MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  thlbas Unicode version

Theorem thlbas 16596
Description: Base set of the Hilbert lattice of closed subspaces. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
thlval.k  |-  K  =  (toHL `  W )
thlbas.c  |-  C  =  ( CSubSp `  W )
Assertion
Ref Expression
thlbas  |-  C  =  ( Base `  K
)

Proof of Theorem thlbas
StepHypRef Expression
1 thlval.k . . . . 5  |-  K  =  (toHL `  W )
2 thlbas.c . . . . 5  |-  C  =  ( CSubSp `  W )
3 eqid 2283 . . . . 5  |-  (toInc `  C )  =  (toInc `  C )
4 eqid 2283 . . . . 5  |-  ( ocv `  W )  =  ( ocv `  W )
51, 2, 3, 4thlval 16595 . . . 4  |-  ( W  e.  _V  ->  K  =  ( (toInc `  C ) sSet  <. ( oc
`  ndx ) ,  ( ocv `  W )
>. ) )
65fveq2d 5529 . . 3  |-  ( W  e.  _V  ->  ( Base `  K )  =  ( Base `  (
(toInc `  C ) sSet  <.
( oc `  ndx ) ,  ( ocv `  W ) >. )
) )
7 fvex 5539 . . . . . 6  |-  ( CSubSp `  W )  e.  _V
82, 7eqeltri 2353 . . . . 5  |-  C  e. 
_V
93ipobas 14258 . . . . 5  |-  ( C  e.  _V  ->  C  =  ( Base `  (toInc `  C ) ) )
108, 9ax-mp 8 . . . 4  |-  C  =  ( Base `  (toInc `  C ) )
11 baseid 13190 . . . . 5  |-  Base  = Slot  ( Base `  ndx )
12 1re 8837 . . . . . . 7  |-  1  e.  RR
13 1nn 9757 . . . . . . . 8  |-  1  e.  NN
14 1nn0 9981 . . . . . . . 8  |-  1  e.  NN0
15 1lt10 9930 . . . . . . . 8  |-  1  <  10
1613, 14, 14, 15declti 10149 . . . . . . 7  |-  1  < ; 1
1
1712, 16ltneii 8931 . . . . . 6  |-  1  =/= ; 1 1
18 basendx 13193 . . . . . . 7  |-  ( Base `  ndx )  =  1
19 ocndx 13307 . . . . . . 7  |-  ( oc
`  ndx )  = ; 1 1
2018, 19neeq12i 2458 . . . . . 6  |-  ( (
Base `  ndx )  =/=  ( oc `  ndx ) 
<->  1  =/= ; 1 1 )
2117, 20mpbir 200 . . . . 5  |-  ( Base `  ndx )  =/=  ( oc `  ndx )
2211, 21setsnid 13188 . . . 4  |-  ( Base `  (toInc `  C )
)  =  ( Base `  ( (toInc `  C
) sSet  <. ( oc `  ndx ) ,  ( ocv `  W ) >. )
)
2310, 22eqtri 2303 . . 3  |-  C  =  ( Base `  (
(toInc `  C ) sSet  <.
( oc `  ndx ) ,  ( ocv `  W ) >. )
)
246, 23syl6reqr 2334 . 2  |-  ( W  e.  _V  ->  C  =  ( Base `  K
) )
25 base0 13185 . . 3  |-  (/)  =  (
Base `  (/) )
26 fvprc 5519 . . . 4  |-  ( -.  W  e.  _V  ->  (
CSubSp `  W )  =  (/) )
272, 26syl5eq 2327 . . 3  |-  ( -.  W  e.  _V  ->  C  =  (/) )
28 fvprc 5519 . . . . 5  |-  ( -.  W  e.  _V  ->  (toHL `  W )  =  (/) )
291, 28syl5eq 2327 . . . 4  |-  ( -.  W  e.  _V  ->  K  =  (/) )
3029fveq2d 5529 . . 3  |-  ( -.  W  e.  _V  ->  (
Base `  K )  =  ( Base `  (/) ) )
3125, 27, 303eqtr4a 2341 . 2  |-  ( -.  W  e.  _V  ->  C  =  ( Base `  K
) )
3224, 31pm2.61i 156 1  |-  C  =  ( Base `  K
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   _Vcvv 2788   (/)c0 3455   <.cop 3643   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   1c1 8738  ;cdc 10124   ndxcnx 13145   sSet csts 13146   Basecbs 13148   occoc 13216  toInccipo 14254   ocvcocv 16560   CSubSpccss 16561  toHLcthl 16562
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-fz 10783  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ocomp 13229  df-ipo 14255  df-thl 16565
  Copyright terms: Public domain W3C validator