Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  tgrpgrplem Structured version   Unicode version

Theorem tgrpgrplem 31548
 Description: Lemma for tgrpgrp 31549. (Contributed by NM, 6-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
tgrpset.h
tgrpset.t
tgrpset.g
tgrp.o
tgrp.b
Assertion
Ref Expression
tgrpgrplem

Proof of Theorem tgrpgrplem
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tgrpset.h . . . 4
2 tgrpset.t . . . 4
3 tgrpset.g . . . 4
4 eqid 2438 . . . 4
51, 2, 3, 4tgrpbase 31545 . . 3
65eqcomd 2443 . 2
7 tgrp.o . . 3
87a1i 11 . 2
91, 2, 3, 7tgrpov 31547 . . . . 5
1093expa 1154 . . . 4
11103impb 1150 . . 3
121, 2ltrnco 31518 . . 3
1311, 12eqeltrd 2512 . 2
14 coass 5390 . . 3
15 simpll 732 . . . . . 6
16 simplr 733 . . . . . 6
17 simpr1 964 . . . . . 6
18 simpr2 965 . . . . . 6
1915, 16, 17, 18, 9syl112anc 1189 . . . . 5
2019oveq1d 6098 . . . 4
21 simpl 445 . . . . . 6
2221, 17, 18, 12syl3anc 1185 . . . . 5
23 simpr3 966 . . . . 5
241, 2, 3, 7tgrpov 31547 . . . . 5
2515, 16, 22, 23, 24syl112anc 1189 . . . 4
2620, 25eqtrd 2470 . . 3
271, 2, 3, 7tgrpov 31547 . . . . . 6
2815, 16, 18, 23, 27syl112anc 1189 . . . . 5
2928oveq2d 6099 . . . 4
301, 2ltrnco 31518 . . . . . 6
3121, 18, 23, 30syl3anc 1185 . . . . 5
321, 2, 3, 7tgrpov 31547 . . . . 5
3315, 16, 17, 31, 32syl112anc 1189 . . . 4
3429, 33eqtrd 2470 . . 3
3514, 26, 343eqtr4a 2496 . 2
36 tgrp.b . . 3
3736, 1, 2idltrn 30949 . 2
38 simpll 732 . . . 4
39 simplr 733 . . . 4
4037adantr 453 . . . 4
41 simpr 449 . . . 4
421, 2, 3, 7tgrpov 31547 . . . 4
4338, 39, 40, 41, 42syl112anc 1189 . . 3
4436, 1, 2ltrn1o 30923 . . . 4
45 f1of 5676 . . . 4
46 fcoi2 5620 . . . 4
4744, 45, 463syl 19 . . 3
4843, 47eqtrd 2470 . 2
491, 2ltrncnv 30945 . 2
501, 2, 3, 7tgrpov 31547 . . . 4
5138, 39, 49, 41, 50syl112anc 1189 . . 3
52 f1ococnv1 5706 . . . 4
5344, 52syl 16 . . 3
5451, 53eqtrd 2470 . 2
556, 8, 13, 35, 37, 48, 49, 54isgrpd 14832 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 360   w3a 937   wceq 1653   wcel 1726   cid 4495  ccnv 4879   cres 4882   ccom 4884  wf 5452  wf1o 5455  cfv 5456  (class class class)co 6083  cbs 13471   cplusg 13531  cgrp 14687  chlt 30150  clh 30783  cltrn 30900  ctgrp 31541 This theorem is referenced by:  tgrpgrp  31549 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-iin 4098  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-undef 6545  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-oadd 6730  df-er 6907  df-map 7022  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-nn 10003  df-2 10060  df-n0 10224  df-z 10285  df-uz 10491  df-fz 11046  df-struct 13473  df-ndx 13474  df-slot 13475  df-base 13476  df-plusg 13544  df-0g 13729  df-poset 14405  df-plt 14417  df-lub 14433  df-glb 14434  df-join 14435  df-meet 14436  df-p0 14470  df-p1 14471  df-lat 14477  df-clat 14539  df-mnd 14692  df-grp 14814  df-oposet 29976  df-ol 29978  df-oml 29979  df-covers 30066  df-ats 30067  df-atl 30098  df-cvlat 30122  df-hlat 30151  df-llines 30297  df-lplanes 30298  df-lvols 30299  df-lines 30300  df-psubsp 30302  df-pmap 30303  df-padd 30595  df-lhyp 30787  df-laut 30788  df-ldil 30903  df-ltrn 30904  df-trl 30958  df-tgrp 31542
 Copyright terms: Public domain W3C validator