MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tgtopon Structured version   Unicode version

Theorem tgtopon 17028
Description: A basis generates a topology on  U. B. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
tgtopon  |-  ( B  e.  TopBases  ->  ( topGen `  B
)  e.  (TopOn `  U. B ) )

Proof of Theorem tgtopon
StepHypRef Expression
1 tgcl 17026 . 2  |-  ( B  e.  TopBases  ->  ( topGen `  B
)  e.  Top )
2 unitg 17024 . . 3  |-  ( B  e.  TopBases  ->  U. ( topGen `  B
)  =  U. B
)
32eqcomd 2440 . 2  |-  ( B  e.  TopBases  ->  U. B  =  U. ( topGen `  B )
)
4 istopon 16982 . 2  |-  ( (
topGen `  B )  e.  (TopOn `  U. B )  <-> 
( ( topGen `  B
)  e.  Top  /\  U. B  =  U. ( topGen `
 B ) ) )
51, 3, 4sylanbrc 646 1  |-  ( B  e.  TopBases  ->  ( topGen `  B
)  e.  (TopOn `  U. B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1652    e. wcel 1725   U.cuni 4007   ` cfv 5446   topGenctg 13657   Topctop 16950  TopOnctopon 16951   TopBasesctb 16954
This theorem is referenced by:  ordttopon  17249  tgqtop  17736  alexsublem  18067  alexsub  18068  mopntopon  18461  topjoin  26385
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fv 5454  df-topgen 13659  df-top 16955  df-bases 16957  df-topon 16958
  Copyright terms: Public domain W3C validator