MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tgss Unicode version

Theorem tgss 16949
Description: Subset relation for generated topologies. (Contributed by NM, 7-May-2007.)
Assertion
Ref Expression
tgss  |-  ( ( C  e.  V  /\  B  C_  C )  -> 
( topGen `  B )  C_  ( topGen `  C )
)

Proof of Theorem tgss
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssrin 3502 . . . . . 6  |-  ( B 
C_  C  ->  ( B  i^i  ~P x ) 
C_  ( C  i^i  ~P x ) )
21unissd 3974 . . . . 5  |-  ( B 
C_  C  ->  U. ( B  i^i  ~P x ) 
C_  U. ( C  i^i  ~P x ) )
3 sstr2 3291 . . . . 5  |-  ( x 
C_  U. ( B  i^i  ~P x )  ->  ( U. ( B  i^i  ~P x )  C_  U. ( C  i^i  ~P x )  ->  x  C_  U. ( C  i^i  ~P x ) ) )
42, 3syl5com 28 . . . 4  |-  ( B 
C_  C  ->  (
x  C_  U. ( B  i^i  ~P x )  ->  x  C_  U. ( C  i^i  ~P x ) ) )
54adantl 453 . . 3  |-  ( ( C  e.  V  /\  B  C_  C )  -> 
( x  C_  U. ( B  i^i  ~P x )  ->  x  C_  U. ( C  i^i  ~P x ) ) )
6 ssexg 4283 . . . . 5  |-  ( ( B  C_  C  /\  C  e.  V )  ->  B  e.  _V )
76ancoms 440 . . . 4  |-  ( ( C  e.  V  /\  B  C_  C )  ->  B  e.  _V )
8 eltg 16938 . . . 4  |-  ( B  e.  _V  ->  (
x  e.  ( topGen `  B )  <->  x  C_  U. ( B  i^i  ~P x ) ) )
97, 8syl 16 . . 3  |-  ( ( C  e.  V  /\  B  C_  C )  -> 
( x  e.  (
topGen `  B )  <->  x  C_  U. ( B  i^i  ~P x ) ) )
10 eltg 16938 . . . 4  |-  ( C  e.  V  ->  (
x  e.  ( topGen `  C )  <->  x  C_  U. ( C  i^i  ~P x ) ) )
1110adantr 452 . . 3  |-  ( ( C  e.  V  /\  B  C_  C )  -> 
( x  e.  (
topGen `  C )  <->  x  C_  U. ( C  i^i  ~P x ) ) )
125, 9, 113imtr4d 260 . 2  |-  ( ( C  e.  V  /\  B  C_  C )  -> 
( x  e.  (
topGen `  B )  ->  x  e.  ( topGen `  C ) ) )
1312ssrdv 3290 1  |-  ( ( C  e.  V  /\  B  C_  C )  -> 
( topGen `  B )  C_  ( topGen `  C )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    e. wcel 1717   _Vcvv 2892    i^i cin 3255    C_ wss 3256   ~Pcpw 3735   U.cuni 3950   ` cfv 5387   topGenctg 13585
This theorem is referenced by:  tgidm  16961  tgss3  16967  basgen  16969  2basgen  16971  tgfiss  16972  bastop1  16974  lecldbas  17198  txss12  17551  xrtgioo  18701
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2361  ax-sep 4264  ax-nul 4272  ax-pow 4311  ax-pr 4337  ax-un 4634
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2235  df-mo 2236  df-clab 2367  df-cleq 2373  df-clel 2376  df-nfc 2505  df-ne 2545  df-ral 2647  df-rex 2648  df-rab 2651  df-v 2894  df-sbc 3098  df-dif 3259  df-un 3261  df-in 3263  df-ss 3270  df-nul 3565  df-if 3676  df-pw 3737  df-sn 3756  df-pr 3757  df-op 3759  df-uni 3951  df-br 4147  df-opab 4201  df-mpt 4202  df-id 4432  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-iota 5351  df-fun 5389  df-fv 5395  df-topgen 13587
  Copyright terms: Public domain W3C validator