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Theorem tgrpgrplem 31548
Description: Lemma for tgrpgrp 31549. (Contributed by NM, 6-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
tgrpset.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
tgrpset.t  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
tgrpset.g  |-  G  =  ( ( TGrp `  K
) `  W )
tgrp.o  |-  .+  =  ( +g  `  G )
tgrp.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
Assertion
Ref Expression
tgrpgrplem  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  G  e.  Grp )

Proof of Theorem tgrpgrplem
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tgrpset.h . . . 4  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 tgrpset.t . . . 4  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
3 tgrpset.g . . . 4  |-  G  =  ( ( TGrp `  K
) `  W )
4 eqid 2438 . . . 4  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
51, 2, 3, 4tgrpbase 31545 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( Base `  G
)  =  T )
65eqcomd 2443 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  T  =  ( Base `  G ) )
7 tgrp.o . . 3  |-  .+  =  ( +g  `  G )
87a1i 11 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  .+  =  ( +g  `  G ) )
91, 2, 3, 7tgrpov 31547 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H  /\  ( x  e.  T  /\  y  e.  T
) )  ->  (
x  .+  y )  =  ( x  o.  y ) )
1093expa 1154 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( x  e.  T  /\  y  e.  T ) )  -> 
( x  .+  y
)  =  ( x  o.  y ) )
11103impb 1150 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  x  e.  T  /\  y  e.  T
)  ->  ( x  .+  y )  =  ( x  o.  y ) )
121, 2ltrnco 31518 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  x  e.  T  /\  y  e.  T
)  ->  ( x  o.  y )  e.  T
)
1311, 12eqeltrd 2512 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  x  e.  T  /\  y  e.  T
)  ->  ( x  .+  y )  e.  T
)
14 coass 5390 . . 3  |-  ( ( x  o.  y )  o.  z )  =  ( x  o.  (
y  o.  z ) )
15 simpll 732 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( x  e.  T  /\  y  e.  T  /\  z  e.  T ) )  ->  K  e.  HL )
16 simplr 733 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( x  e.  T  /\  y  e.  T  /\  z  e.  T ) )  ->  W  e.  H )
17 simpr1 964 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( x  e.  T  /\  y  e.  T  /\  z  e.  T ) )  ->  x  e.  T )
18 simpr2 965 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( x  e.  T  /\  y  e.  T  /\  z  e.  T ) )  -> 
y  e.  T )
1915, 16, 17, 18, 9syl112anc 1189 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( x  e.  T  /\  y  e.  T  /\  z  e.  T ) )  -> 
( x  .+  y
)  =  ( x  o.  y ) )
2019oveq1d 6098 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( x  e.  T  /\  y  e.  T  /\  z  e.  T ) )  -> 
( ( x  .+  y )  .+  z
)  =  ( ( x  o.  y ) 
.+  z ) )
21 simpl 445 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( x  e.  T  /\  y  e.  T  /\  z  e.  T ) )  -> 
( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
2221, 17, 18, 12syl3anc 1185 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( x  e.  T  /\  y  e.  T  /\  z  e.  T ) )  -> 
( x  o.  y
)  e.  T )
23 simpr3 966 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( x  e.  T  /\  y  e.  T  /\  z  e.  T ) )  -> 
z  e.  T )
241, 2, 3, 7tgrpov 31547 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H  /\  ( ( x  o.  y )  e.  T  /\  z  e.  T
) )  ->  (
( x  o.  y
)  .+  z )  =  ( ( x  o.  y )  o.  z ) )
2515, 16, 22, 23, 24syl112anc 1189 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( x  e.  T  /\  y  e.  T  /\  z  e.  T ) )  -> 
( ( x  o.  y )  .+  z
)  =  ( ( x  o.  y )  o.  z ) )
2620, 25eqtrd 2470 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( x  e.  T  /\  y  e.  T  /\  z  e.  T ) )  -> 
( ( x  .+  y )  .+  z
)  =  ( ( x  o.  y )  o.  z ) )
271, 2, 3, 7tgrpov 31547 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H  /\  ( y  e.  T  /\  z  e.  T
) )  ->  (
y  .+  z )  =  ( y  o.  z ) )
2815, 16, 18, 23, 27syl112anc 1189 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( x  e.  T  /\  y  e.  T  /\  z  e.  T ) )  -> 
( y  .+  z
)  =  ( y  o.  z ) )
2928oveq2d 6099 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( x  e.  T  /\  y  e.  T  /\  z  e.  T ) )  -> 
( x  .+  (
y  .+  z )
)  =  ( x 
.+  ( y  o.  z ) ) )
301, 2ltrnco 31518 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  y  e.  T  /\  z  e.  T
)  ->  ( y  o.  z )  e.  T
)
3121, 18, 23, 30syl3anc 1185 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( x  e.  T  /\  y  e.  T  /\  z  e.  T ) )  -> 
( y  o.  z
)  e.  T )
321, 2, 3, 7tgrpov 31547 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H  /\  ( x  e.  T  /\  ( y  o.  z
)  e.  T ) )  ->  ( x  .+  ( y  o.  z
) )  =  ( x  o.  ( y  o.  z ) ) )
3315, 16, 17, 31, 32syl112anc 1189 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( x  e.  T  /\  y  e.  T  /\  z  e.  T ) )  -> 
( x  .+  (
y  o.  z ) )  =  ( x  o.  ( y  o.  z ) ) )
3429, 33eqtrd 2470 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( x  e.  T  /\  y  e.  T  /\  z  e.  T ) )  -> 
( x  .+  (
y  .+  z )
)  =  ( x  o.  ( y  o.  z ) ) )
3514, 26, 343eqtr4a 2496 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( x  e.  T  /\  y  e.  T  /\  z  e.  T ) )  -> 
( ( x  .+  y )  .+  z
)  =  ( x 
.+  ( y  .+  z ) ) )
36 tgrp.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  K
)
3736, 1, 2idltrn 30949 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  (  _I  |`  B )  e.  T )
38 simpll 732 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  x  e.  T
)  ->  K  e.  HL )
39 simplr 733 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  x  e.  T
)  ->  W  e.  H )
4037adantr 453 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  x  e.  T
)  ->  (  _I  |`  B )  e.  T
)
41 simpr 449 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  x  e.  T
)  ->  x  e.  T )
421, 2, 3, 7tgrpov 31547 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H  /\  ( (  _I  |`  B )  e.  T  /\  x  e.  T ) )  -> 
( (  _I  |`  B ) 
.+  x )  =  ( (  _I  |`  B )  o.  x ) )
4338, 39, 40, 41, 42syl112anc 1189 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  x  e.  T
)  ->  ( (  _I  |`  B )  .+  x )  =  ( (  _I  |`  B )  o.  x ) )
4436, 1, 2ltrn1o 30923 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  x  e.  T
)  ->  x : B
-1-1-onto-> B )
45 f1of 5676 . . . 4  |-  ( x : B -1-1-onto-> B  ->  x : B
--> B )
46 fcoi2 5620 . . . 4  |-  ( x : B --> B  -> 
( (  _I  |`  B )  o.  x )  =  x )
4744, 45, 463syl 19 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  x  e.  T
)  ->  ( (  _I  |`  B )  o.  x )  =  x )
4843, 47eqtrd 2470 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  x  e.  T
)  ->  ( (  _I  |`  B )  .+  x )  =  x )
491, 2ltrncnv 30945 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  x  e.  T
)  ->  `' x  e.  T )
501, 2, 3, 7tgrpov 31547 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H  /\  ( `' x  e.  T  /\  x  e.  T
) )  ->  ( `' x  .+  x )  =  ( `' x  o.  x ) )
5138, 39, 49, 41, 50syl112anc 1189 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  x  e.  T
)  ->  ( `' x  .+  x )  =  ( `' x  o.  x ) )
52 f1ococnv1 5706 . . . 4  |-  ( x : B -1-1-onto-> B  ->  ( `' x  o.  x )  =  (  _I  |`  B ) )
5344, 52syl 16 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  x  e.  T
)  ->  ( `' x  o.  x )  =  (  _I  |`  B ) )
5451, 53eqtrd 2470 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  x  e.  T
)  ->  ( `' x  .+  x )  =  (  _I  |`  B ) )
556, 8, 13, 35, 37, 48, 49, 54isgrpd 14832 1  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  G  e.  Grp )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726    _I cid 4495   `'ccnv 4879    |` cres 4882    o. ccom 4884   -->wf 5452   -1-1-onto->wf1o 5455   ` cfv 5456  (class class class)co 6083   Basecbs 13471   +g cplusg 13531   Grpcgrp 14687   HLchlt 30150   LHypclh 30783   LTrncltrn 30900   TGrpctgrp 31541
This theorem is referenced by:  tgrpgrp  31549
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-iin 4098  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-undef 6545  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-oadd 6730  df-er 6907  df-map 7022  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-nn 10003  df-2 10060  df-n0 10224  df-z 10285  df-uz 10491  df-fz 11046  df-struct 13473  df-ndx 13474  df-slot 13475  df-base 13476  df-plusg 13544  df-0g 13729  df-poset 14405  df-plt 14417  df-lub 14433  df-glb 14434  df-join 14435  df-meet 14436  df-p0 14470  df-p1 14471  df-lat 14477  df-clat 14539  df-mnd 14692  df-grp 14814  df-oposet 29976  df-ol 29978  df-oml 29979  df-covers 30066  df-ats 30067  df-atl 30098  df-cvlat 30122  df-hlat 30151  df-llines 30297  df-lplanes 30298  df-lvols 30299  df-lines 30300  df-psubsp 30302  df-pmap 30303  df-padd 30595  df-lhyp 30787  df-laut 30788  df-ldil 30903  df-ltrn 30904  df-trl 30958  df-tgrp 31542
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