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Theorem tgpt0 17801
Description: Hausdorff and T0 are equivalent for topological groups. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
tgpt1.j  |-  J  =  ( TopOpen `  G )
Assertion
Ref Expression
tgpt0  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  ( J  e. 
Haus 
<->  J  e.  Kol2 )
)

Proof of Theorem tgpt0
Dummy variables  w  a  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tgpt1.j . . 3  |-  J  =  ( TopOpen `  G )
21tgpt1 17800 . 2  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  ( J  e. 
Haus 
<->  J  e.  Fre )
)
3 t1t0 17076 . . 3  |-  ( J  e.  Fre  ->  J  e.  Kol2 )
4 eleq2 2344 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  =  z  ->  (
x  e.  w  <->  x  e.  z ) )
5 eleq2 2344 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  =  z  ->  (
y  e.  w  <->  y  e.  z ) )
64, 5imbi12d 311 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  =  z  ->  (
( x  e.  w  ->  y  e.  w )  <-> 
( x  e.  z  ->  y  e.  z ) ) )
76rspccva 2883 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A. w  e.  J  ( x  e.  w  ->  y  e.  w )  /\  z  e.  J
)  ->  ( x  e.  z  ->  y  e.  z ) )
87adantll 694 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  ( x  e.  ( Base `  G
)  /\  y  e.  ( Base `  G )
) )  /\  A. w  e.  J  (
x  e.  w  -> 
y  e.  w ) )  /\  z  e.  J )  ->  (
x  e.  z  -> 
y  e.  z ) )
9 tgpgrp 17761 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  G  e.  Grp )
109ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  ( x  e.  ( Base `  G
)  /\  y  e.  ( Base `  G )
) )  /\  A. w  e.  J  (
x  e.  w  -> 
y  e.  w ) )  /\  ( z  e.  J  /\  y  e.  z ) )  ->  G  e.  Grp )
11 simpllr 735 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  ( x  e.  ( Base `  G
)  /\  y  e.  ( Base `  G )
) )  /\  A. w  e.  J  (
x  e.  w  -> 
y  e.  w ) )  /\  ( z  e.  J  /\  y  e.  z ) )  -> 
( x  e.  (
Base `  G )  /\  y  e.  ( Base `  G ) ) )
1211simprd 449 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  ( x  e.  ( Base `  G
)  /\  y  e.  ( Base `  G )
) )  /\  A. w  e.  J  (
x  e.  w  -> 
y  e.  w ) )  /\  ( z  e.  J  /\  y  e.  z ) )  -> 
y  e.  ( Base `  G ) )
13 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
14 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
15 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( -g `  G )  =  (
-g `  G )
1613, 14, 15grpsubid 14550 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  y  e.  ( Base `  G ) )  -> 
( y ( -g `  G ) y )  =  ( 0g `  G ) )
1710, 12, 16syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  ( x  e.  ( Base `  G
)  /\  y  e.  ( Base `  G )
) )  /\  A. w  e.  J  (
x  e.  w  -> 
y  e.  w ) )  /\  ( z  e.  J  /\  y  e.  z ) )  -> 
( y ( -g `  G ) y )  =  ( 0g `  G ) )
1817oveq1d 5873 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  ( x  e.  ( Base `  G
)  /\  y  e.  ( Base `  G )
) )  /\  A. w  e.  J  (
x  e.  w  -> 
y  e.  w ) )  /\  ( z  e.  J  /\  y  e.  z ) )  -> 
( ( y (
-g `  G )
y ) ( +g  `  G ) x )  =  ( ( 0g
`  G ) ( +g  `  G ) x ) )
1911simpld 445 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  ( x  e.  ( Base `  G
)  /\  y  e.  ( Base `  G )
) )  /\  A. w  e.  J  (
x  e.  w  -> 
y  e.  w ) )  /\  ( z  e.  J  /\  y  e.  z ) )  ->  x  e.  ( Base `  G ) )
20 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
2113, 20, 14grplid 14512 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  x  e.  ( Base `  G ) )  -> 
( ( 0g `  G ) ( +g  `  G ) x )  =  x )
2210, 19, 21syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  ( x  e.  ( Base `  G
)  /\  y  e.  ( Base `  G )
) )  /\  A. w  e.  J  (
x  e.  w  -> 
y  e.  w ) )  /\  ( z  e.  J  /\  y  e.  z ) )  -> 
( ( 0g `  G ) ( +g  `  G ) x )  =  x )
2318, 22eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  ( x  e.  ( Base `  G
)  /\  y  e.  ( Base `  G )
) )  /\  A. w  e.  J  (
x  e.  w  -> 
y  e.  w ) )  /\  ( z  e.  J  /\  y  e.  z ) )  -> 
( ( y (
-g `  G )
y ) ( +g  `  G ) x )  =  x )
24 tgptmd 17762 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  G  e. TopMnd )
2524ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  ( x  e.  ( Base `  G
)  /\  y  e.  ( Base `  G )
) )  /\  A. w  e.  J  (
x  e.  w  -> 
y  e.  w ) )  /\  ( z  e.  J  /\  y  e.  z ) )  ->  G  e. TopMnd )
261, 13tgptopon 17765 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  J  e.  (TopOn `  ( Base `  G
) ) )
2726ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  ( x  e.  ( Base `  G
)  /\  y  e.  ( Base `  G )
) )  /\  A. w  e.  J  (
x  e.  w  -> 
y  e.  w ) )  /\  ( z  e.  J  /\  y  e.  z ) )  ->  J  e.  (TopOn `  ( Base `  G ) ) )
2827, 27, 12cnmptc 17356 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  ( x  e.  ( Base `  G
)  /\  y  e.  ( Base `  G )
) )  /\  A. w  e.  J  (
x  e.  w  -> 
y  e.  w ) )  /\  ( z  e.  J  /\  y  e.  z ) )  -> 
( a  e.  (
Base `  G )  |->  y )  e.  ( J  Cn  J ) )
2927cnmptid 17355 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  ( x  e.  ( Base `  G
)  /\  y  e.  ( Base `  G )
) )  /\  A. w  e.  J  (
x  e.  w  -> 
y  e.  w ) )  /\  ( z  e.  J  /\  y  e.  z ) )  -> 
( a  e.  (
Base `  G )  |->  a )  e.  ( J  Cn  J ) )
301, 15tgpsubcn 17773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  ( -g `  G
)  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J ) )
3130ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  ( x  e.  ( Base `  G
)  /\  y  e.  ( Base `  G )
) )  /\  A. w  e.  J  (
x  e.  w  -> 
y  e.  w ) )  /\  ( z  e.  J  /\  y  e.  z ) )  -> 
( -g `  G )  e.  ( ( J 
tX  J )  Cn  J ) )
3227, 28, 29, 31cnmpt12f 17360 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  ( x  e.  ( Base `  G
)  /\  y  e.  ( Base `  G )
) )  /\  A. w  e.  J  (
x  e.  w  -> 
y  e.  w ) )  /\  ( z  e.  J  /\  y  e.  z ) )  -> 
( a  e.  (
Base `  G )  |->  ( y ( -g `  G ) a ) )  e.  ( J  Cn  J ) )
3327, 27, 19cnmptc 17356 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  ( x  e.  ( Base `  G
)  /\  y  e.  ( Base `  G )
) )  /\  A. w  e.  J  (
x  e.  w  -> 
y  e.  w ) )  /\  ( z  e.  J  /\  y  e.  z ) )  -> 
( a  e.  (
Base `  G )  |->  x )  e.  ( J  Cn  J ) )
341, 20, 25, 27, 32, 33cnmpt1plusg 17770 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  ( x  e.  ( Base `  G
)  /\  y  e.  ( Base `  G )
) )  /\  A. w  e.  J  (
x  e.  w  -> 
y  e.  w ) )  /\  ( z  e.  J  /\  y  e.  z ) )  -> 
( a  e.  (
Base `  G )  |->  ( ( y (
-g `  G )
a ) ( +g  `  G ) x ) )  e.  ( J  Cn  J ) )
35 simprl 732 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  ( x  e.  ( Base `  G
)  /\  y  e.  ( Base `  G )
) )  /\  A. w  e.  J  (
x  e.  w  -> 
y  e.  w ) )  /\  ( z  e.  J  /\  y  e.  z ) )  -> 
z  e.  J )
36 cnima 16994 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( a  e.  (
Base `  G )  |->  ( ( y (
-g `  G )
a ) ( +g  `  G ) x ) )  e.  ( J  Cn  J )  /\  z  e.  J )  ->  ( `' ( a  e.  ( Base `  G
)  |->  ( ( y ( -g `  G
) a ) ( +g  `  G ) x ) ) "
z )  e.  J
)
3734, 35, 36syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  ( x  e.  ( Base `  G
)  /\  y  e.  ( Base `  G )
) )  /\  A. w  e.  J  (
x  e.  w  -> 
y  e.  w ) )  /\  ( z  e.  J  /\  y  e.  z ) )  -> 
( `' ( a  e.  ( Base `  G
)  |->  ( ( y ( -g `  G
) a ) ( +g  `  G ) x ) ) "
z )  e.  J
)
38 simplr 731 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  ( x  e.  ( Base `  G
)  /\  y  e.  ( Base `  G )
) )  /\  A. w  e.  J  (
x  e.  w  -> 
y  e.  w ) )  /\  ( z  e.  J  /\  y  e.  z ) )  ->  A. w  e.  J  ( x  e.  w  ->  y  e.  w ) )
3913, 20, 15grpnpcan 14557 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  y  e.  ( Base `  G )  /\  x  e.  ( Base `  G
) )  ->  (
( y ( -g `  G ) x ) ( +g  `  G
) x )  =  y )
4010, 12, 19, 39syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  ( x  e.  ( Base `  G
)  /\  y  e.  ( Base `  G )
) )  /\  A. w  e.  J  (
x  e.  w  -> 
y  e.  w ) )  /\  ( z  e.  J  /\  y  e.  z ) )  -> 
( ( y (
-g `  G )
x ) ( +g  `  G ) x )  =  y )
41 simprr 733 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  ( x  e.  ( Base `  G
)  /\  y  e.  ( Base `  G )
) )  /\  A. w  e.  J  (
x  e.  w  -> 
y  e.  w ) )  /\  ( z  e.  J  /\  y  e.  z ) )  -> 
y  e.  z )
4240, 41eqeltrd 2357 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  ( x  e.  ( Base `  G
)  /\  y  e.  ( Base `  G )
) )  /\  A. w  e.  J  (
x  e.  w  -> 
y  e.  w ) )  /\  ( z  e.  J  /\  y  e.  z ) )  -> 
( ( y (
-g `  G )
x ) ( +g  `  G ) x )  e.  z )
43 oveq2 5866 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( a  =  x  ->  (
y ( -g `  G
) a )  =  ( y ( -g `  G ) x ) )
4443oveq1d 5873 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( a  =  x  ->  (
( y ( -g `  G ) a ) ( +g  `  G
) x )  =  ( ( y (
-g `  G )
x ) ( +g  `  G ) x ) )
4544eleq1d 2349 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( a  =  x  ->  (
( ( y (
-g `  G )
a ) ( +g  `  G ) x )  e.  z  <->  ( (
y ( -g `  G
) x ) ( +g  `  G ) x )  e.  z ) )
46 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( a  e.  ( Base `  G
)  |->  ( ( y ( -g `  G
) a ) ( +g  `  G ) x ) )  =  ( a  e.  (
Base `  G )  |->  ( ( y (
-g `  G )
a ) ( +g  `  G ) x ) )
4746mptpreima 5166 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( `' ( a  e.  (
Base `  G )  |->  ( ( y (
-g `  G )
a ) ( +g  `  G ) x ) ) " z )  =  { a  e.  ( Base `  G
)  |  ( ( y ( -g `  G
) a ) ( +g  `  G ) x )  e.  z }
4845, 47elrab2 2925 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( `' ( a  e.  ( Base `  G )  |->  ( ( y ( -g `  G
) a ) ( +g  `  G ) x ) ) "
z )  <->  ( x  e.  ( Base `  G
)  /\  ( (
y ( -g `  G
) x ) ( +g  `  G ) x )  e.  z ) )
4919, 42, 48sylanbrc 645 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  ( x  e.  ( Base `  G
)  /\  y  e.  ( Base `  G )
) )  /\  A. w  e.  J  (
x  e.  w  -> 
y  e.  w ) )  /\  ( z  e.  J  /\  y  e.  z ) )  ->  x  e.  ( `' ( a  e.  (
Base `  G )  |->  ( ( y (
-g `  G )
a ) ( +g  `  G ) x ) ) " z ) )
50 eleq2 2344 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( w  =  ( `' ( a  e.  ( Base `  G )  |->  ( ( y ( -g `  G
) a ) ( +g  `  G ) x ) ) "
z )  ->  (
x  e.  w  <->  x  e.  ( `' ( a  e.  ( Base `  G
)  |->  ( ( y ( -g `  G
) a ) ( +g  `  G ) x ) ) "
z ) ) )
51 eleq2 2344 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( w  =  ( `' ( a  e.  ( Base `  G )  |->  ( ( y ( -g `  G
) a ) ( +g  `  G ) x ) ) "
z )  ->  (
y  e.  w  <->  y  e.  ( `' ( a  e.  ( Base `  G
)  |->  ( ( y ( -g `  G
) a ) ( +g  `  G ) x ) ) "
z ) ) )
5250, 51imbi12d 311 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w  =  ( `' ( a  e.  ( Base `  G )  |->  ( ( y ( -g `  G
) a ) ( +g  `  G ) x ) ) "
z )  ->  (
( x  e.  w  ->  y  e.  w )  <-> 
( x  e.  ( `' ( a  e.  ( Base `  G
)  |->  ( ( y ( -g `  G
) a ) ( +g  `  G ) x ) ) "
z )  ->  y  e.  ( `' ( a  e.  ( Base `  G
)  |->  ( ( y ( -g `  G
) a ) ( +g  `  G ) x ) ) "
z ) ) ) )
5352rspcv 2880 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( `' ( a  e.  ( Base `  G
)  |->  ( ( y ( -g `  G
) a ) ( +g  `  G ) x ) ) "
z )  e.  J  ->  ( A. w  e.  J  ( x  e.  w  ->  y  e.  w )  ->  (
x  e.  ( `' ( a  e.  (
Base `  G )  |->  ( ( y (
-g `  G )
a ) ( +g  `  G ) x ) ) " z )  ->  y  e.  ( `' ( a  e.  ( Base `  G
)  |->  ( ( y ( -g `  G
) a ) ( +g  `  G ) x ) ) "
z ) ) ) )
5437, 38, 49, 53syl3c 57 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  ( x  e.  ( Base `  G
)  /\  y  e.  ( Base `  G )
) )  /\  A. w  e.  J  (
x  e.  w  -> 
y  e.  w ) )  /\  ( z  e.  J  /\  y  e.  z ) )  -> 
y  e.  ( `' ( a  e.  (
Base `  G )  |->  ( ( y (
-g `  G )
a ) ( +g  `  G ) x ) ) " z ) )
55 oveq2 5866 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( a  =  y  ->  (
y ( -g `  G
) a )  =  ( y ( -g `  G ) y ) )
5655oveq1d 5873 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( a  =  y  ->  (
( y ( -g `  G ) a ) ( +g  `  G
) x )  =  ( ( y (
-g `  G )
y ) ( +g  `  G ) x ) )
5756eleq1d 2349 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( a  =  y  ->  (
( ( y (
-g `  G )
a ) ( +g  `  G ) x )  e.  z  <->  ( (
y ( -g `  G
) y ) ( +g  `  G ) x )  e.  z ) )
5857, 47elrab2 2925 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  ( `' ( a  e.  ( Base `  G )  |->  ( ( y ( -g `  G
) a ) ( +g  `  G ) x ) ) "
z )  <->  ( y  e.  ( Base `  G
)  /\  ( (
y ( -g `  G
) y ) ( +g  `  G ) x )  e.  z ) )
5958simprbi 450 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  ( `' ( a  e.  ( Base `  G )  |->  ( ( y ( -g `  G
) a ) ( +g  `  G ) x ) ) "
z )  ->  (
( y ( -g `  G ) y ) ( +g  `  G
) x )  e.  z )
6054, 59syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  ( x  e.  ( Base `  G
)  /\  y  e.  ( Base `  G )
) )  /\  A. w  e.  J  (
x  e.  w  -> 
y  e.  w ) )  /\  ( z  e.  J  /\  y  e.  z ) )  -> 
( ( y (
-g `  G )
y ) ( +g  `  G ) x )  e.  z )
6123, 60eqeltrrd 2358 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  ( x  e.  ( Base `  G
)  /\  y  e.  ( Base `  G )
) )  /\  A. w  e.  J  (
x  e.  w  -> 
y  e.  w ) )  /\  ( z  e.  J  /\  y  e.  z ) )  ->  x  e.  z )
6261expr 598 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  ( x  e.  ( Base `  G
)  /\  y  e.  ( Base `  G )
) )  /\  A. w  e.  J  (
x  e.  w  -> 
y  e.  w ) )  /\  z  e.  J )  ->  (
y  e.  z  ->  x  e.  z )
)
638, 62impbid 183 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  ( x  e.  ( Base `  G
)  /\  y  e.  ( Base `  G )
) )  /\  A. w  e.  J  (
x  e.  w  -> 
y  e.  w ) )  /\  z  e.  J )  ->  (
x  e.  z  <->  y  e.  z ) )
6463ralrimiva 2626 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  ( x  e.  (
Base `  G )  /\  y  e.  ( Base `  G ) ) )  /\  A. w  e.  J  ( x  e.  w  ->  y  e.  w ) )  ->  A. z  e.  J  ( x  e.  z  <->  y  e.  z ) )
6564ex 423 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  (
x  e.  ( Base `  G )  /\  y  e.  ( Base `  G
) ) )  -> 
( A. w  e.  J  ( x  e.  w  ->  y  e.  w )  ->  A. z  e.  J  ( x  e.  z  <->  y  e.  z ) ) )
6665imim1d 69 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  (
x  e.  ( Base `  G )  /\  y  e.  ( Base `  G
) ) )  -> 
( ( A. z  e.  J  ( x  e.  z  <->  y  e.  z )  ->  x  =  y )  ->  ( A. w  e.  J  ( x  e.  w  ->  y  e.  w )  ->  x  =  y ) ) )
6766anassrs 629 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  x  e.  ( Base `  G ) )  /\  y  e.  ( Base `  G ) )  -> 
( ( A. z  e.  J  ( x  e.  z  <->  y  e.  z )  ->  x  =  y )  ->  ( A. w  e.  J  ( x  e.  w  ->  y  e.  w )  ->  x  =  y ) ) )
6867ralimdva 2621 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  x  e.  ( Base `  G
) )  ->  ( A. y  e.  ( Base `  G ) ( A. z  e.  J  ( x  e.  z  <->  y  e.  z )  ->  x  =  y )  ->  A. y  e.  (
Base `  G )
( A. w  e.  J  ( x  e.  w  ->  y  e.  w )  ->  x  =  y ) ) )
6968ralimdva 2621 . . . 4  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  ( A. x  e.  ( Base `  G
) A. y  e.  ( Base `  G
) ( A. z  e.  J  ( x  e.  z  <->  y  e.  z )  ->  x  =  y )  ->  A. x  e.  ( Base `  G
) A. y  e.  ( Base `  G
) ( A. w  e.  J  ( x  e.  w  ->  y  e.  w )  ->  x  =  y ) ) )
70 ist0-2 17072 . . . . 5  |-  ( J  e.  (TopOn `  ( Base `  G ) )  ->  ( J  e. 
Kol2 
<-> 
A. x  e.  (
Base `  G ) A. y  e.  ( Base `  G ) ( A. z  e.  J  ( x  e.  z  <->  y  e.  z )  ->  x  =  y )
) )
7126, 70syl 15 . . . 4  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  ( J  e. 
Kol2 
<-> 
A. x  e.  (
Base `  G ) A. y  e.  ( Base `  G ) ( A. z  e.  J  ( x  e.  z  <->  y  e.  z )  ->  x  =  y )
) )
72 ist1-2 17075 . . . . 5  |-  ( J  e.  (TopOn `  ( Base `  G ) )  ->  ( J  e. 
Fre 
<-> 
A. x  e.  (
Base `  G ) A. y  e.  ( Base `  G ) ( A. w  e.  J  ( x  e.  w  ->  y  e.  w )  ->  x  =  y ) ) )
7326, 72syl 15 . . . 4  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  ( J  e. 
Fre 
<-> 
A. x  e.  (
Base `  G ) A. y  e.  ( Base `  G ) ( A. w  e.  J  ( x  e.  w  ->  y  e.  w )  ->  x  =  y ) ) )
7469, 71, 733imtr4d 259 . . 3  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  ( J  e. 
Kol2  ->  J  e.  Fre ) )
753, 74impbid2 195 . 2  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  ( J  e. 
Fre 
<->  J  e.  Kol2 )
)
762, 75bitrd 244 1  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  ( J  e. 
Haus 
<->  J  e.  Kol2 )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543    e. cmpt 4077   `'ccnv 4688   "cima 4692   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Basecbs 13148   +g cplusg 13208   TopOpenctopn 13326   0gc0g 13400   Grpcgrp 14362   -gcsg 14365  TopOnctopon 16632    Cn ccn 16954   Kol2ct0 17034   Frect1 17035   Hauscha 17036    tX ctx 17255  TopMndctmd 17753   TopGrpctgp 17754
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-map 6774  df-topgen 13344  df-0g 13404  df-mnd 14367  df-plusf 14368  df-grp 14489  df-minusg 14490  df-sbg 14491  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-topsp 16640  df-cld 16756  df-cn 16957  df-cnp 16958  df-t0 17041  df-t1 17042  df-haus 17043  df-tx 17257  df-tmd 17755  df-tgp 17756
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