MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tgptmd Structured version   Unicode version

Theorem tgptmd 18111
Description: A topological group is a topological monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
tgptmd  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  G  e. TopMnd )

Proof of Theorem tgptmd
StepHypRef Expression
1 eqid 2438 . . 3  |-  ( TopOpen `  G )  =  (
TopOpen `  G )
2 eqid 2438 . . 3  |-  ( inv g `  G )  =  ( inv g `  G )
31, 2istgp 18109 . 2  |-  ( G  e.  TopGrp 
<->  ( G  e.  Grp  /\  G  e. TopMnd  /\  ( inv g `  G )  e.  ( ( TopOpen `  G )  Cn  ( TopOpen
`  G ) ) ) )
43simp2bi 974 1  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  G  e. TopMnd )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1726   ` cfv 5456  (class class class)co 6083   TopOpenctopn 13651   Grpcgrp 14687   inv gcminusg 14688    Cn ccn 17290  TopMndctmd 18102   TopGrpctgp 18103
This theorem is referenced by:  tgptps  18112  tgpcn  18116  tgpsubcn  18122  tgpmulg  18125  oppgtgp  18130  tgplacthmeo  18135  subgtgp  18137  clsnsg  18141  tgpt0  18150  prdstgpd  18156  tsmssub  18180  tsmsxp  18186  trgtmd2  18200  nlmtlm  18731  qqhcn  24377
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-nul 4340
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-br 4215  df-iota 5420  df-fv 5464  df-ov 6086  df-tgp 18105
  Copyright terms: Public domain W3C validator