MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tgpt1 Unicode version

Theorem tgpt1 17816
Description: Hausdorff and T1 are equivalent for topological groups. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
tgpt1.j  |-  J  =  ( TopOpen `  G )
Assertion
Ref Expression
tgpt1  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  ( J  e. 
Haus 
<->  J  e.  Fre )
)

Proof of Theorem tgpt1
StepHypRef Expression
1 haust1 17096 . 2  |-  ( J  e.  Haus  ->  J  e. 
Fre )
2 tgpgrp 17777 . . . . . 6  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  G  e.  Grp )
3 eqid 2296 . . . . . . 7  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
4 eqid 2296 . . . . . . 7  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
53, 4grpidcl 14526 . . . . . 6  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( 0g `  G )  e.  ( Base `  G
) )
62, 5syl 15 . . . . 5  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  ( 0g `  G )  e.  (
Base `  G )
)
7 tgpt1.j . . . . . . 7  |-  J  =  ( TopOpen `  G )
87, 3tgptopon 17781 . . . . . 6  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  J  e.  (TopOn `  ( Base `  G
) ) )
9 toponuni 16681 . . . . . 6  |-  ( J  e.  (TopOn `  ( Base `  G ) )  ->  ( Base `  G
)  =  U. J
)
108, 9syl 15 . . . . 5  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  ( Base `  G
)  =  U. J
)
116, 10eleqtrd 2372 . . . 4  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  ( 0g `  G )  e.  U. J )
12 eqid 2296 . . . . . 6  |-  U. J  =  U. J
1312t1sncld 17070 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Fre  /\  ( 0g `  G )  e.  U. J )  ->  { ( 0g
`  G ) }  e.  ( Clsd `  J
) )
1413expcom 424 . . . 4  |-  ( ( 0g `  G )  e.  U. J  -> 
( J  e.  Fre  ->  { ( 0g `  G ) }  e.  ( Clsd `  J )
) )
1511, 14syl 15 . . 3  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  ( J  e. 
Fre  ->  { ( 0g
`  G ) }  e.  ( Clsd `  J
) ) )
164, 7tgphaus 17815 . . 3  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  ( J  e. 
Haus 
<->  { ( 0g `  G ) }  e.  ( Clsd `  J )
) )
1715, 16sylibrd 225 . 2  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  ( J  e. 
Fre  ->  J  e.  Haus ) )
181, 17impbid2 195 1  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  ( J  e. 
Haus 
<->  J  e.  Fre )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    = wceq 1632    e. wcel 1696   {csn 3653   U.cuni 3843   ` cfv 5271   Basecbs 13164   TopOpenctopn 13342   0gc0g 13416   Grpcgrp 14378  TopOnctopon 16648   Clsdccld 16769   Frect1 17051   Hauscha 17052   TopGrpctgp 17770
This theorem is referenced by:  tgpt0  17817
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-map 6790  df-topgen 13360  df-0g 13420  df-mnd 14383  df-plusf 14384  df-grp 14505  df-minusg 14506  df-sbg 14507  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-topsp 16656  df-cld 16772  df-cn 16973  df-t1 17058  df-haus 17059  df-tx 17273  df-tmd 17771  df-tgp 17772
  Copyright terms: Public domain W3C validator