MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tgptsmscld Unicode version

Theorem tgptsmscld 17833
Description: The set of limit points to an infinite sum in a topological group is closed. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tgptsmscls.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
tgptsmscls.j  |-  J  =  ( TopOpen `  G )
tgptsmscls.1  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
tgptsmscls.2  |-  ( ph  ->  G  e.  TopGrp )
tgptsmscls.a  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
tgptsmscls.f  |-  ( ph  ->  F : A --> B )
Assertion
Ref Expression
tgptsmscld  |-  ( ph  ->  ( G tsums  F )  e.  ( Clsd `  J
) )

Proof of Theorem tgptsmscld
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tgptsmscls.2 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  G  e.  TopGrp )
2 tgptsmscls.j . . . . . . 7  |-  J  =  ( TopOpen `  G )
3 tgptsmscls.b . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  G
)
42, 3tgptopon 17765 . . . . . 6  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  J  e.  (TopOn `  B ) )
51, 4syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  B ) )
6 topontop 16664 . . . . 5  |-  ( J  e.  (TopOn `  B
)  ->  J  e.  Top )
75, 6syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  J  e.  Top )
8 0cld 16775 . . . 4  |-  ( J  e.  Top  ->  (/)  e.  (
Clsd `  J )
)
97, 8syl 15 . . 3  |-  ( ph  -> 
(/)  e.  ( Clsd `  J ) )
10 eleq1 2343 . . 3  |-  ( ( G tsums  F )  =  (/)  ->  ( ( G tsums 
F )  e.  (
Clsd `  J )  <->  (/)  e.  ( Clsd `  J
) ) )
119, 10syl5ibrcom 213 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( G tsums  F
)  =  (/)  ->  ( G tsums  F )  e.  (
Clsd `  J )
) )
12 n0 3464 . . 3  |-  ( ( G tsums  F )  =/=  (/) 
<->  E. x  x  e.  ( G tsums  F ) )
13 tgptsmscls.1 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
1413adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( G tsums  F ) )  ->  G  e. CMnd )
151adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( G tsums  F ) )  ->  G  e.  TopGrp )
16 tgptsmscls.a . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
1716adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( G tsums  F ) )  ->  A  e.  V
)
18 tgptsmscls.f . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F : A --> B )
1918adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( G tsums  F ) )  ->  F : A --> B )
20 simpr 447 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( G tsums  F ) )  ->  x  e.  ( G tsums  F ) )
213, 2, 14, 15, 17, 19, 20tgptsmscls 17832 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( G tsums  F ) )  ->  ( G tsums  F
)  =  ( ( cls `  J ) `
 { x }
) )
227adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( G tsums  F ) )  ->  J  e.  Top )
23 tgptps 17763 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  G  e.  TopSp )
241, 23syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  G  e.  TopSp )
253, 13, 24, 16, 18tsmscl 17817 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( G tsums  F ) 
C_  B )
26 toponuni 16665 . . . . . . . . . . 11  |-  ( J  e.  (TopOn `  B
)  ->  B  =  U. J )
275, 26syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  B  =  U. J
)
2825, 27sseqtrd 3214 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( G tsums  F ) 
C_  U. J )
2928sselda 3180 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( G tsums  F ) )  ->  x  e.  U. J )
3029snssd 3760 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( G tsums  F ) )  ->  { x }  C_ 
U. J )
31 eqid 2283 . . . . . . . 8  |-  U. J  =  U. J
3231clscld 16784 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Top  /\  { x }  C_  U. J
)  ->  ( ( cls `  J ) `  { x } )  e.  ( Clsd `  J
) )
3322, 30, 32syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( G tsums  F ) )  ->  ( ( cls `  J ) `  {
x } )  e.  ( Clsd `  J
) )
3421, 33eqeltrd 2357 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( G tsums  F ) )  ->  ( G tsums  F
)  e.  ( Clsd `  J ) )
3534ex 423 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( G tsums  F )  -> 
( G tsums  F )  e.  ( Clsd `  J
) ) )
3635exlimdv 1664 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. x  x  e.  ( G tsums  F
)  ->  ( G tsums  F )  e.  ( Clsd `  J ) ) )
3712, 36syl5bi 208 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( G tsums  F
)  =/=  (/)  ->  ( G tsums  F )  e.  (
Clsd `  J )
) )
3811, 37pm2.61dne 2523 1  |-  ( ph  ->  ( G tsums  F )  e.  ( Clsd `  J
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358   E.wex 1528    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446    C_ wss 3152   (/)c0 3455   {csn 3640   U.cuni 3827   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Basecbs 13148   TopOpenctopn 13326  CMndccmn 15089   Topctop 16631  TopOnctopon 16632   TopSpctps 16634   Clsdccld 16753   clsccl 16755   TopGrpctgp 17754   tsums ctsu 17808
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-ec 6662  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-oi 7225  df-card 7572  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-seq 11047  df-hash 11338  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-topgen 13344  df-0g 13404  df-gsum 13405  df-mnd 14367  df-plusf 14368  df-mhm 14415  df-submnd 14416  df-grp 14489  df-minusg 14490  df-sbg 14491  df-subg 14618  df-eqg 14620  df-ghm 14681  df-cntz 14793  df-cmn 15091  df-abl 15092  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-topsp 16640  df-cld 16756  df-ntr 16757  df-cls 16758  df-nei 16835  df-cn 16957  df-cnp 16958  df-tx 17257  df-hmeo 17446  df-fbas 17520  df-fg 17521  df-fil 17541  df-fm 17633  df-flim 17634  df-flf 17635  df-tmd 17755  df-tgp 17756  df-tsms 17809
  Copyright terms: Public domain W3C validator