MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tgpconcompss Unicode version

Theorem tgpconcompss 17812
Description: The identity component is a subset of any open subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tgpconcomp.x  |-  X  =  ( Base `  G
)
tgpconcomp.z  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
tgpconcomp.j  |-  J  =  ( TopOpen `  G )
tgpconcomp.s  |-  S  = 
U. { x  e. 
~P X  |  (  .0.  e.  x  /\  ( Jt  x )  e.  Con ) }
Assertion
Ref Expression
tgpconcompss  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  J
)  ->  S  C_  T
)
Distinct variable groups:    x,  .0.    x, J    x, G    x, X
Allowed substitution hints:    S( x)    T( x)

Proof of Theorem tgpconcompss
StepHypRef Expression
1 tgpconcomp.j . . . 4  |-  J  =  ( TopOpen `  G )
2 tgpconcomp.x . . . 4  |-  X  =  ( Base `  G
)
31, 2tgptopon 17781 . . 3  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
433ad2ant1 976 . 2  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  J
)  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
5 simp3 957 . . 3  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  J
)  ->  T  e.  J )
61opnsubg 17806 . . 3  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  J
)  ->  T  e.  ( Clsd `  J )
)
7 elin 3371 . . 3  |-  ( T  e.  ( J  i^i  ( Clsd `  J )
)  <->  ( T  e.  J  /\  T  e.  ( Clsd `  J
) ) )
85, 6, 7sylanbrc 645 . 2  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  J
)  ->  T  e.  ( J  i^i  ( Clsd `  J ) ) )
9 tgpconcomp.z . . . 4  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
109subg0cl 14645 . . 3  |-  ( T  e.  (SubGrp `  G
)  ->  .0.  e.  T )
11103ad2ant2 977 . 2  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  J
)  ->  .0.  e.  T )
12 tgpconcomp.s . . 3  |-  S  = 
U. { x  e. 
~P X  |  (  .0.  e.  x  /\  ( Jt  x )  e.  Con ) }
1312concompclo 17177 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  T  e.  ( J  i^i  ( Clsd `  J ) )  /\  .0.  e.  T
)  ->  S  C_  T
)
144, 8, 11, 13syl3anc 1182 1  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  J
)  ->  S  C_  T
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   {crab 2560    i^i cin 3164    C_ wss 3165   ~Pcpw 3638   U.cuni 3843   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   Basecbs 13164   ↾t crest 13341   TopOpenctopn 13342   0gc0g 13416  SubGrpcsubg 14631  TopOnctopon 16648   Clsdccld 16769   Conccon 17153   TopGrpctgp 17770
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-fi 7181  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-2 9820  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-rest 13343  df-topgen 13360  df-0g 13420  df-mnd 14383  df-plusf 14384  df-grp 14505  df-minusg 14506  df-sbg 14507  df-subg 14634  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-topsp 16656  df-cld 16772  df-ntr 16773  df-cls 16774  df-cn 16973  df-cnp 16974  df-con 17154  df-tx 17273  df-hmeo 17462  df-tmd 17771  df-tgp 17772
  Copyright terms: Public domain W3C validator