MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tgpgrp Unicode version

Theorem tgpgrp 17761
Description: A topological group is a group. (Contributed by FL, 18-Apr-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
tgpgrp  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  G  e.  Grp )

Proof of Theorem tgpgrp
StepHypRef Expression
1 eqid 2283 . . 3  |-  ( TopOpen `  G )  =  (
TopOpen `  G )
2 eqid 2283 . . 3  |-  ( inv g `  G )  =  ( inv g `  G )
31, 2istgp 17760 . 2  |-  ( G  e.  TopGrp 
<->  ( G  e.  Grp  /\  G  e. TopMnd  /\  ( inv g `  G )  e.  ( ( TopOpen `  G )  Cn  ( TopOpen
`  G ) ) ) )
43simp1bi 970 1  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  G  e.  Grp )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1684   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   TopOpenctopn 13326   Grpcgrp 14362   inv gcminusg 14363    Cn ccn 16954  TopMndctmd 17753   TopGrpctgp 17754
This theorem is referenced by:  grpinvhmeo  17769  istgp2  17774  oppgtgp  17781  tgplacthmeo  17786  subgtgp  17788  subgntr  17789  opnsubg  17790  clssubg  17791  cldsubg  17793  tgpconcompeqg  17794  tgpconcomp  17795  snclseqg  17798  tgphaus  17799  tgpt1  17800  tgpt0  17801  divstgpopn  17802  divstgplem  17803  divstgphaus  17805  prdstgpd  17807  tsmsinv  17830  tsmssub  17831  tgptsmscls  17832  tsmsxplem1  17835  tsmsxplem2  17836
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-nul 4149
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-iota 5219  df-fv 5263  df-ov 5861  df-tgp 17756
  Copyright terms: Public domain W3C validator