MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tgss Unicode version

Theorem tgss 16722
Description: Subset relation for generated topologies. (Contributed by NM, 7-May-2007.)
Assertion
Ref Expression
tgss  |-  ( ( C  e.  V  /\  B  C_  C )  -> 
( topGen `  B )  C_  ( topGen `  C )
)

Proof of Theorem tgss
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssrin 3407 . . . . . 6  |-  ( B 
C_  C  ->  ( B  i^i  ~P x ) 
C_  ( C  i^i  ~P x ) )
2 uniss 3864 . . . . . 6  |-  ( ( B  i^i  ~P x
)  C_  ( C  i^i  ~P x )  ->  U. ( B  i^i  ~P x )  C_  U. ( C  i^i  ~P x ) )
31, 2syl 15 . . . . 5  |-  ( B 
C_  C  ->  U. ( B  i^i  ~P x ) 
C_  U. ( C  i^i  ~P x ) )
4 sstr2 3199 . . . . 5  |-  ( x 
C_  U. ( B  i^i  ~P x )  ->  ( U. ( B  i^i  ~P x )  C_  U. ( C  i^i  ~P x )  ->  x  C_  U. ( C  i^i  ~P x ) ) )
53, 4syl5com 26 . . . 4  |-  ( B 
C_  C  ->  (
x  C_  U. ( B  i^i  ~P x )  ->  x  C_  U. ( C  i^i  ~P x ) ) )
65adantl 452 . . 3  |-  ( ( C  e.  V  /\  B  C_  C )  -> 
( x  C_  U. ( B  i^i  ~P x )  ->  x  C_  U. ( C  i^i  ~P x ) ) )
7 ssexg 4176 . . . . 5  |-  ( ( B  C_  C  /\  C  e.  V )  ->  B  e.  _V )
87ancoms 439 . . . 4  |-  ( ( C  e.  V  /\  B  C_  C )  ->  B  e.  _V )
9 eltg 16711 . . . 4  |-  ( B  e.  _V  ->  (
x  e.  ( topGen `  B )  <->  x  C_  U. ( B  i^i  ~P x ) ) )
108, 9syl 15 . . 3  |-  ( ( C  e.  V  /\  B  C_  C )  -> 
( x  e.  (
topGen `  B )  <->  x  C_  U. ( B  i^i  ~P x ) ) )
11 eltg 16711 . . . 4  |-  ( C  e.  V  ->  (
x  e.  ( topGen `  C )  <->  x  C_  U. ( C  i^i  ~P x ) ) )
1211adantr 451 . . 3  |-  ( ( C  e.  V  /\  B  C_  C )  -> 
( x  e.  (
topGen `  C )  <->  x  C_  U. ( C  i^i  ~P x ) ) )
136, 10, 123imtr4d 259 . 2  |-  ( ( C  e.  V  /\  B  C_  C )  -> 
( x  e.  (
topGen `  B )  ->  x  e.  ( topGen `  C ) ) )
1413ssrdv 3198 1  |-  ( ( C  e.  V  /\  B  C_  C )  -> 
( topGen `  B )  C_  ( topGen `  C )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    e. wcel 1696   _Vcvv 2801    i^i cin 3164    C_ wss 3165   ~Pcpw 3638   U.cuni 3843   ` cfv 5271   topGenctg 13358
This theorem is referenced by:  tgidm  16734  tgss3  16740  basgen  16742  2basgen  16744  tgfiss  16745  bastop1  16747  lecldbas  16965  txss12  17316  xrtgioo  18328
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fv 5279  df-topgen 13360
  Copyright terms: Public domain W3C validator