MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tgptmd Unicode version

Theorem tgptmd 17762
Description: A topological group is a topological monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
tgptmd  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  G  e. TopMnd )

Proof of Theorem tgptmd
StepHypRef Expression
1 eqid 2283 . . 3  |-  ( TopOpen `  G )  =  (
TopOpen `  G )
2 eqid 2283 . . 3  |-  ( inv g `  G )  =  ( inv g `  G )
31, 2istgp 17760 . 2  |-  ( G  e.  TopGrp 
<->  ( G  e.  Grp  /\  G  e. TopMnd  /\  ( inv g `  G )  e.  ( ( TopOpen `  G )  Cn  ( TopOpen
`  G ) ) ) )
43simp2bi 971 1  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  G  e. TopMnd )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1684   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   TopOpenctopn 13326   Grpcgrp 14362   inv gcminusg 14363    Cn ccn 16954  TopMndctmd 17753   TopGrpctgp 17754
This theorem is referenced by:  tgptps  17763  tgpcn  17767  tgpsubcn  17773  tgpmulg  17776  oppgtgp  17781  tgplacthmeo  17786  subgtgp  17788  clsnsg  17792  tgpt0  17801  prdstgpd  17807  tsmssub  17831  tsmsxp  17837  trgtmd2  17851  nlmtlm  18204
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-nul 4149
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-iota 5219  df-fv 5263  df-ov 5861  df-tgp 17756
  Copyright terms: Public domain W3C validator