MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tgpconcompss Unicode version

Theorem tgpconcompss 17796
Description: The identity component is a subset of any open subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tgpconcomp.x  |-  X  =  ( Base `  G
)
tgpconcomp.z  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
tgpconcomp.j  |-  J  =  ( TopOpen `  G )
tgpconcomp.s  |-  S  = 
U. { x  e. 
~P X  |  (  .0.  e.  x  /\  ( Jt  x )  e.  Con ) }
Assertion
Ref Expression
tgpconcompss  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  J
)  ->  S  C_  T
)
Distinct variable groups:    x,  .0.    x, J    x, G    x, X
Allowed substitution hints:    S( x)    T( x)

Proof of Theorem tgpconcompss
StepHypRef Expression
1 tgpconcomp.j . . . 4  |-  J  =  ( TopOpen `  G )
2 tgpconcomp.x . . . 4  |-  X  =  ( Base `  G
)
31, 2tgptopon 17765 . . 3  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
433ad2ant1 976 . 2  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  J
)  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
5 simp3 957 . . 3  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  J
)  ->  T  e.  J )
61opnsubg 17790 . . 3  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  J
)  ->  T  e.  ( Clsd `  J )
)
7 elin 3358 . . 3  |-  ( T  e.  ( J  i^i  ( Clsd `  J )
)  <->  ( T  e.  J  /\  T  e.  ( Clsd `  J
) ) )
85, 6, 7sylanbrc 645 . 2  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  J
)  ->  T  e.  ( J  i^i  ( Clsd `  J ) ) )
9 tgpconcomp.z . . . 4  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
109subg0cl 14629 . . 3  |-  ( T  e.  (SubGrp `  G
)  ->  .0.  e.  T )
11103ad2ant2 977 . 2  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  J
)  ->  .0.  e.  T )
12 tgpconcomp.s . . 3  |-  S  = 
U. { x  e. 
~P X  |  (  .0.  e.  x  /\  ( Jt  x )  e.  Con ) }
1312concompclo 17161 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  T  e.  ( J  i^i  ( Clsd `  J ) )  /\  .0.  e.  T
)  ->  S  C_  T
)
144, 8, 11, 13syl3anc 1182 1  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  J
)  ->  S  C_  T
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   {crab 2547    i^i cin 3151    C_ wss 3152   ~Pcpw 3625   U.cuni 3827   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Basecbs 13148   ↾t crest 13325   TopOpenctopn 13326   0gc0g 13400  SubGrpcsubg 14615  TopOnctopon 16632   Clsdccld 16753   Conccon 17137   TopGrpctgp 17754
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-fi 7165  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-rest 13327  df-topgen 13344  df-0g 13404  df-mnd 14367  df-plusf 14368  df-grp 14489  df-minusg 14490  df-sbg 14491  df-subg 14618  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-topsp 16640  df-cld 16756  df-ntr 16757  df-cls 16758  df-cn 16957  df-cnp 16958  df-con 17138  df-tx 17257  df-hmeo 17446  df-tmd 17755  df-tgp 17756
  Copyright terms: Public domain W3C validator