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Theorem tgrpgrplem 31560
Description: Lemma for tgrpgrp 31561. (Contributed by NM, 6-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
tgrpset.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
tgrpset.t  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
tgrpset.g  |-  G  =  ( ( TGrp `  K
) `  W )
tgrp.o  |-  .+  =  ( +g  `  G )
tgrp.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
Assertion
Ref Expression
tgrpgrplem  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  G  e.  Grp )

Proof of Theorem tgrpgrplem
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tgrpset.h . . . 4  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 tgrpset.t . . . 4  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
3 tgrpset.g . . . 4  |-  G  =  ( ( TGrp `  K
) `  W )
4 eqid 2296 . . . 4  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
51, 2, 3, 4tgrpbase 31557 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( Base `  G
)  =  T )
65eqcomd 2301 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  T  =  ( Base `  G ) )
7 tgrp.o . . 3  |-  .+  =  ( +g  `  G )
87a1i 10 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  .+  =  ( +g  `  G ) )
91, 2, 3, 7tgrpov 31559 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H  /\  ( x  e.  T  /\  y  e.  T
) )  ->  (
x  .+  y )  =  ( x  o.  y ) )
1093expa 1151 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( x  e.  T  /\  y  e.  T ) )  -> 
( x  .+  y
)  =  ( x  o.  y ) )
11103impb 1147 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  x  e.  T  /\  y  e.  T
)  ->  ( x  .+  y )  =  ( x  o.  y ) )
121, 2ltrnco 31530 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  x  e.  T  /\  y  e.  T
)  ->  ( x  o.  y )  e.  T
)
1311, 12eqeltrd 2370 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  x  e.  T  /\  y  e.  T
)  ->  ( x  .+  y )  e.  T
)
14 coass 5207 . . 3  |-  ( ( x  o.  y )  o.  z )  =  ( x  o.  (
y  o.  z ) )
15 simpll 730 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( x  e.  T  /\  y  e.  T  /\  z  e.  T ) )  ->  K  e.  HL )
16 simplr 731 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( x  e.  T  /\  y  e.  T  /\  z  e.  T ) )  ->  W  e.  H )
17 simpr1 961 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( x  e.  T  /\  y  e.  T  /\  z  e.  T ) )  ->  x  e.  T )
18 simpr2 962 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( x  e.  T  /\  y  e.  T  /\  z  e.  T ) )  -> 
y  e.  T )
1915, 16, 17, 18, 9syl112anc 1186 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( x  e.  T  /\  y  e.  T  /\  z  e.  T ) )  -> 
( x  .+  y
)  =  ( x  o.  y ) )
2019oveq1d 5889 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( x  e.  T  /\  y  e.  T  /\  z  e.  T ) )  -> 
( ( x  .+  y )  .+  z
)  =  ( ( x  o.  y ) 
.+  z ) )
21 simpl 443 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( x  e.  T  /\  y  e.  T  /\  z  e.  T ) )  -> 
( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
2221, 17, 18, 12syl3anc 1182 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( x  e.  T  /\  y  e.  T  /\  z  e.  T ) )  -> 
( x  o.  y
)  e.  T )
23 simpr3 963 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( x  e.  T  /\  y  e.  T  /\  z  e.  T ) )  -> 
z  e.  T )
241, 2, 3, 7tgrpov 31559 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H  /\  ( ( x  o.  y )  e.  T  /\  z  e.  T
) )  ->  (
( x  o.  y
)  .+  z )  =  ( ( x  o.  y )  o.  z ) )
2515, 16, 22, 23, 24syl112anc 1186 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( x  e.  T  /\  y  e.  T  /\  z  e.  T ) )  -> 
( ( x  o.  y )  .+  z
)  =  ( ( x  o.  y )  o.  z ) )
2620, 25eqtrd 2328 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( x  e.  T  /\  y  e.  T  /\  z  e.  T ) )  -> 
( ( x  .+  y )  .+  z
)  =  ( ( x  o.  y )  o.  z ) )
271, 2, 3, 7tgrpov 31559 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H  /\  ( y  e.  T  /\  z  e.  T
) )  ->  (
y  .+  z )  =  ( y  o.  z ) )
2815, 16, 18, 23, 27syl112anc 1186 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( x  e.  T  /\  y  e.  T  /\  z  e.  T ) )  -> 
( y  .+  z
)  =  ( y  o.  z ) )
2928oveq2d 5890 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( x  e.  T  /\  y  e.  T  /\  z  e.  T ) )  -> 
( x  .+  (
y  .+  z )
)  =  ( x 
.+  ( y  o.  z ) ) )
301, 2ltrnco 31530 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  y  e.  T  /\  z  e.  T
)  ->  ( y  o.  z )  e.  T
)
3121, 18, 23, 30syl3anc 1182 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( x  e.  T  /\  y  e.  T  /\  z  e.  T ) )  -> 
( y  o.  z
)  e.  T )
321, 2, 3, 7tgrpov 31559 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H  /\  ( x  e.  T  /\  ( y  o.  z
)  e.  T ) )  ->  ( x  .+  ( y  o.  z
) )  =  ( x  o.  ( y  o.  z ) ) )
3315, 16, 17, 31, 32syl112anc 1186 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( x  e.  T  /\  y  e.  T  /\  z  e.  T ) )  -> 
( x  .+  (
y  o.  z ) )  =  ( x  o.  ( y  o.  z ) ) )
3429, 33eqtrd 2328 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( x  e.  T  /\  y  e.  T  /\  z  e.  T ) )  -> 
( x  .+  (
y  .+  z )
)  =  ( x  o.  ( y  o.  z ) ) )
3514, 26, 343eqtr4a 2354 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( x  e.  T  /\  y  e.  T  /\  z  e.  T ) )  -> 
( ( x  .+  y )  .+  z
)  =  ( x 
.+  ( y  .+  z ) ) )
36 tgrp.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  K
)
3736, 1, 2idltrn 30961 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  (  _I  |`  B )  e.  T )
38 simpll 730 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  x  e.  T
)  ->  K  e.  HL )
39 simplr 731 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  x  e.  T
)  ->  W  e.  H )
4037adantr 451 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  x  e.  T
)  ->  (  _I  |`  B )  e.  T
)
41 simpr 447 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  x  e.  T
)  ->  x  e.  T )
421, 2, 3, 7tgrpov 31559 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H  /\  ( (  _I  |`  B )  e.  T  /\  x  e.  T ) )  -> 
( (  _I  |`  B ) 
.+  x )  =  ( (  _I  |`  B )  o.  x ) )
4338, 39, 40, 41, 42syl112anc 1186 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  x  e.  T
)  ->  ( (  _I  |`  B )  .+  x )  =  ( (  _I  |`  B )  o.  x ) )
4436, 1, 2ltrn1o 30935 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  x  e.  T
)  ->  x : B
-1-1-onto-> B )
45 f1of 5488 . . . 4  |-  ( x : B -1-1-onto-> B  ->  x : B
--> B )
46 fcoi2 5432 . . . 4  |-  ( x : B --> B  -> 
( (  _I  |`  B )  o.  x )  =  x )
4744, 45, 463syl 18 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  x  e.  T
)  ->  ( (  _I  |`  B )  o.  x )  =  x )
4843, 47eqtrd 2328 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  x  e.  T
)  ->  ( (  _I  |`  B )  .+  x )  =  x )
491, 2ltrncnv 30957 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  x  e.  T
)  ->  `' x  e.  T )
501, 2, 3, 7tgrpov 31559 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H  /\  ( `' x  e.  T  /\  x  e.  T
) )  ->  ( `' x  .+  x )  =  ( `' x  o.  x ) )
5138, 39, 49, 41, 50syl112anc 1186 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  x  e.  T
)  ->  ( `' x  .+  x )  =  ( `' x  o.  x ) )
52 f1ococnv1 5518 . . . 4  |-  ( x : B -1-1-onto-> B  ->  ( `' x  o.  x )  =  (  _I  |`  B ) )
5344, 52syl 15 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  x  e.  T
)  ->  ( `' x  o.  x )  =  (  _I  |`  B ) )
5451, 53eqtrd 2328 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  x  e.  T
)  ->  ( `' x  .+  x )  =  (  _I  |`  B ) )
556, 8, 13, 35, 37, 48, 49, 54isgrpd 14523 1  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  G  e.  Grp )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696    _I cid 4320   `'ccnv 4704    |` cres 4707    o. ccom 4709   -->wf 5267   -1-1-onto->wf1o 5270   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   Basecbs 13164   +g cplusg 13224   Grpcgrp 14378   HLchlt 30162   LHypclh 30795   LTrncltrn 30912   TGrpctgrp 31553
This theorem is referenced by:  tgrpgrp  31561
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-undef 6314  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-2 9820  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-fz 10799  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-plusg 13237  df-0g 13420  df-poset 14096  df-plt 14108  df-lub 14124  df-glb 14125  df-join 14126  df-meet 14127  df-p0 14161  df-p1 14162  df-lat 14168  df-clat 14230  df-mnd 14383  df-grp 14505  df-oposet 29988  df-ol 29990  df-oml 29991  df-covers 30078  df-ats 30079  df-atl 30110  df-cvlat 30134  df-hlat 30163  df-llines 30309  df-lplanes 30310  df-lvols 30311  df-lines 30312  df-psubsp 30314  df-pmap 30315  df-padd 30607  df-lhyp 30799  df-laut 30800  df-ldil 30915  df-ltrn 30916  df-trl 30970  df-tgrp 31554
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