Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  tgrpopr Unicode version

Theorem tgrpopr 30936
Description: The group operation of the translation group is function composition. (Contributed by NM, 5-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
tgrpset.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
tgrpset.t  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
tgrpset.g  |-  G  =  ( ( TGrp `  K
) `  W )
tgrp.o  |-  .+  =  ( +g  `  G )
Assertion
Ref Expression
tgrpopr  |-  ( ( K  e.  V  /\  W  e.  H )  ->  .+  =  ( f  e.  T ,  g  e.  T  |->  ( f  o.  g ) ) )
Distinct variable groups:    f, g, K    T, f, g    f, W, g
Allowed substitution hints:    .+ ( f, g)    G( f, g)    H( f, g)    V( f, g)

Proof of Theorem tgrpopr
StepHypRef Expression
1 tgrpset.h . . . 4  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 tgrpset.t . . . 4  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
3 tgrpset.g . . . 4  |-  G  =  ( ( TGrp `  K
) `  W )
41, 2, 3tgrpset 30934 . . 3  |-  ( ( K  e.  V  /\  W  e.  H )  ->  G  =  { <. (
Base `  ndx ) ,  T >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  ( f  e.  T ,  g  e.  T  |->  ( f  o.  g
) ) >. } )
54fveq2d 5529 . 2  |-  ( ( K  e.  V  /\  W  e.  H )  ->  ( +g  `  G
)  =  ( +g  `  { <. ( Base `  ndx ) ,  T >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  ( f  e.  T ,  g  e.  T  |->  ( f  o.  g ) ) >. } ) )
6 tgrp.o . 2  |-  .+  =  ( +g  `  G )
7 fvex 5539 . . . . 5  |-  ( (
LTrn `  K ) `  W )  e.  _V
82, 7eqeltri 2353 . . . 4  |-  T  e. 
_V
98, 8mpt2ex 6198 . . 3  |-  ( f  e.  T ,  g  e.  T  |->  ( f  o.  g ) )  e.  _V
10 eqid 2283 . . . 4  |-  { <. (
Base `  ndx ) ,  T >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  ( f  e.  T ,  g  e.  T  |->  ( f  o.  g
) ) >. }  =  { <. ( Base `  ndx ) ,  T >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  ( f  e.  T ,  g  e.  T  |->  ( f  o.  g ) ) >. }
1110grpplusg 13249 . . 3  |-  ( ( f  e.  T , 
g  e.  T  |->  ( f  o.  g ) )  e.  _V  ->  ( f  e.  T , 
g  e.  T  |->  ( f  o.  g ) )  =  ( +g  `  { <. ( Base `  ndx ) ,  T >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  ( f  e.  T ,  g  e.  T  |->  ( f  o.  g ) ) >. } ) )
129, 11ax-mp 8 . 2  |-  ( f  e.  T ,  g  e.  T  |->  ( f  o.  g ) )  =  ( +g  `  { <. ( Base `  ndx ) ,  T >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  ( f  e.  T ,  g  e.  T  |->  ( f  o.  g ) ) >. } )
135, 6, 123eqtr4g 2340 1  |-  ( ( K  e.  V  /\  W  e.  H )  ->  .+  =  ( f  e.  T ,  g  e.  T  |->  ( f  o.  g ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   _Vcvv 2788   {cpr 3641   <.cop 3643    o. ccom 4693   ` cfv 5255    e. cmpt2 5860   ndxcnx 13145   Basecbs 13148   +g cplusg 13208   LHypclh 30173   LTrncltrn 30290   TGrpctgrp 30931
This theorem is referenced by:  tgrpov  30937
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-fz 10783  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-plusg 13221  df-tgrp 30932
  Copyright terms: Public domain W3C validator