Theorem tgval2t 7617

Description: Definition of a topology generated by a basis in [Munkres] p. 78. Later we show (in tgclt 7624) that (topGen` B) is indeed a topology (on U.B; see unitgt 7623).

Assertion

Ref	Expression
tgval2t	|- (B e. Bases -> (topGen` B) = {x | (x (_ U.B /\ A.y e. x E.z e. B (y e. z /\ z (_ x))})

Distinct variable group:   x,y,z,B

Proof of Theorem tgval2t

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tgvalt 7616	. 2 |- (B e. Bases -> (topGen` B) = {x | x (_ U.(B i^i P~x)})
2		dfss3 2059	. . . . 5 |- (x (_ U.(B i^i P~x) <-> A.y e. x y e. U.(B i^i P~x))
3		inss1 2230	. . . . . . . . 9 |- (B i^i P~x) (_ B
4		uniss 2521	. . . . . . . . 9 |- ((B i^i P~x) (_ B -> U.(B i^i P~x) (_ U.B)
5	3, 4	ax-mp 7	. . . . . . . 8 |- U.(B i^i P~x) (_ U.B
6	5	sseli 2065	. . . . . . 7 |- (y e. U.(B i^i P~x) -> y e. U.B)
7	6	pm4.71ri 638	. . . . . 6 |- (y e. U.(B i^i P~x) <-> (y e. U.B /\ y e. U.(B i^i P~x)))
8	7	ralbii 1667	. . . . 5 |- (A.y e. x y e. U.(B i^i P~x) <-> A.y e. x (y e. U.B /\ y e. U.(B i^i P~x)))
9		r19.26 1750	. . . . 5 |- (A.y e. x (y e. U.B /\ y e. U.(B i^i P~x)) <-> (A.y e. x y e. U.B /\ A.y e. x y e. U.(B i^i P~x)))
10	2, 8, 9	3bitr 177	. . . 4 |- (x (_ U.(B i^i P~x) <-> (A.y e. x y e. U.B /\ A.y e. x y e. U.(B i^i P~x)))
11		dfss3 2059	. . . . 5 |- (x (_ U.B <-> A.y e. x y e. U.B)
12		elin 2207	. . . . . . . . . . 11 |- (z e. (B i^i P~x) <-> (z e. B /\ z e. P~x))
13	12	anbi2i 480	. . . . . . . . . 10 |- ((y e. z /\ z e. (B i^i P~x)) <-> (y e. z /\ (z e. B /\ z e. P~x)))
14		an12 484	. . . . . . . . . 10 |- ((y e. z /\ (z e. B /\ z e. P~x)) <-> (z e. B /\ (y e. z /\ z e. P~x)))
15	13, 14	bitr 173	. . . . . . . . 9 |- ((y e. z /\ z e. (B i^i P~x)) <-> (z e. B /\ (y e. z /\ z e. P~x)))
16	15	exbii 1051	. . . . . . . 8 |- (E.z(y e. z /\ z e. (B i^i P~x)) <-> E.z(z e. B /\ (y e. z /\ z e. P~x)))
17		eluni 2506	. . . . . . . 8 |- (y e. U.(B i^i P~x) <-> E.z(y e. z /\ z e. (B i^i P~x)))
18		df-rex 1650	. . . . . . . 8 |- (E.z e. B (y e. z /\ z e. P~x) <-> E.z(z e. B /\ (y e. z /\ z e. P~x)))
19	16, 17, 18	3bitr4 183	. . . . . . 7 |- (y e. U.(B i^i P~x) <-> E.z e. B (y e. z /\ z e. P~x))
20		visset 1813	. . . . . . . . . 10 |- z e. V
21	20	elpw 2404	. . . . . . . . 9 |- (z e. P~x <-> z (_ x)
22	21	anbi2i 480	. . . . . . . 8 |- ((y e. z /\ z e. P~x) <-> (y e. z /\ z (_ x))
23	22	rexbii 1668	. . . . . . 7 |- (E.z e. B (y e. z /\ z e. P~x) <-> E.z e. B (y e. z /\ z (_ x))
24	19, 23	bitr2 174	. . . . . 6 |- (E.z e. B (y e. z /\ z (_ x) <-> y e. U.(B i^i P~x))
25	24	ralbii 1667	. . . . 5 |- (A.y e. x E.z e. B (y e. z /\ z (_ x) <-> A.y e. x y e. U.(B i^i P~x))
26	11, 25	anbi12i 482	. . . 4 |- ((x (_ U.B /\ A.y e. x E.z e. B (y e. z /\ z (_ x)) <-> (A.y e. x y e. U.B /\ A.y e. x y e. U.(B i^i P~x)))
27	10, 26	bitr4 176	. . 3 |- (x (_ U.(B i^i P~x) <-> (x (_ U.B /\ A.y e. x E.z e. B (y e. z /\ z (_ x)))
28	27	abbii 1575	. 2 |- {x | x (_ U.(B i^i P~x)} = {x | (x (_ U.B /\ A.y e. x E.z e. B (y e. z /\ z (_ x))}
29	1, 28	syl6eq 1523	1 |- (B e. Bases -> (topGen` B) = {x | (x (_ U.B /\ A.y e. x E.z e. B (y e. z /\ z (_ x))})

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958  E.wex 980  {cab 1463  A.wral 1645  E.wrex 1646   i^i cin 2046   (_ wss 2047  P~cpw 2401  U.cuni 2503  ` cfv 3182  Basesctb 7590  topGenctg 7591

This theorem is referenced by:  eltg2t 7619

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-rab 1652  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-uni 2504  df-br 2620  df-opab 2667  df-id 2835  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fv 3198  df-topgen 7595

Copyright terms: Public domain