MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tgtop11 Structured version   Unicode version

Theorem tgtop11 17049
Description: The topology generation function is one-to-one when applied to completed topologies. (Contributed by NM, 18-Jul-2006.)
Assertion
Ref Expression
tgtop11  |-  ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  ( topGen `
 J )  =  ( topGen `  K )
)  ->  J  =  K )

Proof of Theorem tgtop11
StepHypRef Expression
1 tgtop 17040 . . 3  |-  ( J  e.  Top  ->  ( topGen `
 J )  =  J )
2 tgtop 17040 . . 3  |-  ( K  e.  Top  ->  ( topGen `
 K )  =  K )
31, 2eqeqan12d 2453 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  ->  ( ( topGen `  J
)  =  ( topGen `  K )  <->  J  =  K ) )
43biimp3a 1284 1  |-  ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  ( topGen `
 J )  =  ( topGen `  K )
)  ->  J  =  K )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726   ` cfv 5456   topGenctg 13667   Topctop 16960
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-id 4500  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fv 5464  df-topgen 13669  df-top 16965
  Copyright terms: Public domain W3C validator