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Theorem tgphaus 17799
Description: A topological group is Hausdorff iff the identity subgroup is closed. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tgphaus.1  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
tgphaus.j  |-  J  =  ( TopOpen `  G )
Assertion
Ref Expression
tgphaus  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  ( J  e. 
Haus 
<->  {  .0.  }  e.  ( Clsd `  J )
) )

Proof of Theorem tgphaus
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tgpgrp 17761 . . . . 5  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  G  e.  Grp )
2 eqid 2283 . . . . . 6  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
3 tgphaus.1 . . . . . 6  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
42, 3grpidcl 14510 . . . . 5  |-  ( G  e.  Grp  ->  .0.  e.  ( Base `  G
) )
51, 4syl 15 . . . 4  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  .0.  e.  ( Base `  G ) )
6 tgphaus.j . . . . . 6  |-  J  =  ( TopOpen `  G )
76, 2tgptopon 17765 . . . . 5  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  J  e.  (TopOn `  ( Base `  G
) ) )
8 toponuni 16665 . . . . 5  |-  ( J  e.  (TopOn `  ( Base `  G ) )  ->  ( Base `  G
)  =  U. J
)
97, 8syl 15 . . . 4  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  ( Base `  G
)  =  U. J
)
105, 9eleqtrd 2359 . . 3  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  .0.  e.  U. J
)
11 eqid 2283 . . . . 5  |-  U. J  =  U. J
1211sncld 17099 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Haus  /\  .0.  e.  U. J )  ->  {  .0.  }  e.  (
Clsd `  J )
)
1312expcom 424 . . 3  |-  (  .0. 
e.  U. J  ->  ( J  e.  Haus  ->  {  .0.  }  e.  ( Clsd `  J
) ) )
1410, 13syl 15 . 2  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  ( J  e. 
Haus  ->  {  .0.  }  e.  ( Clsd `  J
) ) )
15 eqid 2283 . . . . . 6  |-  ( -g `  G )  =  (
-g `  G )
166, 15tgpsubcn 17773 . . . . 5  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  ( -g `  G
)  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J ) )
17 cnclima 16997 . . . . . 6  |-  ( ( ( -g `  G
)  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J )  /\  {  .0.  }  e.  (
Clsd `  J )
)  ->  ( `' ( -g `  G )
" {  .0.  }
)  e.  ( Clsd `  ( J  tX  J
) ) )
1817ex 423 . . . . 5  |-  ( (
-g `  G )  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J
)  ->  ( {  .0.  }  e.  ( Clsd `  J )  ->  ( `' ( -g `  G
) " {  .0.  } )  e.  ( Clsd `  ( J  tX  J
) ) ) )
1916, 18syl 15 . . . 4  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  ( {  .0.  }  e.  ( Clsd `  J
)  ->  ( `' ( -g `  G )
" {  .0.  }
)  e.  ( Clsd `  ( J  tX  J
) ) ) )
20 cnvimass 5033 . . . . . . . . 9  |-  ( `' ( -g `  G
) " {  .0.  } )  C_  dom  ( -g `  G )
212, 15grpsubf 14545 . . . . . . . . . . 11  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( -g `  G ) : ( ( Base `  G
)  X.  ( Base `  G ) ) --> (
Base `  G )
)
221, 21syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  ( -g `  G
) : ( (
Base `  G )  X.  ( Base `  G
) ) --> ( Base `  G ) )
23 fdm 5393 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
-g `  G ) : ( ( Base `  G )  X.  ( Base `  G ) ) --> ( Base `  G
)  ->  dom  ( -g `  G )  =  ( ( Base `  G
)  X.  ( Base `  G ) ) )
2422, 23syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  dom  ( -g `  G )  =  ( ( Base `  G
)  X.  ( Base `  G ) ) )
2520, 24syl5sseq 3226 . . . . . . . 8  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  ( `' (
-g `  G ) " {  .0.  } ) 
C_  ( ( Base `  G )  X.  ( Base `  G ) ) )
26 relxp 4794 . . . . . . . 8  |-  Rel  (
( Base `  G )  X.  ( Base `  G
) )
27 relss 4775 . . . . . . . 8  |-  ( ( `' ( -g `  G
) " {  .0.  } )  C_  ( ( Base `  G )  X.  ( Base `  G
) )  ->  ( Rel  ( ( Base `  G
)  X.  ( Base `  G ) )  ->  Rel  ( `' ( -g `  G ) " {  .0.  } ) ) )
2825, 26, 27ee10 1366 . . . . . . 7  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  Rel  ( `' ( -g `  G )
" {  .0.  }
) )
29 dfrel4v 5125 . . . . . . 7  |-  ( Rel  ( `' ( -g `  G ) " {  .0.  } )  <->  ( `' ( -g `  G )
" {  .0.  }
)  =  { <. x ,  y >.  |  x ( `' ( -g `  G ) " {  .0.  } ) y } )
3028, 29sylib 188 . . . . . 6  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  ( `' (
-g `  G ) " {  .0.  } )  =  { <. x ,  y >.  |  x ( `' ( -g `  G ) " {  .0.  } ) y } )
31 ffn 5389 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
-g `  G ) : ( ( Base `  G )  X.  ( Base `  G ) ) --> ( Base `  G
)  ->  ( -g `  G )  Fn  (
( Base `  G )  X.  ( Base `  G
) ) )
3222, 31syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  ( -g `  G
)  Fn  ( (
Base `  G )  X.  ( Base `  G
) ) )
33 elpreima 5645 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
-g `  G )  Fn  ( ( Base `  G
)  X.  ( Base `  G ) )  -> 
( <. x ,  y
>.  e.  ( `' (
-g `  G ) " {  .0.  } )  <-> 
( <. x ,  y
>.  e.  ( ( Base `  G )  X.  ( Base `  G ) )  /\  ( ( -g `  G ) `  <. x ,  y >. )  e.  {  .0.  } ) ) )
3432, 33syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  ( <. x ,  y >.  e.  ( `' ( -g `  G
) " {  .0.  } )  <->  ( <. x ,  y >.  e.  ( ( Base `  G
)  X.  ( Base `  G ) )  /\  ( ( -g `  G
) `  <. x ,  y >. )  e.  {  .0.  } ) ) )
35 opelxp 4719 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ( ( Base `  G
)  X.  ( Base `  G ) )  <->  ( x  e.  ( Base `  G
)  /\  y  e.  ( Base `  G )
) )
3635anbi1i 676 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
<. x ,  y >.  e.  ( ( Base `  G
)  X.  ( Base `  G ) )  /\  ( ( -g `  G
) `  <. x ,  y >. )  e.  {  .0.  } )  <->  ( (
x  e.  ( Base `  G )  /\  y  e.  ( Base `  G
) )  /\  (
( -g `  G ) `
 <. x ,  y
>. )  e.  {  .0.  } ) )
372, 3, 15grpsubeq0 14552 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  x  e.  ( Base `  G )  /\  y  e.  ( Base `  G
) )  ->  (
( x ( -g `  G ) y )  =  .0.  <->  x  =  y ) )
38373expb 1152 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( x  e.  ( Base `  G )  /\  y  e.  ( Base `  G ) ) )  ->  ( ( x ( -g `  G
) y )  =  .0.  <->  x  =  y
) )
391, 38sylan 457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  (
x  e.  ( Base `  G )  /\  y  e.  ( Base `  G
) ) )  -> 
( ( x (
-g `  G )
y )  =  .0.  <->  x  =  y ) )
40 df-ov 5861 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x ( -g `  G
) y )  =  ( ( -g `  G
) `  <. x ,  y >. )
4140eleq1i 2346 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x ( -g `  G
) y )  e. 
{  .0.  }  <->  ( ( -g `  G ) `  <. x ,  y >.
)  e.  {  .0.  } )
42 ovex 5883 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x ( -g `  G
) y )  e. 
_V
4342elsnc 3663 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x ( -g `  G
) y )  e. 
{  .0.  }  <->  ( x
( -g `  G ) y )  =  .0.  )
4441, 43bitr3i 242 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( -g `  G
) `  <. x ,  y >. )  e.  {  .0.  }  <->  ( x (
-g `  G )
y )  =  .0.  )
45 equcom 1647 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  x  <->  x  =  y )
4639, 44, 453bitr4g 279 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  (
x  e.  ( Base `  G )  /\  y  e.  ( Base `  G
) ) )  -> 
( ( ( -g `  G ) `  <. x ,  y >. )  e.  {  .0.  }  <->  y  =  x ) )
4746pm5.32da 622 . . . . . . . . . . 11  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  ( ( ( x  e.  ( Base `  G )  /\  y  e.  ( Base `  G
) )  /\  (
( -g `  G ) `
 <. x ,  y
>. )  e.  {  .0.  } )  <->  ( ( x  e.  ( Base `  G
)  /\  y  e.  ( Base `  G )
)  /\  y  =  x ) ) )
4836, 47syl5bb 248 . . . . . . . . . 10  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  ( ( <.
x ,  y >.  e.  ( ( Base `  G
)  X.  ( Base `  G ) )  /\  ( ( -g `  G
) `  <. x ,  y >. )  e.  {  .0.  } )  <->  ( (
x  e.  ( Base `  G )  /\  y  e.  ( Base `  G
) )  /\  y  =  x ) ) )
4934, 48bitrd 244 . . . . . . . . 9  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  ( <. x ,  y >.  e.  ( `' ( -g `  G
) " {  .0.  } )  <->  ( ( x  e.  ( Base `  G
)  /\  y  e.  ( Base `  G )
)  /\  y  =  x ) ) )
50 df-br 4024 . . . . . . . . 9  |-  ( x ( `' ( -g `  G ) " {  .0.  } ) y  <->  <. x ,  y >.  e.  ( `' ( -g `  G
) " {  .0.  } ) )
51 eleq1 2343 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  x  ->  (
y  e.  ( Base `  G )  <->  x  e.  ( Base `  G )
) )
5251biimparc 473 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ( Base `  G )  /\  y  =  x )  ->  y  e.  ( Base `  G
) )
5352pm4.71i 613 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ( Base `  G )  /\  y  =  x )  <->  ( (
x  e.  ( Base `  G )  /\  y  =  x )  /\  y  e.  ( Base `  G
) ) )
54 an32 773 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  (
Base `  G )  /\  y  e.  ( Base `  G ) )  /\  y  =  x )  <->  ( ( x  e.  ( Base `  G
)  /\  y  =  x )  /\  y  e.  ( Base `  G
) ) )
5553, 54bitr4i 243 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ( Base `  G )  /\  y  =  x )  <->  ( (
x  e.  ( Base `  G )  /\  y  e.  ( Base `  G
) )  /\  y  =  x ) )
5649, 50, 553bitr4g 279 . . . . . . . 8  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  ( x ( `' ( -g `  G
) " {  .0.  } ) y  <->  ( x  e.  ( Base `  G
)  /\  y  =  x ) ) )
5756opabbidv 4082 . . . . . . 7  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  { <. x ,  y >.  |  x ( `' ( -g `  G ) " {  .0.  } ) y }  =  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  ( Base `  G )  /\  y  =  x ) } )
58 opabresid 5003 . . . . . . 7  |-  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  ( Base `  G )  /\  y  =  x ) }  =  (  _I  |`  ( Base `  G ) )
5957, 58syl6eq 2331 . . . . . 6  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  { <. x ,  y >.  |  x ( `' ( -g `  G ) " {  .0.  } ) y }  =  (  _I  |`  ( Base `  G ) ) )
609reseq2d 4955 . . . . . 6  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  (  _I  |`  ( Base `  G ) )  =  (  _I  |`  U. J
) )
6130, 59, 603eqtrd 2319 . . . . 5  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  ( `' (
-g `  G ) " {  .0.  } )  =  (  _I  |`  U. J
) )
6261eleq1d 2349 . . . 4  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  ( ( `' ( -g `  G
) " {  .0.  } )  e.  ( Clsd `  ( J  tX  J
) )  <->  (  _I  |` 
U. J )  e.  ( Clsd `  ( J  tX  J ) ) ) )
6319, 62sylibd 205 . . 3  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  ( {  .0.  }  e.  ( Clsd `  J
)  ->  (  _I  |` 
U. J )  e.  ( Clsd `  ( J  tX  J ) ) ) )
64 topontop 16664 . . . . 5  |-  ( J  e.  (TopOn `  ( Base `  G ) )  ->  J  e.  Top )
657, 64syl 15 . . . 4  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  J  e.  Top )
6611hausdiag 17339 . . . . 5  |-  ( J  e.  Haus  <->  ( J  e. 
Top  /\  (  _I  |` 
U. J )  e.  ( Clsd `  ( J  tX  J ) ) ) )
6766baib 871 . . . 4  |-  ( J  e.  Top  ->  ( J  e.  Haus  <->  (  _I  |` 
U. J )  e.  ( Clsd `  ( J  tX  J ) ) ) )
6865, 67syl 15 . . 3  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  ( J  e. 
Haus 
<->  (  _I  |`  U. J
)  e.  ( Clsd `  ( J  tX  J
) ) ) )
6963, 68sylibrd 225 . 2  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  ( {  .0.  }  e.  ( Clsd `  J
)  ->  J  e.  Haus ) )
7014, 69impbid 183 1  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  ( J  e. 
Haus 
<->  {  .0.  }  e.  ( Clsd `  J )
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684    C_ wss 3152   {csn 3640   <.cop 3643   U.cuni 3827   class class class wbr 4023   {copab 4076    _I cid 4304    X. cxp 4687   `'ccnv 4688   dom cdm 4689    |` cres 4691   "cima 4692   Rel wrel 4694    Fn wfn 5250   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Basecbs 13148   TopOpenctopn 13326   0gc0g 13400   Grpcgrp 14362   -gcsg 14365   Topctop 16631  TopOnctopon 16632   Clsdccld 16753    Cn ccn 16954   Hauscha 17036    tX ctx 17255   TopGrpctgp 17754
This theorem is referenced by:  tgpt1  17800  divstgphaus  17805
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-map 6774  df-topgen 13344  df-0g 13404  df-mnd 14367  df-plusf 14368  df-grp 14489  df-minusg 14490  df-sbg 14491  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-topsp 16640  df-cld 16756  df-cn 16957  df-t1 17042  df-haus 17043  df-tx 17257  df-tmd 17755  df-tgp 17756
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