MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tgptsmscld Unicode version

Theorem tgptsmscld 17849
Description: The set of limit points to an infinite sum in a topological group is closed. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tgptsmscls.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
tgptsmscls.j  |-  J  =  ( TopOpen `  G )
tgptsmscls.1  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
tgptsmscls.2  |-  ( ph  ->  G  e.  TopGrp )
tgptsmscls.a  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
tgptsmscls.f  |-  ( ph  ->  F : A --> B )
Assertion
Ref Expression
tgptsmscld  |-  ( ph  ->  ( G tsums  F )  e.  ( Clsd `  J
) )

Proof of Theorem tgptsmscld
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tgptsmscls.2 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  G  e.  TopGrp )
2 tgptsmscls.j . . . . . . 7  |-  J  =  ( TopOpen `  G )
3 tgptsmscls.b . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  G
)
42, 3tgptopon 17781 . . . . . 6  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  J  e.  (TopOn `  B ) )
51, 4syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  B ) )
6 topontop 16680 . . . . 5  |-  ( J  e.  (TopOn `  B
)  ->  J  e.  Top )
75, 6syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  J  e.  Top )
8 0cld 16791 . . . 4  |-  ( J  e.  Top  ->  (/)  e.  (
Clsd `  J )
)
97, 8syl 15 . . 3  |-  ( ph  -> 
(/)  e.  ( Clsd `  J ) )
10 eleq1 2356 . . 3  |-  ( ( G tsums  F )  =  (/)  ->  ( ( G tsums 
F )  e.  (
Clsd `  J )  <->  (/)  e.  ( Clsd `  J
) ) )
119, 10syl5ibrcom 213 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( G tsums  F
)  =  (/)  ->  ( G tsums  F )  e.  (
Clsd `  J )
) )
12 n0 3477 . . 3  |-  ( ( G tsums  F )  =/=  (/) 
<->  E. x  x  e.  ( G tsums  F ) )
13 tgptsmscls.1 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
1413adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( G tsums  F ) )  ->  G  e. CMnd )
151adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( G tsums  F ) )  ->  G  e.  TopGrp )
16 tgptsmscls.a . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
1716adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( G tsums  F ) )  ->  A  e.  V
)
18 tgptsmscls.f . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F : A --> B )
1918adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( G tsums  F ) )  ->  F : A --> B )
20 simpr 447 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( G tsums  F ) )  ->  x  e.  ( G tsums  F ) )
213, 2, 14, 15, 17, 19, 20tgptsmscls 17848 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( G tsums  F ) )  ->  ( G tsums  F
)  =  ( ( cls `  J ) `
 { x }
) )
227adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( G tsums  F ) )  ->  J  e.  Top )
23 tgptps 17779 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  G  e.  TopSp )
241, 23syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  G  e.  TopSp )
253, 13, 24, 16, 18tsmscl 17833 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( G tsums  F ) 
C_  B )
26 toponuni 16681 . . . . . . . . . . 11  |-  ( J  e.  (TopOn `  B
)  ->  B  =  U. J )
275, 26syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  B  =  U. J
)
2825, 27sseqtrd 3227 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( G tsums  F ) 
C_  U. J )
2928sselda 3193 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( G tsums  F ) )  ->  x  e.  U. J )
3029snssd 3776 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( G tsums  F ) )  ->  { x }  C_ 
U. J )
31 eqid 2296 . . . . . . . 8  |-  U. J  =  U. J
3231clscld 16800 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Top  /\  { x }  C_  U. J
)  ->  ( ( cls `  J ) `  { x } )  e.  ( Clsd `  J
) )
3322, 30, 32syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( G tsums  F ) )  ->  ( ( cls `  J ) `  {
x } )  e.  ( Clsd `  J
) )
3421, 33eqeltrd 2370 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( G tsums  F ) )  ->  ( G tsums  F
)  e.  ( Clsd `  J ) )
3534ex 423 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( G tsums  F )  -> 
( G tsums  F )  e.  ( Clsd `  J
) ) )
3635exlimdv 1626 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. x  x  e.  ( G tsums  F
)  ->  ( G tsums  F )  e.  ( Clsd `  J ) ) )
3712, 36syl5bi 208 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( G tsums  F
)  =/=  (/)  ->  ( G tsums  F )  e.  (
Clsd `  J )
) )
3811, 37pm2.61dne 2536 1  |-  ( ph  ->  ( G tsums  F )  e.  ( Clsd `  J
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358   E.wex 1531    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459    C_ wss 3165   (/)c0 3468   {csn 3653   U.cuni 3843   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   Basecbs 13164   TopOpenctopn 13342  CMndccmn 15105   Topctop 16647  TopOnctopon 16648   TopSpctps 16650   Clsdccld 16769   clsccl 16771   TopGrpctgp 17770   tsums ctsu 17824
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-ec 6678  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-oi 7241  df-card 7588  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-2 9820  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-seq 11063  df-hash 11354  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-topgen 13360  df-0g 13420  df-gsum 13421  df-mnd 14383  df-plusf 14384  df-mhm 14431  df-submnd 14432  df-grp 14505  df-minusg 14506  df-sbg 14507  df-subg 14634  df-eqg 14636  df-ghm 14697  df-cntz 14809  df-cmn 15107  df-abl 15108  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-topsp 16656  df-cld 16772  df-ntr 16773  df-cls 16774  df-nei 16851  df-cn 16973  df-cnp 16974  df-tx 17273  df-hmeo 17462  df-fbas 17536  df-fg 17537  df-fil 17557  df-fm 17649  df-flim 17650  df-flf 17651  df-tmd 17771  df-tgp 17772  df-tsms 17825
  Copyright terms: Public domain W3C validator