Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tgptsmscld Structured version   Unicode version

Theorem tgptsmscld 18172
 Description: The set of limit points to an infinite sum in a topological group is closed. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tgptsmscls.b
tgptsmscls.j
tgptsmscls.1 CMnd
tgptsmscls.2
tgptsmscls.a
tgptsmscls.f
Assertion
Ref Expression
tgptsmscld tsums

Proof of Theorem tgptsmscld
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tgptsmscls.2 . . . . . 6
2 tgptsmscls.j . . . . . . 7
3 tgptsmscls.b . . . . . . 7
42, 3tgptopon 18104 . . . . . 6 TopOn
51, 4syl 16 . . . . 5 TopOn
6 topontop 16983 . . . . 5 TopOn
75, 6syl 16 . . . 4
8 0cld 17094 . . . 4
97, 8syl 16 . . 3
10 eleq1 2495 . . 3 tsums tsums
119, 10syl5ibrcom 214 . 2 tsums tsums
12 n0 3629 . . 3 tsums tsums
13 tgptsmscls.1 . . . . . . . 8 CMnd
1413adantr 452 . . . . . . 7 tsums CMnd
151adantr 452 . . . . . . 7 tsums
16 tgptsmscls.a . . . . . . . 8
1716adantr 452 . . . . . . 7 tsums
18 tgptsmscls.f . . . . . . . 8
1918adantr 452 . . . . . . 7 tsums
20 simpr 448 . . . . . . 7 tsums tsums
213, 2, 14, 15, 17, 19, 20tgptsmscls 18171 . . . . . 6 tsums tsums
227adantr 452 . . . . . . 7 tsums
23 tgptps 18102 . . . . . . . . . . . 12
241, 23syl 16 . . . . . . . . . . 11
253, 13, 24, 16, 18tsmscl 18156 . . . . . . . . . 10 tsums
26 toponuni 16984 . . . . . . . . . . 11 TopOn
275, 26syl 16 . . . . . . . . . 10
2825, 27sseqtrd 3376 . . . . . . . . 9 tsums
2928sselda 3340 . . . . . . . 8 tsums
3029snssd 3935 . . . . . . 7 tsums
31 eqid 2435 . . . . . . . 8
3231clscld 17103 . . . . . . 7
3322, 30, 32syl2anc 643 . . . . . 6 tsums
3421, 33eqeltrd 2509 . . . . 5 tsums tsums
3534ex 424 . . . 4 tsums tsums
3635exlimdv 1646 . . 3 tsums tsums
3712, 36syl5bi 209 . 2 tsums tsums
3811, 37pm2.61dne 2675 1 tsums
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 359  wex 1550   wceq 1652   wcel 1725   wne 2598   wss 3312  c0 3620  csn 3806  cuni 4007  wf 5442  cfv 5446  (class class class)co 6073  cbs 13461  ctopn 13641  CMndccmn 15404  ctop 16950  TopOnctopon 16951  ctps 16953  ccld 17072  ccl 17074  ctgp 18093   tsums ctsu 18147 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-iin 4088  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-of 6297  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-er 6897  df-ec 6899  df-map 7012  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-oi 7471  df-card 7818  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-nn 9993  df-2 10050  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-fz 11036  df-fzo 11128  df-seq 11316  df-hash 11611  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-sets 13467  df-ress 13468  df-plusg 13534  df-topgen 13659  df-0g 13719  df-gsum 13720  df-mnd 14682  df-plusf 14683  df-mhm 14730  df-submnd 14731  df-grp 14804  df-minusg 14805  df-sbg 14806  df-subg 14933  df-eqg 14935  df-ghm 14996  df-cntz 15108  df-cmn 15406  df-abl 15407  df-fbas 16691  df-fg 16692  df-top 16955  df-bases 16957  df-topon 16958  df-topsp 16959  df-cld 17075  df-ntr 17076  df-cls 17077  df-nei 17154  df-cn 17283  df-cnp 17284  df-tx 17586  df-hmeo 17779  df-fil 17870  df-fm 17962  df-flim 17963  df-flf 17964  df-tmd 18094  df-tgp 18095  df-tsms 18148
 Copyright terms: Public domain W3C validator