MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tgpt1 Structured version   Unicode version

Theorem tgpt1 18147
Description: Hausdorff and T1 are equivalent for topological groups. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
tgpt1.j  |-  J  =  ( TopOpen `  G )
Assertion
Ref Expression
tgpt1  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  ( J  e. 
Haus 
<->  J  e.  Fre )
)

Proof of Theorem tgpt1
StepHypRef Expression
1 haust1 17416 . 2  |-  ( J  e.  Haus  ->  J  e. 
Fre )
2 tgpgrp 18108 . . . . . 6  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  G  e.  Grp )
3 eqid 2436 . . . . . . 7  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
4 eqid 2436 . . . . . . 7  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
53, 4grpidcl 14833 . . . . . 6  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( 0g `  G )  e.  ( Base `  G
) )
62, 5syl 16 . . . . 5  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  ( 0g `  G )  e.  (
Base `  G )
)
7 tgpt1.j . . . . . . 7  |-  J  =  ( TopOpen `  G )
87, 3tgptopon 18112 . . . . . 6  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  J  e.  (TopOn `  ( Base `  G
) ) )
9 toponuni 16992 . . . . . 6  |-  ( J  e.  (TopOn `  ( Base `  G ) )  ->  ( Base `  G
)  =  U. J
)
108, 9syl 16 . . . . 5  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  ( Base `  G
)  =  U. J
)
116, 10eleqtrd 2512 . . . 4  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  ( 0g `  G )  e.  U. J )
12 eqid 2436 . . . . . 6  |-  U. J  =  U. J
1312t1sncld 17390 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Fre  /\  ( 0g `  G )  e.  U. J )  ->  { ( 0g
`  G ) }  e.  ( Clsd `  J
) )
1413expcom 425 . . . 4  |-  ( ( 0g `  G )  e.  U. J  -> 
( J  e.  Fre  ->  { ( 0g `  G ) }  e.  ( Clsd `  J )
) )
1511, 14syl 16 . . 3  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  ( J  e. 
Fre  ->  { ( 0g
`  G ) }  e.  ( Clsd `  J
) ) )
164, 7tgphaus 18146 . . 3  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  ( J  e. 
Haus 
<->  { ( 0g `  G ) }  e.  ( Clsd `  J )
) )
1715, 16sylibrd 226 . 2  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  ( J  e. 
Fre  ->  J  e.  Haus ) )
181, 17impbid2 196 1  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  ( J  e. 
Haus 
<->  J  e.  Fre )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    = wceq 1652    e. wcel 1725   {csn 3814   U.cuni 4015   ` cfv 5454   Basecbs 13469   TopOpenctopn 13649   0gc0g 13723   Grpcgrp 14685  TopOnctopon 16959   Clsdccld 17080   Frect1 17371   Hauscha 17372   TopGrpctgp 18101
This theorem is referenced by:  tgpt0  18148
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-map 7020  df-topgen 13667  df-0g 13727  df-mnd 14690  df-plusf 14691  df-grp 14812  df-minusg 14813  df-sbg 14814  df-top 16963  df-bases 16965  df-topon 16966  df-topsp 16967  df-cld 17083  df-cn 17291  df-t1 17378  df-haus 17379  df-tx 17594  df-tmd 18102  df-tgp 18103
  Copyright terms: Public domain W3C validator