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Theorem tgqtop 17419
Description: An injection maps generated topologies to each other. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
qtopcmp.1  |-  X  = 
U. J
Assertion
Ref Expression
tgqtop  |-  ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X -1-1-onto-> Y )  ->  (
( topGen `  J ) qTop  F )  =  ( topGen `  ( J qTop  F ) ) )

Proof of Theorem tgqtop
Dummy variables  x  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 f1ocnv 5501 . . . . . . . . 9  |-  ( F : X -1-1-onto-> Y  ->  `' F : Y -1-1-onto-> X )
2 f1ofun 5490 . . . . . . . . 9  |-  ( `' F : Y -1-1-onto-> X  ->  Fun  `' F )
31, 2syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( F : X -1-1-onto-> Y  ->  Fun  `' F
)
43ad2antlr 707 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X -1-1-onto-> Y )  /\  x  C_  Y )  ->  Fun  `' F )
5 simpr 447 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X -1-1-onto-> Y )  /\  x  C_  Y )  ->  x  C_  Y )
6 df-rn 4716 . . . . . . . . 9  |-  ran  F  =  dom  `' F
7 f1ofo 5495 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F : X -1-1-onto-> Y  ->  F : X -onto-> Y )
87ad2antlr 707 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X -1-1-onto-> Y )  /\  x  C_  Y )  ->  F : X -onto-> Y )
9 forn 5470 . . . . . . . . . 10  |-  ( F : X -onto-> Y  ->  ran  F  =  Y )
108, 9syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X -1-1-onto-> Y )  /\  x  C_  Y )  ->  ran  F  =  Y )
116, 10syl5eqr 2342 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X -1-1-onto-> Y )  /\  x  C_  Y )  ->  dom  `' F  =  Y )
125, 11sseqtr4d 3228 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X -1-1-onto-> Y )  /\  x  C_  Y )  ->  x  C_ 
dom  `' F )
13 funimass4 5589 . . . . . . 7  |-  ( ( Fun  `' F  /\  x  C_  dom  `' F
)  ->  ( ( `' F " x ) 
C_  U. ( J  i^i  ~P ( `' F "
x ) )  <->  A. y  e.  x  ( `' F `  y )  e.  U. ( J  i^i  ~P ( `' F "
x ) ) ) )
144, 12, 13syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X -1-1-onto-> Y )  /\  x  C_  Y )  ->  (
( `' F "
x )  C_  U. ( J  i^i  ~P ( `' F " x ) )  <->  A. y  e.  x  ( `' F `  y )  e.  U. ( J  i^i  ~P ( `' F " x ) ) ) )
15 dfss3 3183 . . . . . . 7  |-  ( x 
C_  U. ( ( J qTop 
F )  i^i  ~P x )  <->  A. y  e.  x  y  e.  U. ( ( J qTop  F
)  i^i  ~P x
) )
16 inss1 3402 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( J qTop  F )  i^i 
~P x )  C_  ( J qTop  F )
17 simprl 732 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X
-1-1-onto-> Y )  /\  x  C_  Y )  /\  y  e.  x )  /\  (
z  e.  ( ( J qTop  F )  i^i 
~P x )  /\  y  e.  z )
)  ->  z  e.  ( ( J qTop  F
)  i^i  ~P x
) )
1816, 17sseldi 3191 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X
-1-1-onto-> Y )  /\  x  C_  Y )  /\  y  e.  x )  /\  (
z  e.  ( ( J qTop  F )  i^i 
~P x )  /\  y  e.  z )
)  ->  z  e.  ( J qTop  F )
)
19 qtopcmp.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  X  = 
U. J
2019elqtop2 17408 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X -onto-> Y )  ->  (
z  e.  ( J qTop 
F )  <->  ( z  C_  Y  /\  ( `' F " z )  e.  J ) ) )
217, 20sylan2 460 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X -1-1-onto-> Y )  ->  (
z  e.  ( J qTop 
F )  <->  ( z  C_  Y  /\  ( `' F " z )  e.  J ) ) )
2221ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X
-1-1-onto-> Y )  /\  x  C_  Y )  /\  y  e.  x )  /\  (
z  e.  ( ( J qTop  F )  i^i 
~P x )  /\  y  e.  z )
)  ->  ( z  e.  ( J qTop  F )  <-> 
( z  C_  Y  /\  ( `' F "
z )  e.  J
) ) )
2318, 22mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X
-1-1-onto-> Y )  /\  x  C_  Y )  /\  y  e.  x )  /\  (
z  e.  ( ( J qTop  F )  i^i 
~P x )  /\  y  e.  z )
)  ->  ( z  C_  Y  /\  ( `' F " z )  e.  J ) )
2423simprd 449 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X
-1-1-onto-> Y )  /\  x  C_  Y )  /\  y  e.  x )  /\  (
z  e.  ( ( J qTop  F )  i^i 
~P x )  /\  y  e.  z )
)  ->  ( `' F " z )  e.  J )
25 inss2 3403 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( J qTop  F )  i^i 
~P x )  C_  ~P x
2625, 17sseldi 3191 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X
-1-1-onto-> Y )  /\  x  C_  Y )  /\  y  e.  x )  /\  (
z  e.  ( ( J qTop  F )  i^i 
~P x )  /\  y  e.  z )
)  ->  z  e.  ~P x )
27 elpwi 3646 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  e.  ~P x  -> 
z  C_  x )
2826, 27syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X
-1-1-onto-> Y )  /\  x  C_  Y )  /\  y  e.  x )  /\  (
z  e.  ( ( J qTop  F )  i^i 
~P x )  /\  y  e.  z )
)  ->  z  C_  x )
29 imass2 5065 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z 
C_  x  ->  ( `' F " z ) 
C_  ( `' F " x ) )
3028, 29syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X
-1-1-onto-> Y )  /\  x  C_  Y )  /\  y  e.  x )  /\  (
z  e.  ( ( J qTop  F )  i^i 
~P x )  /\  y  e.  z )
)  ->  ( `' F " z )  C_  ( `' F " x ) )
31 elpwg 3645 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( `' F " z )  e.  J  ->  (
( `' F "
z )  e.  ~P ( `' F " x )  <-> 
( `' F "
z )  C_  ( `' F " x ) ) )
3224, 31syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X
-1-1-onto-> Y )  /\  x  C_  Y )  /\  y  e.  x )  /\  (
z  e.  ( ( J qTop  F )  i^i 
~P x )  /\  y  e.  z )
)  ->  ( ( `' F " z )  e.  ~P ( `' F " x )  <-> 
( `' F "
z )  C_  ( `' F " x ) ) )
3330, 32mpbird 223 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X
-1-1-onto-> Y )  /\  x  C_  Y )  /\  y  e.  x )  /\  (
z  e.  ( ( J qTop  F )  i^i 
~P x )  /\  y  e.  z )
)  ->  ( `' F " z )  e. 
~P ( `' F " x ) )
34 elin 3371 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( `' F " z )  e.  ( J  i^i  ~P ( `' F "
x ) )  <->  ( ( `' F " z )  e.  J  /\  ( `' F " z )  e.  ~P ( `' F " x ) ) )
3524, 33, 34sylanbrc 645 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X
-1-1-onto-> Y )  /\  x  C_  Y )  /\  y  e.  x )  /\  (
z  e.  ( ( J qTop  F )  i^i 
~P x )  /\  y  e.  z )
)  ->  ( `' F " z )  e.  ( J  i^i  ~P ( `' F " x ) ) )
36 simplr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X -1-1-onto-> Y )  /\  x  C_  Y )  ->  F : X -1-1-onto-> Y )
3736ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X
-1-1-onto-> Y )  /\  x  C_  Y )  /\  y  e.  x )  /\  (
z  e.  ( ( J qTop  F )  i^i 
~P x )  /\  y  e.  z )
)  ->  F : X
-1-1-onto-> Y )
3837, 1syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X
-1-1-onto-> Y )  /\  x  C_  Y )  /\  y  e.  x )  /\  (
z  e.  ( ( J qTop  F )  i^i 
~P x )  /\  y  e.  z )
)  ->  `' F : Y -1-1-onto-> X )
39 f1ofn 5489 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( `' F : Y -1-1-onto-> X  ->  `' F  Fn  Y
)
4038, 39syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X
-1-1-onto-> Y )  /\  x  C_  Y )  /\  y  e.  x )  /\  (
z  e.  ( ( J qTop  F )  i^i 
~P x )  /\  y  e.  z )
)  ->  `' F  Fn  Y )
415ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X
-1-1-onto-> Y )  /\  x  C_  Y )  /\  y  e.  x )  /\  (
z  e.  ( ( J qTop  F )  i^i 
~P x )  /\  y  e.  z )
)  ->  x  C_  Y
)
4228, 41sstrd 3202 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X
-1-1-onto-> Y )  /\  x  C_  Y )  /\  y  e.  x )  /\  (
z  e.  ( ( J qTop  F )  i^i 
~P x )  /\  y  e.  z )
)  ->  z  C_  Y )
43 simprr 733 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X
-1-1-onto-> Y )  /\  x  C_  Y )  /\  y  e.  x )  /\  (
z  e.  ( ( J qTop  F )  i^i 
~P x )  /\  y  e.  z )
)  ->  y  e.  z )
44 fnfvima 5772 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( `' F  Fn  Y  /\  z  C_  Y  /\  y  e.  z )  ->  ( `' F `  y )  e.  ( `' F " z ) )
4540, 42, 43, 44syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X
-1-1-onto-> Y )  /\  x  C_  Y )  /\  y  e.  x )  /\  (
z  e.  ( ( J qTop  F )  i^i 
~P x )  /\  y  e.  z )
)  ->  ( `' F `  y )  e.  ( `' F "
z ) )
46 eleq2 2357 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  =  ( `' F " z )  ->  (
( `' F `  y )  e.  w  <->  ( `' F `  y )  e.  ( `' F " z ) ) )
4746rspcev 2897 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( `' F "
z )  e.  ( J  i^i  ~P ( `' F " x ) )  /\  ( `' F `  y )  e.  ( `' F " z ) )  ->  E. w  e.  ( J  i^i  ~P ( `' F " x ) ) ( `' F `  y )  e.  w
)
4835, 45, 47syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X
-1-1-onto-> Y )  /\  x  C_  Y )  /\  y  e.  x )  /\  (
z  e.  ( ( J qTop  F )  i^i 
~P x )  /\  y  e.  z )
)  ->  E. w  e.  ( J  i^i  ~P ( `' F " x ) ) ( `' F `  y )  e.  w
)
4948expr 598 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X
-1-1-onto-> Y )  /\  x  C_  Y )  /\  y  e.  x )  /\  z  e.  ( ( J qTop  F
)  i^i  ~P x
) )  ->  (
y  e.  z  ->  E. w  e.  ( J  i^i  ~P ( `' F " x ) ) ( `' F `  y )  e.  w
) )
5049rexlimdva 2680 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e.  TopBases 
/\  F : X -1-1-onto-> Y
)  /\  x  C_  Y
)  /\  y  e.  x )  ->  ( E. z  e.  (
( J qTop  F )  i^i  ~P x ) y  e.  z  ->  E. w  e.  ( J  i^i  ~P ( `' F " x ) ) ( `' F `  y )  e.  w
) )
5136ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X
-1-1-onto-> Y )  /\  x  C_  Y )  /\  y  e.  x )  /\  (
w  e.  ( J  i^i  ~P ( `' F " x ) )  /\  ( `' F `  y )  e.  w ) )  ->  F : X -1-1-onto-> Y
)
52 f1ofun 5490 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( F : X -1-1-onto-> Y  ->  Fun  F )
5351, 52syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X
-1-1-onto-> Y )  /\  x  C_  Y )  /\  y  e.  x )  /\  (
w  e.  ( J  i^i  ~P ( `' F " x ) )  /\  ( `' F `  y )  e.  w ) )  ->  Fun  F )
54 inss2 3403 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( J  i^i  ~P ( `' F " x ) )  C_  ~P ( `' F " x )
55 simprl 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X
-1-1-onto-> Y )  /\  x  C_  Y )  /\  y  e.  x )  /\  (
w  e.  ( J  i^i  ~P ( `' F " x ) )  /\  ( `' F `  y )  e.  w ) )  ->  w  e.  ( J  i^i  ~P ( `' F " x ) ) )
5654, 55sseldi 3191 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X
-1-1-onto-> Y )  /\  x  C_  Y )  /\  y  e.  x )  /\  (
w  e.  ( J  i^i  ~P ( `' F " x ) )  /\  ( `' F `  y )  e.  w ) )  ->  w  e.  ~P ( `' F " x ) )
57 elpwi 3646 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( w  e.  ~P ( `' F " x )  ->  w  C_  ( `' F " x ) )
5856, 57syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X
-1-1-onto-> Y )  /\  x  C_  Y )  /\  y  e.  x )  /\  (
w  e.  ( J  i^i  ~P ( `' F " x ) )  /\  ( `' F `  y )  e.  w ) )  ->  w  C_  ( `' F " x ) )
59 funimass2 5342 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( Fun  F  /\  w  C_  ( `' F "
x ) )  -> 
( F " w
)  C_  x )
6053, 58, 59syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X
-1-1-onto-> Y )  /\  x  C_  Y )  /\  y  e.  x )  /\  (
w  e.  ( J  i^i  ~P ( `' F " x ) )  /\  ( `' F `  y )  e.  w ) )  ->  ( F "
w )  C_  x
)
615ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X
-1-1-onto-> Y )  /\  x  C_  Y )  /\  y  e.  x )  /\  (
w  e.  ( J  i^i  ~P ( `' F " x ) )  /\  ( `' F `  y )  e.  w ) )  ->  x  C_  Y
)
6260, 61sstrd 3202 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X
-1-1-onto-> Y )  /\  x  C_  Y )  /\  y  e.  x )  /\  (
w  e.  ( J  i^i  ~P ( `' F " x ) )  /\  ( `' F `  y )  e.  w ) )  ->  ( F "
w )  C_  Y
)
63 f1of1 5487 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( F : X -1-1-onto-> Y  ->  F : X -1-1-> Y )
6451, 63syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X
-1-1-onto-> Y )  /\  x  C_  Y )  /\  y  e.  x )  /\  (
w  e.  ( J  i^i  ~P ( `' F " x ) )  /\  ( `' F `  y )  e.  w ) )  ->  F : X -1-1-> Y )
65 inss1 3402 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( J  i^i  ~P ( `' F " x ) )  C_  J
6665, 55sseldi 3191 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X
-1-1-onto-> Y )  /\  x  C_  Y )  /\  y  e.  x )  /\  (
w  e.  ( J  i^i  ~P ( `' F " x ) )  /\  ( `' F `  y )  e.  w ) )  ->  w  e.  J
)
67 elssuni 3871 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( w  e.  J  ->  w  C_ 
U. J )
6867, 19syl6sseqr 3238 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( w  e.  J  ->  w  C_  X )
6966, 68syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X
-1-1-onto-> Y )  /\  x  C_  Y )  /\  y  e.  x )  /\  (
w  e.  ( J  i^i  ~P ( `' F " x ) )  /\  ( `' F `  y )  e.  w ) )  ->  w  C_  X
)
70 f1imacnv 5505 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( F : X -1-1-> Y  /\  w  C_  X )  ->  ( `' F " ( F " w
) )  =  w )
7164, 69, 70syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X
-1-1-onto-> Y )  /\  x  C_  Y )  /\  y  e.  x )  /\  (
w  e.  ( J  i^i  ~P ( `' F " x ) )  /\  ( `' F `  y )  e.  w ) )  ->  ( `' F " ( F " w
) )  =  w )
7271, 66eqeltrd 2370 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X
-1-1-onto-> Y )  /\  x  C_  Y )  /\  y  e.  x )  /\  (
w  e.  ( J  i^i  ~P ( `' F " x ) )  /\  ( `' F `  y )  e.  w ) )  ->  ( `' F " ( F " w
) )  e.  J
)
7319elqtop2 17408 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X -onto-> Y )  ->  (
( F " w
)  e.  ( J qTop 
F )  <->  ( ( F " w )  C_  Y  /\  ( `' F " ( F " w
) )  e.  J
) ) )
747, 73sylan2 460 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X -1-1-onto-> Y )  ->  (
( F " w
)  e.  ( J qTop 
F )  <->  ( ( F " w )  C_  Y  /\  ( `' F " ( F " w
) )  e.  J
) ) )
7574ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X
-1-1-onto-> Y )  /\  x  C_  Y )  /\  y  e.  x )  /\  (
w  e.  ( J  i^i  ~P ( `' F " x ) )  /\  ( `' F `  y )  e.  w ) )  ->  ( ( F
" w )  e.  ( J qTop  F )  <-> 
( ( F "
w )  C_  Y  /\  ( `' F "
( F " w
) )  e.  J
) ) )
7662, 72, 75mpbir2and 888 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X
-1-1-onto-> Y )  /\  x  C_  Y )  /\  y  e.  x )  /\  (
w  e.  ( J  i^i  ~P ( `' F " x ) )  /\  ( `' F `  y )  e.  w ) )  ->  ( F "
w )  e.  ( J qTop  F ) )
77 vex 2804 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  x  e. 
_V
7877elpw2 4191 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F " w )  e.  ~P x  <->  ( F " w )  C_  x
)
7960, 78sylibr 203 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X
-1-1-onto-> Y )  /\  x  C_  Y )  /\  y  e.  x )  /\  (
w  e.  ( J  i^i  ~P ( `' F " x ) )  /\  ( `' F `  y )  e.  w ) )  ->  ( F "
w )  e.  ~P x )
80 elin 3371 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F " w )  e.  ( ( J qTop 
F )  i^i  ~P x )  <->  ( ( F " w )  e.  ( J qTop  F )  /\  ( F "
w )  e.  ~P x ) )
8176, 79, 80sylanbrc 645 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X
-1-1-onto-> Y )  /\  x  C_  Y )  /\  y  e.  x )  /\  (
w  e.  ( J  i^i  ~P ( `' F " x ) )  /\  ( `' F `  y )  e.  w ) )  ->  ( F "
w )  e.  ( ( J qTop  F )  i^i  ~P x ) )
825sselda 3193 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( J  e.  TopBases 
/\  F : X -1-1-onto-> Y
)  /\  x  C_  Y
)  /\  y  e.  x )  ->  y  e.  Y )
8382adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X
-1-1-onto-> Y )  /\  x  C_  Y )  /\  y  e.  x )  /\  (
w  e.  ( J  i^i  ~P ( `' F " x ) )  /\  ( `' F `  y )  e.  w ) )  ->  y  e.  Y
)
84 f1ocnvfv2 5809 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F : X -1-1-onto-> Y  /\  y  e.  Y )  ->  ( F `  ( `' F `  y ) )  =  y )
8551, 83, 84syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X
-1-1-onto-> Y )  /\  x  C_  Y )  /\  y  e.  x )  /\  (
w  e.  ( J  i^i  ~P ( `' F " x ) )  /\  ( `' F `  y )  e.  w ) )  ->  ( F `  ( `' F `  y ) )  =  y )
86 f1ofn 5489 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( F : X -1-1-onto-> Y  ->  F  Fn  X )
8786adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X -1-1-onto-> Y )  ->  F  Fn  X )
8887ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X
-1-1-onto-> Y )  /\  x  C_  Y )  /\  y  e.  x )  /\  (
w  e.  ( J  i^i  ~P ( `' F " x ) )  /\  ( `' F `  y )  e.  w ) )  ->  F  Fn  X
)
89 simprr 733 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X
-1-1-onto-> Y )  /\  x  C_  Y )  /\  y  e.  x )  /\  (
w  e.  ( J  i^i  ~P ( `' F " x ) )  /\  ( `' F `  y )  e.  w ) )  ->  ( `' F `  y )  e.  w
)
90 fnfvima 5772 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F  Fn  X  /\  w  C_  X  /\  ( `' F `  y )  e.  w )  -> 
( F `  ( `' F `  y ) )  e.  ( F
" w ) )
9188, 69, 89, 90syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X
-1-1-onto-> Y )  /\  x  C_  Y )  /\  y  e.  x )  /\  (
w  e.  ( J  i^i  ~P ( `' F " x ) )  /\  ( `' F `  y )  e.  w ) )  ->  ( F `  ( `' F `  y ) )  e.  ( F
" w ) )
9285, 91eqeltrrd 2371 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X
-1-1-onto-> Y )  /\  x  C_  Y )  /\  y  e.  x )  /\  (
w  e.  ( J  i^i  ~P ( `' F " x ) )  /\  ( `' F `  y )  e.  w ) )  ->  y  e.  ( F " w ) )
93 eleq2 2357 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  ( F "
w )  ->  (
y  e.  z  <->  y  e.  ( F " w ) ) )
9493rspcev 2897 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F " w
)  e.  ( ( J qTop  F )  i^i 
~P x )  /\  y  e.  ( F " w ) )  ->  E. z  e.  (
( J qTop  F )  i^i  ~P x ) y  e.  z )
9581, 92, 94syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X
-1-1-onto-> Y )  /\  x  C_  Y )  /\  y  e.  x )  /\  (
w  e.  ( J  i^i  ~P ( `' F " x ) )  /\  ( `' F `  y )  e.  w ) )  ->  E. z  e.  ( ( J qTop  F )  i^i  ~P x ) y  e.  z )
9695expr 598 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X
-1-1-onto-> Y )  /\  x  C_  Y )  /\  y  e.  x )  /\  w  e.  ( J  i^i  ~P ( `' F " x ) ) )  ->  (
( `' F `  y )  e.  w  ->  E. z  e.  ( ( J qTop  F )  i^i  ~P x ) y  e.  z ) )
9796rexlimdva 2680 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e.  TopBases 
/\  F : X -1-1-onto-> Y
)  /\  x  C_  Y
)  /\  y  e.  x )  ->  ( E. w  e.  ( J  i^i  ~P ( `' F " x ) ) ( `' F `  y )  e.  w  ->  E. z  e.  ( ( J qTop  F )  i^i  ~P x ) y  e.  z ) )
9850, 97impbid 183 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e.  TopBases 
/\  F : X -1-1-onto-> Y
)  /\  x  C_  Y
)  /\  y  e.  x )  ->  ( E. z  e.  (
( J qTop  F )  i^i  ~P x ) y  e.  z  <->  E. w  e.  ( J  i^i  ~P ( `' F " x ) ) ( `' F `  y )  e.  w
) )
99 eluni2 3847 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  U. ( ( J qTop  F )  i^i 
~P x )  <->  E. z  e.  ( ( J qTop  F
)  i^i  ~P x
) y  e.  z )
100 eluni2 3847 . . . . . . . . 9  |-  ( ( `' F `  y )  e.  U. ( J  i^i  ~P ( `' F " x ) )  <->  E. w  e.  ( J  i^i  ~P ( `' F " x ) ) ( `' F `  y )  e.  w
)
10198, 99, 1003bitr4g 279 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e.  TopBases 
/\  F : X -1-1-onto-> Y
)  /\  x  C_  Y
)  /\  y  e.  x )  ->  (
y  e.  U. (
( J qTop  F )  i^i  ~P x )  <->  ( `' F `  y )  e.  U. ( J  i^i  ~P ( `' F "
x ) ) ) )
102101ralbidva 2572 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X -1-1-onto-> Y )  /\  x  C_  Y )  ->  ( A. y  e.  x  y  e.  U. (
( J qTop  F )  i^i  ~P x )  <->  A. y  e.  x  ( `' F `  y )  e.  U. ( J  i^i  ~P ( `' F "
x ) ) ) )
10315, 102syl5bb 248 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X -1-1-onto-> Y )  /\  x  C_  Y )  ->  (
x  C_  U. (
( J qTop  F )  i^i  ~P x )  <->  A. y  e.  x  ( `' F `  y )  e.  U. ( J  i^i  ~P ( `' F "
x ) ) ) )
10414, 103bitr4d 247 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X -1-1-onto-> Y )  /\  x  C_  Y )  ->  (
( `' F "
x )  C_  U. ( J  i^i  ~P ( `' F " x ) )  <->  x  C_  U. (
( J qTop  F )  i^i  ~P x ) ) )
105 eltg 16711 . . . . . 6  |-  ( J  e.  TopBases  ->  ( ( `' F " x )  e.  ( topGen `  J
)  <->  ( `' F " x )  C_  U. ( J  i^i  ~P ( `' F " x ) ) ) )
106105ad2antrr 706 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X -1-1-onto-> Y )  /\  x  C_  Y )  ->  (
( `' F "
x )  e.  (
topGen `  J )  <->  ( `' F " x )  C_  U. ( J  i^i  ~P ( `' F " x ) ) ) )
107 ovex 5899 . . . . . 6  |-  ( J qTop 
F )  e.  _V
108 eltg 16711 . . . . . 6  |-  ( ( J qTop  F )  e. 
_V  ->  ( x  e.  ( topGen `  ( J qTop  F ) )  <->  x  C_  U. (
( J qTop  F )  i^i  ~P x ) ) )
109107, 108mp1i 11 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X -1-1-onto-> Y )  /\  x  C_  Y )  ->  (
x  e.  ( topGen `  ( J qTop  F ) )  <->  x  C_  U. (
( J qTop  F )  i^i  ~P x ) ) )
110104, 106, 1093bitr4d 276 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X -1-1-onto-> Y )  /\  x  C_  Y )  ->  (
( `' F "
x )  e.  (
topGen `  J )  <->  x  e.  ( topGen `  ( J qTop  F ) ) ) )
111110pm5.32da 622 . . 3  |-  ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X -1-1-onto-> Y )  ->  (
( x  C_  Y  /\  ( `' F "
x )  e.  (
topGen `  J ) )  <-> 
( x  C_  Y  /\  x  e.  ( topGen `
 ( J qTop  F
) ) ) ) )
112 tgtopon 16725 . . . . . 6  |-  ( J  e.  TopBases  ->  ( topGen `  J
)  e.  (TopOn `  U. J ) )
113112adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X -1-1-onto-> Y )  ->  ( topGen `
 J )  e.  (TopOn `  U. J ) )
11419fveq2i 5544 . . . . 5  |-  (TopOn `  X )  =  (TopOn `  U. J )
115113, 114syl6eleqr 2387 . . . 4  |-  ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X -1-1-onto-> Y )  ->  ( topGen `
 J )  e.  (TopOn `  X )
)
1167adantl 452 . . . 4  |-  ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X -1-1-onto-> Y )  ->  F : X -onto-> Y )
117 elqtop3 17410 . . . 4  |-  ( ( ( topGen `  J )  e.  (TopOn `  X )  /\  F : X -onto-> Y
)  ->  ( x  e.  ( ( topGen `  J
) qTop  F )  <->  ( x  C_  Y  /\  ( `' F " x )  e.  ( topGen `  J
) ) ) )
118115, 116, 117syl2anc 642 . . 3  |-  ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X -1-1-onto-> Y )  ->  (
x  e.  ( (
topGen `  J ) qTop  F
)  <->  ( x  C_  Y  /\  ( `' F " x )  e.  (
topGen `  J ) ) ) )
119 unitg 16721 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J qTop  F )  e. 
_V  ->  U. ( topGen `  ( J qTop  F ) )  = 
U. ( J qTop  F
) )
120107, 119ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  U. ( topGen `
 ( J qTop  F
) )  =  U. ( J qTop  F )
12119elqtop2 17408 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X -onto-> Y )  ->  (
x  e.  ( J qTop 
F )  <->  ( x  C_  Y  /\  ( `' F " x )  e.  J ) ) )
1227, 121sylan2 460 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X -1-1-onto-> Y )  ->  (
x  e.  ( J qTop 
F )  <->  ( x  C_  Y  /\  ( `' F " x )  e.  J ) ) )
123 simpl 443 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  C_  Y  /\  ( `' F " x )  e.  J )  ->  x  C_  Y )
12477elpw 3644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ~P Y  <->  x  C_  Y
)
125123, 124sylibr 203 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  C_  Y  /\  ( `' F " x )  e.  J )  ->  x  e.  ~P Y
)
126122, 125syl6bi 219 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X -1-1-onto-> Y )  ->  (
x  e.  ( J qTop 
F )  ->  x  e.  ~P Y ) )
127126ssrdv 3198 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X -1-1-onto-> Y )  ->  ( J qTop  F )  C_  ~P Y )
128 sspwuni 4003 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J qTop  F )  C_  ~P Y  <->  U. ( J qTop  F
)  C_  Y )
129127, 128sylib 188 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X -1-1-onto-> Y )  ->  U. ( J qTop  F )  C_  Y
)
130120, 129syl5eqss 3235 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X -1-1-onto-> Y )  ->  U. ( topGen `
 ( J qTop  F
) )  C_  Y
)
131 sspwuni 4003 . . . . . . 7  |-  ( (
topGen `  ( J qTop  F
) )  C_  ~P Y 
<-> 
U. ( topGen `  ( J qTop  F ) )  C_  Y )
132130, 131sylibr 203 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X -1-1-onto-> Y )  ->  ( topGen `
 ( J qTop  F
) )  C_  ~P Y )
133132sseld 3192 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X -1-1-onto-> Y )  ->  (
x  e.  ( topGen `  ( J qTop  F ) )  ->  x  e.  ~P Y ) )
134 elpwi 3646 . . . . 5  |-  ( x  e.  ~P Y  ->  x  C_  Y )
135133, 134syl6 29 . . . 4  |-  ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X -1-1-onto-> Y )  ->  (
x  e.  ( topGen `  ( J qTop  F ) )  ->  x  C_  Y
) )
136135pm4.71rd 616 . . 3  |-  ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X -1-1-onto-> Y )  ->  (
x  e.  ( topGen `  ( J qTop  F ) )  <->  ( x  C_  Y  /\  x  e.  (
topGen `  ( J qTop  F
) ) ) ) )
137111, 118, 1363bitr4d 276 . 2  |-  ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X -1-1-onto-> Y )  ->  (
x  e.  ( (
topGen `  J ) qTop  F
)  <->  x  e.  ( topGen `
 ( J qTop  F
) ) ) )
138137eqrdv 2294 1  |-  ( ( J  e.  TopBases  /\  F : X -1-1-onto-> Y )  ->  (
( topGen `  J ) qTop  F )  =  ( topGen `  ( J qTop  F ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   E.wrex 2557   _Vcvv 2801    i^i cin 3164    C_ wss 3165   ~Pcpw 3638   U.cuni 3843   `'ccnv 4704   dom cdm 4705   ran crn 4706   "cima 4708   Fun wfun 5265    Fn wfn 5266   -1-1->wf1 5268   -onto->wfo 5269   -1-1-onto->wf1o 5270   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   topGenctg 13358   qTop cqtop 13422  TopOnctopon 16648   TopBasesctb 16651
This theorem is referenced by:  imasf1oxms  18051
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-topgen 13360  df-qtop 13426  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655
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