeocnvcn 17783 . . . . . . . . . . . . 13
7445, 73syl 16 . . . . . . . . . . . 12
7574adantr 452 . . . . . . . . . . 11 t
76 simprl 733 . . . . . . . . . . . 12 t
7749adantr 452 . . . . . . . . . . . 12 t
7876, 77sseqtrd 3376 . . . . . . . . . . 11 t
79 simprrr 742 . . . . . . . . . . 11 t t
8043, 75, 78, 79conima 17478 . . . . . . . . . 10 t t
813concompss 17486 . . . . . . . . . 10 t
8262, 72, 80, 81syl3anc 1184 . . . . . . . . 9 t
83 eqid 2435 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8483, 9, 11, 10grplactcnv 14877 . . . . . . . . . . . . . . 15
8520, 84sylan 458 . . . . . . . . . . . . . 14
8685simpld 446 . . . . . . . . . . . . 13
8783, 9grplactfval 14875 . . . . . . . . . . . . . . 15
8887adantl 453 . . . . . . . . . . . . . 14
89 f1oeq1 5657 . . . . . . . . . . . . . 14
9088, 89syl 16 . . . . . . . . . . . . 13
9186, 90mpbid 202 . . . . . . . . . . . 12
9291adantr 452 . . . . . . . . . . 11 t
93 f1ocnv 5679 . . . . . . . . . . 11
94 f1ofun 5668 . . . . . . . . . . 11
9592, 93, 943syl 19 . . . . . . . . . 10 t
96 f1odm 5670 . . . . . . . . . . . 12
9792, 93, 963syl 19 . . . . . . . . . . 11 t
9876, 97sseqtr4d 3377 . . . . . . . . . 10 t
99 funimass3 5838 . . . . . . . . . 10
10095, 98, 99syl2anc 643 . . . . . . . . 9 t
10182, 100mpbid 202 . . . . . . . 8 t
10241adantr 452 . . . . . . . . 9 t
103 imacnvcnv 5326 . . . . . . . . 9
104102, 103syl6eqr 2485 . . . . . . . 8 t
105101, 104sseqtr4d 3377 . . . . . . 7 t
106105expr 599 . . . . . 6 t
10758, 106sylan2 461 . . . . 5 t
108107ralrimiva 2781 . . . 4 t
109 eleq2 2496 . . . . . 6
110 oveq2 6081 . . . . . . 7 t t
111110eleq1d 2501 . . . . . 6 t t
112109, 111anbi12d 692 . . . . 5 t t
113112ralrab 3088 . . . 4 t t
114108, 113sylibr 204 . . 3 t
115 unissb 4037 . . 3 t t
116114, 115sylibr 204 . 2 t
11757, 116eqssd 3357 1 t
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   w3a 936   wceq 1652   wcel 1725  cab 2421  wral 2697  crab 2701   wss 3312  cpw 3791  cuni 4007   class class class wbr 4204   cmpt 4258  ccnv 4869   cdm 4870  cima 4873   wfun 5440  wf1o 5445  cfv 5446  (class class class)co 6073  cec 6895  cbs 13459   cplusg 13519   ↾t crest 13638  ctopn 13639  c0g 13713  cgrp 14675  cminusg 14676   ~QG cqg 14930  TopOnctopon 16949   ccn 17278  ccon 17464   chmeo 17775  ctgp 18091 This theorem is referenced by:  tgpconcomp  18132 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-oadd 6720  df-er 6897  df-ec 6899  df-map 7012  df-en 7102  df-fin 7105  df-fi 7408  df-rest 13640  df-topgen 13657  df-0g 13717  df-mnd 14680  df-plusf 14681  df-grp 14802  df-minusg 14803  df-eqg 14933  df-top 16953  df-bases 16955  df-topon 16956  df-topsp 16957  df-cld 17073  df-cn 17281  df-cnp 17282  df-con 17465  df-tx 17584  df-hmeo 17777  df-tmd 18092  df-tgp 18093
 Copyright terms: Public domain W3C validator