MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tgss Structured version   Unicode version

Theorem tgss 17025
Description: Subset relation for generated topologies. (Contributed by NM, 7-May-2007.)
Assertion
Ref Expression
tgss  |-  ( ( C  e.  V  /\  B  C_  C )  -> 
( topGen `  B )  C_  ( topGen `  C )
)

Proof of Theorem tgss
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssrin 3558 . . . . . 6  |-  ( B 
C_  C  ->  ( B  i^i  ~P x ) 
C_  ( C  i^i  ~P x ) )
21unissd 4031 . . . . 5  |-  ( B 
C_  C  ->  U. ( B  i^i  ~P x ) 
C_  U. ( C  i^i  ~P x ) )
3 sstr2 3347 . . . . 5  |-  ( x 
C_  U. ( B  i^i  ~P x )  ->  ( U. ( B  i^i  ~P x )  C_  U. ( C  i^i  ~P x )  ->  x  C_  U. ( C  i^i  ~P x ) ) )
42, 3syl5com 28 . . . 4  |-  ( B 
C_  C  ->  (
x  C_  U. ( B  i^i  ~P x )  ->  x  C_  U. ( C  i^i  ~P x ) ) )
54adantl 453 . . 3  |-  ( ( C  e.  V  /\  B  C_  C )  -> 
( x  C_  U. ( B  i^i  ~P x )  ->  x  C_  U. ( C  i^i  ~P x ) ) )
6 ssexg 4341 . . . . 5  |-  ( ( B  C_  C  /\  C  e.  V )  ->  B  e.  _V )
76ancoms 440 . . . 4  |-  ( ( C  e.  V  /\  B  C_  C )  ->  B  e.  _V )
8 eltg 17014 . . . 4  |-  ( B  e.  _V  ->  (
x  e.  ( topGen `  B )  <->  x  C_  U. ( B  i^i  ~P x ) ) )
97, 8syl 16 . . 3  |-  ( ( C  e.  V  /\  B  C_  C )  -> 
( x  e.  (
topGen `  B )  <->  x  C_  U. ( B  i^i  ~P x ) ) )
10 eltg 17014 . . . 4  |-  ( C  e.  V  ->  (
x  e.  ( topGen `  C )  <->  x  C_  U. ( C  i^i  ~P x ) ) )
1110adantr 452 . . 3  |-  ( ( C  e.  V  /\  B  C_  C )  -> 
( x  e.  (
topGen `  C )  <->  x  C_  U. ( C  i^i  ~P x ) ) )
125, 9, 113imtr4d 260 . 2  |-  ( ( C  e.  V  /\  B  C_  C )  -> 
( x  e.  (
topGen `  B )  ->  x  e.  ( topGen `  C ) ) )
1312ssrdv 3346 1  |-  ( ( C  e.  V  /\  B  C_  C )  -> 
( topGen `  B )  C_  ( topGen `  C )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    e. wcel 1725   _Vcvv 2948    i^i cin 3311    C_ wss 3312   ~Pcpw 3791   U.cuni 4007   ` cfv 5446   topGenctg 13657
This theorem is referenced by:  tgidm  17037  tgss3  17043  basgen  17045  2basgen  17047  tgfiss  17048  bastop1  17050  lecldbas  17275  txss12  17629  xrtgioo  18829
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fv 5454  df-topgen 13659
  Copyright terms: Public domain W3C validator