MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tgpmulg Unicode version

Theorem tgpmulg 18046
Description: In a topological group, the n-times group multiple function is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tgpmulg.j  |-  J  =  ( TopOpen `  G )
tgpmulg.t  |-  .x.  =  (.g
`  G )
tgpmulg.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
Assertion
Ref Expression
tgpmulg  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
x  e.  B  |->  ( N  .x.  x ) )  e.  ( J  Cn  J ) )
Distinct variable groups:    x, B    x, G    x, J    x,  .x.    x, N

Proof of Theorem tgpmulg
StepHypRef Expression
1 tgptmd 18032 . . . 4  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  G  e. TopMnd )
2 tgpmulg.j . . . . 5  |-  J  =  ( TopOpen `  G )
3 tgpmulg.t . . . . 5  |-  .x.  =  (.g
`  G )
4 tgpmulg.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  G
)
52, 3, 4tmdmulg 18045 . . . 4  |-  ( ( G  e. TopMnd  /\  N  e. 
NN0 )  ->  (
x  e.  B  |->  ( N  .x.  x ) )  e.  ( J  Cn  J ) )
61, 5sylan 458 . . 3  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  N  e.  NN0 )  ->  (
x  e.  B  |->  ( N  .x.  x ) )  e.  ( J  Cn  J ) )
76adantlr 696 . 2  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  N  e.  ZZ )  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( x  e.  B  |->  ( N  .x.  x ) )  e.  ( J  Cn  J
) )
8 simpllr 736 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  N  e.  ZZ )  /\  -u N  e.  NN )  /\  x  e.  B
)  ->  N  e.  ZZ )
98zcnd 10310 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  N  e.  ZZ )  /\  -u N  e.  NN )  /\  x  e.  B
)  ->  N  e.  CC )
109negnegd 9336 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  N  e.  ZZ )  /\  -u N  e.  NN )  /\  x  e.  B
)  ->  -u -u N  =  N )
1110oveq1d 6037 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  N  e.  ZZ )  /\  -u N  e.  NN )  /\  x  e.  B
)  ->  ( -u -u N  .x.  x )  =  ( N  .x.  x ) )
12 eqid 2389 . . . . . . . 8  |-  ( inv g `  G )  =  ( inv g `  G )
134, 3, 12mulgnegnn 14829 . . . . . . 7  |-  ( (
-u N  e.  NN  /\  x  e.  B )  ->  ( -u -u N  .x.  x )  =  ( ( inv g `  G ) `  ( -u N  .x.  x ) ) )
1413adantll 695 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  N  e.  ZZ )  /\  -u N  e.  NN )  /\  x  e.  B
)  ->  ( -u -u N  .x.  x )  =  ( ( inv g `  G ) `  ( -u N  .x.  x ) ) )
1511, 14eqtr3d 2423 . . . . 5  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  N  e.  ZZ )  /\  -u N  e.  NN )  /\  x  e.  B
)  ->  ( N  .x.  x )  =  ( ( inv g `  G ) `  ( -u N  .x.  x ) ) )
1615mpteq2dva 4238 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  N  e.  ZZ )  /\  -u N  e.  NN )  ->  ( x  e.  B  |->  ( N  .x.  x ) )  =  ( x  e.  B  |->  ( ( inv g `  G ) `  ( -u N  .x.  x ) ) ) )
172, 4tgptopon 18035 . . . . . 6  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  J  e.  (TopOn `  B ) )
1817ad2antrr 707 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  N  e.  ZZ )  /\  -u N  e.  NN )  ->  J  e.  (TopOn `  B ) )
191adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  N  e.  ZZ )  ->  G  e. TopMnd )
20 nnnn0 10162 . . . . . 6  |-  ( -u N  e.  NN  ->  -u N  e.  NN0 )
212, 3, 4tmdmulg 18045 . . . . . 6  |-  ( ( G  e. TopMnd  /\  -u N  e.  NN0 )  ->  (
x  e.  B  |->  (
-u N  .x.  x
) )  e.  ( J  Cn  J ) )
2219, 20, 21syl2an 464 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  N  e.  ZZ )  /\  -u N  e.  NN )  ->  ( x  e.  B  |->  ( -u N  .x.  x ) )  e.  ( J  Cn  J
) )
232, 12tgpinv 18038 . . . . . 6  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  ( inv g `  G )  e.  ( J  Cn  J ) )
2423ad2antrr 707 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  N  e.  ZZ )  /\  -u N  e.  NN )  ->  ( inv g `  G )  e.  ( J  Cn  J ) )
2518, 22, 24cnmpt11f 17619 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  N  e.  ZZ )  /\  -u N  e.  NN )  ->  ( x  e.  B  |->  ( ( inv g `  G ) `
 ( -u N  .x.  x ) ) )  e.  ( J  Cn  J ) )
2616, 25eqeltrd 2463 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  N  e.  ZZ )  /\  -u N  e.  NN )  ->  ( x  e.  B  |->  ( N  .x.  x ) )  e.  ( J  Cn  J
) )
2726adantrl 697 . 2  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN ) )  -> 
( x  e.  B  |->  ( N  .x.  x
) )  e.  ( J  Cn  J ) )
28 simpr 448 . . 3  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  N  e.  ZZ )  ->  N  e.  ZZ )
29 elznn0nn 10229 . . 3  |-  ( N  e.  ZZ  <->  ( N  e.  NN0  \/  ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN ) ) )
3028, 29sylib 189 . 2  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( N  e.  NN0  \/  ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN ) ) )
317, 27, 30mpjaodan 762 1  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
x  e.  B  |->  ( N  .x.  x ) )  e.  ( J  Cn  J ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 358    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717    e. cmpt 4209   ` cfv 5396  (class class class)co 6022   RRcr 8924   -ucneg 9226   NNcn 9934   NN0cn0 10155   ZZcz 10216   Basecbs 13398   TopOpenctopn 13578   inv gcminusg 14615  .gcmg 14618  TopOnctopon 16884    Cn ccn 17212  TopMndctmd 18023   TopGrpctgp 18024
This theorem is referenced by:  tgpmulg2  18047
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2370  ax-rep 4263  ax-sep 4273  ax-nul 4281  ax-pow 4320  ax-pr 4346  ax-un 4643  ax-inf2 7531  ax-cnex 8981  ax-resscn 8982  ax-1cn 8983  ax-icn 8984  ax-addcl 8985  ax-addrcl 8986  ax-mulcl 8987  ax-mulrcl 8988  ax-mulcom 8989  ax-addass 8990  ax-mulass 8991  ax-distr 8992  ax-i2m1 8993  ax-1ne0 8994  ax-1rid 8995  ax-rnegex 8996  ax-rrecex 8997  ax-cnre 8998  ax-pre-lttri 8999  ax-pre-lttrn 9000  ax-pre-ltadd 9001  ax-pre-mulgt0 9002
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2376  df-cleq 2382  df-clel 2385  df-nfc 2514  df-ne 2554  df-nel 2555  df-ral 2656  df-rex 2657  df-reu 2658  df-rmo 2659  df-rab 2660  df-v 2903  df-sbc 3107  df-csb 3197  df-dif 3268  df-un 3270  df-in 3272  df-ss 3279  df-pss 3281  df-nul 3574  df-if 3685  df-pw 3746  df-sn 3765  df-pr 3766  df-tp 3767  df-op 3768  df-uni 3960  df-iun 4039  df-br 4156  df-opab 4210  df-mpt 4211  df-tr 4246  df-eprel 4437  df-id 4441  df-po 4446  df-so 4447  df-fr 4484  df-we 4486  df-ord 4527  df-on 4528  df-lim 4529  df-suc 4530  df-om 4788  df-xp 4826  df-rel 4827  df-cnv 4828  df-co 4829  df-dm 4830  df-rn 4831  df-res 4832  df-ima 4833  df-iota 5360  df-fun 5398  df-fn 5399  df-f 5400  df-f1 5401  df-fo 5402  df-f1o 5403  df-fv 5404  df-ov 6025  df-oprab 6026  df-mpt2 6027  df-1st 6290  df-2nd 6291  df-riota 6487  df-recs 6571  df-rdg 6606  df-er 6843  df-map 6958  df-en 7048  df-dom 7049  df-sdom 7050  df-pnf 9057  df-mnf 9058  df-xr 9059  df-ltxr 9060  df-le 9061  df-sub 9227  df-neg 9228  df-nn 9935  df-n0 10156  df-z 10217  df-uz 10423  df-seq 11253  df-topgen 13596  df-0g 13656  df-mnd 14619  df-plusf 14620  df-mulg 14744  df-top 16888  df-bases 16890  df-topon 16891  df-topsp 16892  df-cn 17215  df-cnp 17216  df-tx 17517  df-tmd 18025  df-tgp 18026
  Copyright terms: Public domain W3C validator