MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tgpt1 Unicode version

Theorem tgpt1 17800
Description: Hausdorff and T1 are equivalent for topological groups. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
tgpt1.j  |-  J  =  ( TopOpen `  G )
Assertion
Ref Expression
tgpt1  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  ( J  e. 
Haus 
<->  J  e.  Fre )
)

Proof of Theorem tgpt1
StepHypRef Expression
1 haust1 17080 . 2  |-  ( J  e.  Haus  ->  J  e. 
Fre )
2 tgpgrp 17761 . . . . . 6  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  G  e.  Grp )
3 eqid 2283 . . . . . . 7  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
4 eqid 2283 . . . . . . 7  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
53, 4grpidcl 14510 . . . . . 6  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( 0g `  G )  e.  ( Base `  G
) )
62, 5syl 15 . . . . 5  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  ( 0g `  G )  e.  (
Base `  G )
)
7 tgpt1.j . . . . . . 7  |-  J  =  ( TopOpen `  G )
87, 3tgptopon 17765 . . . . . 6  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  J  e.  (TopOn `  ( Base `  G
) ) )
9 toponuni 16665 . . . . . 6  |-  ( J  e.  (TopOn `  ( Base `  G ) )  ->  ( Base `  G
)  =  U. J
)
108, 9syl 15 . . . . 5  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  ( Base `  G
)  =  U. J
)
116, 10eleqtrd 2359 . . . 4  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  ( 0g `  G )  e.  U. J )
12 eqid 2283 . . . . . 6  |-  U. J  =  U. J
1312t1sncld 17054 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Fre  /\  ( 0g `  G )  e.  U. J )  ->  { ( 0g
`  G ) }  e.  ( Clsd `  J
) )
1413expcom 424 . . . 4  |-  ( ( 0g `  G )  e.  U. J  -> 
( J  e.  Fre  ->  { ( 0g `  G ) }  e.  ( Clsd `  J )
) )
1511, 14syl 15 . . 3  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  ( J  e. 
Fre  ->  { ( 0g
`  G ) }  e.  ( Clsd `  J
) ) )
164, 7tgphaus 17799 . . 3  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  ( J  e. 
Haus 
<->  { ( 0g `  G ) }  e.  ( Clsd `  J )
) )
1715, 16sylibrd 225 . 2  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  ( J  e. 
Fre  ->  J  e.  Haus ) )
181, 17impbid2 195 1  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  ( J  e. 
Haus 
<->  J  e.  Fre )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    = wceq 1623    e. wcel 1684   {csn 3640   U.cuni 3827   ` cfv 5255   Basecbs 13148   TopOpenctopn 13326   0gc0g 13400   Grpcgrp 14362  TopOnctopon 16632   Clsdccld 16753   Frect1 17035   Hauscha 17036   TopGrpctgp 17754
This theorem is referenced by:  tgpt0  17801
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-map 6774  df-topgen 13344  df-0g 13404  df-mnd 14367  df-plusf 14368  df-grp 14489  df-minusg 14490  df-sbg 14491  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-topsp 16640  df-cld 16756  df-cn 16957  df-t1 17042  df-haus 17043  df-tx 17257  df-tmd 17755  df-tgp 17756
  Copyright terms: Public domain W3C validator