MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tgptopon Unicode version

Theorem tgptopon 17765
Description: The topology of a topological group. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Jun-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tgpcn.j  |-  J  =  ( TopOpen `  G )
tgptopon.x  |-  X  =  ( Base `  G
)
Assertion
Ref Expression
tgptopon  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )

Proof of Theorem tgptopon
StepHypRef Expression
1 tgptps 17763 . 2  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  G  e.  TopSp )
2 tgptopon.x . . 3  |-  X  =  ( Base `  G
)
3 tgpcn.j . . 3  |-  J  =  ( TopOpen `  G )
42, 3istps 16674 . 2  |-  ( G  e.  TopSp 
<->  J  e.  (TopOn `  X ) )
51, 4sylib 188 1  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1623    e. wcel 1684   ` cfv 5255   Basecbs 13148   TopOpenctopn 13326  TopOnctopon 16632   TopSpctps 16634   TopGrpctgp 17754
This theorem is referenced by:  tgpsubcn  17773  tgpmulg  17776  tgpmulg2  17777  subgtgp  17788  subgntr  17789  opnsubg  17790  clssubg  17791  clsnsg  17792  cldsubg  17793  tgpconcompeqg  17794  tgpconcomp  17795  tgpconcompss  17796  snclseqg  17798  tgphaus  17799  tgpt1  17800  tgpt0  17801  divstgpopn  17802  divstgplem  17803  divstgphaus  17805  prdstgpd  17807  tgptsmscld  17833  tsmsxplem1  17835
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fv 5263  df-ov 5861  df-top 16636  df-topon 16639  df-topsp 16640  df-tmd 17755  df-tgp 17756
  Copyright terms: Public domain W3C validator