Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  tgrpbase Unicode version

Theorem tgrpbase 31557
Description: The base set of the translation group is the set of all translations (for a fiducial co-atom  W). (Contributed by NM, 5-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
tgrpset.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
tgrpset.t  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
tgrpset.g  |-  G  =  ( ( TGrp `  K
) `  W )
tgrp.c  |-  C  =  ( Base `  G
)
Assertion
Ref Expression
tgrpbase  |-  ( ( K  e.  V  /\  W  e.  H )  ->  C  =  T )

Proof of Theorem tgrpbase
Dummy variables  f 
g are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tgrpset.h . . . 4  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 tgrpset.t . . . 4  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
3 tgrpset.g . . . 4  |-  G  =  ( ( TGrp `  K
) `  W )
41, 2, 3tgrpset 31556 . . 3  |-  ( ( K  e.  V  /\  W  e.  H )  ->  G  =  { <. (
Base `  ndx ) ,  T >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  ( f  e.  T ,  g  e.  T  |->  ( f  o.  g
) ) >. } )
54fveq2d 5545 . 2  |-  ( ( K  e.  V  /\  W  e.  H )  ->  ( Base `  G
)  =  ( Base `  { <. ( Base `  ndx ) ,  T >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  ( f  e.  T ,  g  e.  T  |->  ( f  o.  g ) ) >. } ) )
6 tgrp.c . 2  |-  C  =  ( Base `  G
)
7 fvex 5555 . . . 4  |-  ( (
LTrn `  K ) `  W )  e.  _V
82, 7eqeltri 2366 . . 3  |-  T  e. 
_V
9 eqid 2296 . . . 4  |-  { <. (
Base `  ndx ) ,  T >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  ( f  e.  T ,  g  e.  T  |->  ( f  o.  g
) ) >. }  =  { <. ( Base `  ndx ) ,  T >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  ( f  e.  T ,  g  e.  T  |->  ( f  o.  g ) ) >. }
109grpbase 13264 . . 3  |-  ( T  e.  _V  ->  T  =  ( Base `  { <. ( Base `  ndx ) ,  T >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  ( f  e.  T ,  g  e.  T  |->  ( f  o.  g ) ) >. } ) )
118, 10ax-mp 8 . 2  |-  T  =  ( Base `  { <. ( Base `  ndx ) ,  T >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  ( f  e.  T ,  g  e.  T  |->  ( f  o.  g ) ) >. } )
125, 6, 113eqtr4g 2353 1  |-  ( ( K  e.  V  /\  W  e.  H )  ->  C  =  T )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   _Vcvv 2801   {cpr 3654   <.cop 3656    o. ccom 4709   ` cfv 5271    e. cmpt2 5876   ndxcnx 13161   Basecbs 13164   +g cplusg 13224   LHypclh 30795   LTrncltrn 30912   TGrpctgrp 31553
This theorem is referenced by:  tgrpgrplem  31560  tgrpabl  31562
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-2 9820  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-fz 10799  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-plusg 13237  df-tgrp 31554
  Copyright terms: Public domain W3C validator