MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tgpgrp Structured version   Unicode version

Theorem tgpgrp 18108
Description: A topological group is a group. (Contributed by FL, 18-Apr-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
tgpgrp  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  G  e.  Grp )

Proof of Theorem tgpgrp
StepHypRef Expression
1 eqid 2436 . . 3  |-  ( TopOpen `  G )  =  (
TopOpen `  G )
2 eqid 2436 . . 3  |-  ( inv g `  G )  =  ( inv g `  G )
31, 2istgp 18107 . 2  |-  ( G  e.  TopGrp 
<->  ( G  e.  Grp  /\  G  e. TopMnd  /\  ( inv g `  G )  e.  ( ( TopOpen `  G )  Cn  ( TopOpen
`  G ) ) ) )
43simp1bi 972 1  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  G  e.  Grp )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1725   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   TopOpenctopn 13649   Grpcgrp 14685   inv gcminusg 14686    Cn ccn 17288  TopMndctmd 18100   TopGrpctgp 18101
This theorem is referenced by:  grpinvhmeo  18116  istgp2  18121  oppgtgp  18128  tgplacthmeo  18133  subgtgp  18135  subgntr  18136  opnsubg  18137  clssubg  18138  cldsubg  18140  tgpconcompeqg  18141  tgpconcomp  18142  snclseqg  18145  tgphaus  18146  tgpt1  18147  tgpt0  18148  divstgpopn  18149  divstgplem  18150  divstgphaus  18152  prdstgpd  18154  tsmsinv  18177  tsmssub  18178  tgptsmscls  18179  tsmsxplem1  18182  tsmsxplem2  18183
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-nul 4338
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-br 4213  df-iota 5418  df-fv 5462  df-ov 6084  df-tgp 18103
  Copyright terms: Public domain W3C validator