MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tgptsmscld Unicode version

Theorem tgptsmscld 18101
Description: The set of limit points to an infinite sum in a topological group is closed. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tgptsmscls.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
tgptsmscls.j  |-  J  =  ( TopOpen `  G )
tgptsmscls.1  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
tgptsmscls.2  |-  ( ph  ->  G  e.  TopGrp )
tgptsmscls.a  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
tgptsmscls.f  |-  ( ph  ->  F : A --> B )
Assertion
Ref Expression
tgptsmscld  |-  ( ph  ->  ( G tsums  F )  e.  ( Clsd `  J
) )

Proof of Theorem tgptsmscld
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tgptsmscls.2 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  G  e.  TopGrp )
2 tgptsmscls.j . . . . . . 7  |-  J  =  ( TopOpen `  G )
3 tgptsmscls.b . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  G
)
42, 3tgptopon 18033 . . . . . 6  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  J  e.  (TopOn `  B ) )
51, 4syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  B ) )
6 topontop 16914 . . . . 5  |-  ( J  e.  (TopOn `  B
)  ->  J  e.  Top )
75, 6syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  J  e.  Top )
8 0cld 17025 . . . 4  |-  ( J  e.  Top  ->  (/)  e.  (
Clsd `  J )
)
97, 8syl 16 . . 3  |-  ( ph  -> 
(/)  e.  ( Clsd `  J ) )
10 eleq1 2447 . . 3  |-  ( ( G tsums  F )  =  (/)  ->  ( ( G tsums 
F )  e.  (
Clsd `  J )  <->  (/)  e.  ( Clsd `  J
) ) )
119, 10syl5ibrcom 214 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( G tsums  F
)  =  (/)  ->  ( G tsums  F )  e.  (
Clsd `  J )
) )
12 n0 3580 . . 3  |-  ( ( G tsums  F )  =/=  (/) 
<->  E. x  x  e.  ( G tsums  F ) )
13 tgptsmscls.1 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
1413adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( G tsums  F ) )  ->  G  e. CMnd )
151adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( G tsums  F ) )  ->  G  e.  TopGrp )
16 tgptsmscls.a . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
1716adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( G tsums  F ) )  ->  A  e.  V
)
18 tgptsmscls.f . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F : A --> B )
1918adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( G tsums  F ) )  ->  F : A --> B )
20 simpr 448 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( G tsums  F ) )  ->  x  e.  ( G tsums  F ) )
213, 2, 14, 15, 17, 19, 20tgptsmscls 18100 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( G tsums  F ) )  ->  ( G tsums  F
)  =  ( ( cls `  J ) `
 { x }
) )
227adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( G tsums  F ) )  ->  J  e.  Top )
23 tgptps 18031 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  G  e.  TopSp )
241, 23syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  G  e.  TopSp )
253, 13, 24, 16, 18tsmscl 18085 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( G tsums  F ) 
C_  B )
26 toponuni 16915 . . . . . . . . . . 11  |-  ( J  e.  (TopOn `  B
)  ->  B  =  U. J )
275, 26syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  B  =  U. J
)
2825, 27sseqtrd 3327 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( G tsums  F ) 
C_  U. J )
2928sselda 3291 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( G tsums  F ) )  ->  x  e.  U. J )
3029snssd 3886 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( G tsums  F ) )  ->  { x }  C_ 
U. J )
31 eqid 2387 . . . . . . . 8  |-  U. J  =  U. J
3231clscld 17034 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Top  /\  { x }  C_  U. J
)  ->  ( ( cls `  J ) `  { x } )  e.  ( Clsd `  J
) )
3322, 30, 32syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( G tsums  F ) )  ->  ( ( cls `  J ) `  {
x } )  e.  ( Clsd `  J
) )
3421, 33eqeltrd 2461 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( G tsums  F ) )  ->  ( G tsums  F
)  e.  ( Clsd `  J ) )
3534ex 424 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( G tsums  F )  -> 
( G tsums  F )  e.  ( Clsd `  J
) ) )
3635exlimdv 1643 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. x  x  e.  ( G tsums  F
)  ->  ( G tsums  F )  e.  ( Clsd `  J ) ) )
3712, 36syl5bi 209 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( G tsums  F
)  =/=  (/)  ->  ( G tsums  F )  e.  (
Clsd `  J )
) )
3811, 37pm2.61dne 2627 1  |-  ( ph  ->  ( G tsums  F )  e.  ( Clsd `  J
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359   E.wex 1547    = wceq 1649    e. wcel 1717    =/= wne 2550    C_ wss 3263   (/)c0 3571   {csn 3757   U.cuni 3957   -->wf 5390   ` cfv 5394  (class class class)co 6020   Basecbs 13396   TopOpenctopn 13576  CMndccmn 15339   Topctop 16881  TopOnctopon 16882   TopSpctps 16884   Clsdccld 17003   clsccl 17005   TopGrpctgp 18022   tsums ctsu 18076
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-rep 4261  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641  ax-cnex 8979  ax-resscn 8980  ax-1cn 8981  ax-icn 8982  ax-addcl 8983  ax-addrcl 8984  ax-mulcl 8985  ax-mulrcl 8986  ax-mulcom 8987  ax-addass 8988  ax-mulass 8989  ax-distr 8990  ax-i2m1 8991  ax-1ne0 8992  ax-1rid 8993  ax-rnegex 8994  ax-rrecex 8995  ax-cnre 8996  ax-pre-lttri 8997  ax-pre-lttrn 8998  ax-pre-ltadd 8999  ax-pre-mulgt0 9000
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-nel 2553  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rmo 2657  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-pss 3279  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-tp 3765  df-op 3766  df-uni 3958  df-int 3993  df-iun 4037  df-iin 4038  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-tr 4244  df-eprel 4435  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-fr 4482  df-se 4483  df-we 4484  df-ord 4525  df-on 4526  df-lim 4527  df-suc 4528  df-om 4786  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-isom 5403  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-of 6244  df-1st 6288  df-2nd 6289  df-riota 6485  df-recs 6569  df-rdg 6604  df-1o 6660  df-oadd 6664  df-er 6841  df-ec 6843  df-map 6956  df-en 7046  df-dom 7047  df-sdom 7048  df-fin 7049  df-oi 7412  df-card 7759  df-pnf 9055  df-mnf 9056  df-xr 9057  df-ltxr 9058  df-le 9059  df-sub 9225  df-neg 9226  df-nn 9933  df-2 9990  df-n0 10154  df-z 10215  df-uz 10421  df-fz 10976  df-fzo 11066  df-seq 11251  df-hash 11546  df-ndx 13399  df-slot 13400  df-base 13401  df-sets 13402  df-ress 13403  df-plusg 13469  df-topgen 13594  df-0g 13654  df-gsum 13655  df-mnd 14617  df-plusf 14618  df-mhm 14665  df-submnd 14666  df-grp 14739  df-minusg 14740  df-sbg 14741  df-subg 14868  df-eqg 14870  df-ghm 14931  df-cntz 15043  df-cmn 15341  df-abl 15342  df-fbas 16623  df-fg 16624  df-top 16886  df-bases 16888  df-topon 16889  df-topsp 16890  df-cld 17006  df-ntr 17007  df-cls 17008  df-nei 17085  df-cn 17213  df-cnp 17214  df-tx 17515  df-hmeo 17708  df-fil 17799  df-fm 17891  df-flim 17892  df-flf 17893  df-tmd 18023  df-tgp 18024  df-tsms 18077
  Copyright terms: Public domain W3C validator