Theorem tgss3 17006

Description: A criterion for determining whether one topology is finer than another. Lemma 2.2 of [Munkres] p. 80 using abbreviations. (Contributed by NM, 20-Jul-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
tgss3	|- ( ( B e. V /\ C e. W ) -> ( ( topGen ` B ) C_ ( topGen ` C ) <-> B C_ ( topGen ` C ) ) )

Proof of Theorem tgss3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bastg 16986	. . . 4 |- ( B e. V -> B C_ ( topGen ` B ) )
2	1	adantr 452	. . 3 |- ( ( B e. V /\ C e. W ) -> B C_ ( topGen ` B ) )
3		sstr2 3315	. . 3 |- ( B C_ ( topGen ` B ) -> ( ( topGen ` B ) C_ ( topGen ` C ) -> B C_ ( topGen ` C ) ) )
4	2, 3	syl 16	. 2 |- ( ( B e. V /\ C e. W ) -> ( ( topGen ` B ) C_ ( topGen ` C ) -> B C_ ( topGen ` C ) ) )
5		fvex 5701	. . . 4 |- ( topGen ` C ) e. _V
6		tgss 16988	. . . 4 |- ( ( ( topGen ` C ) e. _V /\ B C_ ( topGen ` C ) ) -> ( topGen ` B ) C_ ( topGen ` ( topGen ` C ) ) )
7	5, 6	mpan 652	. . 3 |- ( B C_ ( topGen ` C ) -> ( topGen ` B ) C_ ( topGen ` ( topGen ` C ) ) )
8		tgidm 17000	. . . . 5 |- ( C e. W -> ( topGen ` ( topGen ` C ) ) = ( topGen ` C ) )
9	8	adantl 453	. . . 4 |- ( ( B e. V /\ C e. W ) -> ( topGen ` ( topGen ` C ) ) = ( topGen ` C ) )
10	9	sseq2d 3336	. . 3 |- ( ( B e. V /\ C e. W ) -> ( ( topGen ` B ) C_ ( topGen ` ( topGen ` C ) ) <-> ( topGen ` B ) C_ ( topGen ` C ) ) )
11	7, 10	syl5ib 211	. 2 |- ( ( B e. V /\ C e. W ) -> ( B C_ ( topGen ` C ) -> ( topGen ` B ) C_ ( topGen ` C ) ) )
12	4, 11	impbid 184	1 |- ( ( B e. V /\ C e. W ) -> ( ( topGen ` B ) C_ ( topGen ` C ) <-> B C_ ( topGen ` C ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 177   /\ wa 359   = wceq 1649   e. wcel 1721   _Vcvv 2916   C_ wss 3280   ` cfv 5413   topGenctg 13620

This theorem is referenced by:  tgss2  17007  2basgen  17010  isfne4b  26240

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fv 5421  df-topgen 13622