MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tgss3 Unicode version

Theorem tgss3 16830
Description: A criterion for determining whether one topology is finer than another. Lemma 2.2 of [Munkres] p. 80 using abbreviations. (Contributed by NM, 20-Jul-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
tgss3  |-  ( ( B  e.  V  /\  C  e.  W )  ->  ( ( topGen `  B
)  C_  ( topGen `  C )  <->  B  C_  ( topGen `
 C ) ) )

Proof of Theorem tgss3
StepHypRef Expression
1 bastg 16810 . . . 4  |-  ( B  e.  V  ->  B  C_  ( topGen `  B )
)
21adantr 451 . . 3  |-  ( ( B  e.  V  /\  C  e.  W )  ->  B  C_  ( topGen `  B ) )
3 sstr2 3262 . . 3  |-  ( B 
C_  ( topGen `  B
)  ->  ( ( topGen `
 B )  C_  ( topGen `  C )  ->  B  C_  ( topGen `  C ) ) )
42, 3syl 15 . 2  |-  ( ( B  e.  V  /\  C  e.  W )  ->  ( ( topGen `  B
)  C_  ( topGen `  C )  ->  B  C_  ( topGen `  C )
) )
5 fvex 5622 . . . 4  |-  ( topGen `  C )  e.  _V
6 tgss 16812 . . . 4  |-  ( ( ( topGen `  C )  e.  _V  /\  B  C_  ( topGen `  C )
)  ->  ( topGen `  B )  C_  ( topGen `
 ( topGen `  C
) ) )
75, 6mpan 651 . . 3  |-  ( B 
C_  ( topGen `  C
)  ->  ( topGen `  B )  C_  ( topGen `
 ( topGen `  C
) ) )
8 tgidm 16824 . . . . 5  |-  ( C  e.  W  ->  ( topGen `
 ( topGen `  C
) )  =  (
topGen `  C ) )
98adantl 452 . . . 4  |-  ( ( B  e.  V  /\  C  e.  W )  ->  ( topGen `  ( topGen `  C ) )  =  ( topGen `  C )
)
109sseq2d 3282 . . 3  |-  ( ( B  e.  V  /\  C  e.  W )  ->  ( ( topGen `  B
)  C_  ( topGen `  ( topGen `  C )
)  <->  ( topGen `  B
)  C_  ( topGen `  C ) ) )
117, 10syl5ib 210 . 2  |-  ( ( B  e.  V  /\  C  e.  W )  ->  ( B  C_  ( topGen `
 C )  -> 
( topGen `  B )  C_  ( topGen `  C )
) )
124, 11impbid 183 1  |-  ( ( B  e.  V  /\  C  e.  W )  ->  ( ( topGen `  B
)  C_  ( topGen `  C )  <->  B  C_  ( topGen `
 C ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1642    e. wcel 1710   _Vcvv 2864    C_ wss 3228   ` cfv 5337   topGenctg 13441
This theorem is referenced by:  tgss2  16831  2basgen  16834  isfne4b  25594
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-sep 4222  ax-nul 4230  ax-pow 4269  ax-pr 4295  ax-un 4594
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-ral 2624  df-rex 2625  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-op 3725  df-uni 3909  df-iun 3988  df-br 4105  df-opab 4159  df-mpt 4160  df-id 4391  df-xp 4777  df-rel 4778  df-cnv 4779  df-co 4780  df-dm 4781  df-iota 5301  df-fun 5339  df-fv 5345  df-topgen 13443
  Copyright terms: Public domain W3C validator