MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  thlle Structured version   Unicode version

Theorem thlle 16924
Description: Ordering on the Hilbert lattice of closed subspaces. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
thlval.k  |-  K  =  (toHL `  W )
thlbas.c  |-  C  =  ( CSubSp `  W )
thlle.i  |-  I  =  (toInc `  C )
thlle.l  |-  .<_  =  ( le `  I )
Assertion
Ref Expression
thlle  |-  .<_  =  ( le `  K )

Proof of Theorem thlle
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 thlval.k . . . . 5  |-  K  =  (toHL `  W )
2 thlbas.c . . . . 5  |-  C  =  ( CSubSp `  W )
3 thlle.i . . . . 5  |-  I  =  (toInc `  C )
4 eqid 2436 . . . . 5  |-  ( ocv `  W )  =  ( ocv `  W )
51, 2, 3, 4thlval 16922 . . . 4  |-  ( W  e.  _V  ->  K  =  ( I sSet  <. ( oc `  ndx ) ,  ( ocv `  W
) >. ) )
65fveq2d 5732 . . 3  |-  ( W  e.  _V  ->  ( le `  K )  =  ( le `  (
I sSet  <. ( oc `  ndx ) ,  ( ocv `  W ) >. )
) )
7 thlle.l . . . 4  |-  .<_  =  ( le `  I )
8 pleid 13622 . . . . 5  |-  le  = Slot  ( le `  ndx )
9 10re 10080 . . . . . . 7  |-  10  e.  RR
10 dec10 10412 . . . . . . . 8  |-  10  = ; 1 0
11 1nn0 10237 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  NN0
12 0nn0 10236 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  NN0
13 1nn 10011 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  NN
14 0lt1 9550 . . . . . . . . 9  |-  0  <  1
1511, 12, 13, 14declt 10403 . . . . . . . 8  |- ; 1 0  < ; 1 1
1610, 15eqbrtri 4231 . . . . . . 7  |-  10  < ; 1 1
179, 16ltneii 9186 . . . . . 6  |-  10  =/= ; 1 1
18 plendx 13621 . . . . . . 7  |-  ( le
`  ndx )  =  10
19 ocndx 13628 . . . . . . 7  |-  ( oc
`  ndx )  = ; 1 1
2018, 19neeq12i 2613 . . . . . 6  |-  ( ( le `  ndx )  =/=  ( oc `  ndx ) 
<->  10  =/= ; 1 1 )
2117, 20mpbir 201 . . . . 5  |-  ( le
`  ndx )  =/=  ( oc `  ndx )
228, 21setsnid 13509 . . . 4  |-  ( le
`  I )  =  ( le `  (
I sSet  <. ( oc `  ndx ) ,  ( ocv `  W ) >. )
)
237, 22eqtri 2456 . . 3  |-  .<_  =  ( le `  ( I sSet  <. ( oc `  ndx ) ,  ( ocv `  W ) >. )
)
246, 23syl6reqr 2487 . 2  |-  ( W  e.  _V  ->  .<_  =  ( le `  K
) )
258str0 13505 . . 3  |-  (/)  =  ( le `  (/) )
26 fvex 5742 . . . . . . 7  |-  ( CSubSp `  W )  e.  _V
272, 26eqeltri 2506 . . . . . 6  |-  C  e. 
_V
283ipolerval 14582 . . . . . 6  |-  ( C  e.  _V  ->  { <. x ,  y >.  |  ( { x ,  y }  C_  C  /\  x  C_  y ) }  =  ( le `  I ) )
2927, 28ax-mp 8 . . . . 5  |-  { <. x ,  y >.  |  ( { x ,  y }  C_  C  /\  x  C_  y ) }  =  ( le `  I )
307, 29eqtr4i 2459 . . . 4  |-  .<_  =  { <. x ,  y >.  |  ( { x ,  y }  C_  C  /\  x  C_  y
) }
31 opabn0 4485 . . . . . 6  |-  ( {
<. x ,  y >.  |  ( { x ,  y }  C_  C  /\  x  C_  y
) }  =/=  (/)  <->  E. x E. y ( { x ,  y }  C_  C  /\  x  C_  y
) )
32 vex 2959 . . . . . . . . 9  |-  x  e. 
_V
33 vex 2959 . . . . . . . . 9  |-  y  e. 
_V
3432, 33prss 3952 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  C  /\  y  e.  C )  <->  { x ,  y } 
C_  C )
35 elfvex 5758 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( CSubSp `  W
)  ->  W  e.  _V )
3635, 2eleq2s 2528 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  C  ->  W  e.  _V )
3736ad2antrr 707 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  C  /\  y  e.  C
)  /\  x  C_  y
)  ->  W  e.  _V )
3834, 37sylanbr 460 . . . . . . 7  |-  ( ( { x ,  y }  C_  C  /\  x  C_  y )  ->  W  e.  _V )
3938exlimivv 1645 . . . . . 6  |-  ( E. x E. y ( { x ,  y }  C_  C  /\  x  C_  y )  ->  W  e.  _V )
4031, 39sylbi 188 . . . . 5  |-  ( {
<. x ,  y >.  |  ( { x ,  y }  C_  C  /\  x  C_  y
) }  =/=  (/)  ->  W  e.  _V )
4140necon1bi 2647 . . . 4  |-  ( -.  W  e.  _V  ->  {
<. x ,  y >.  |  ( { x ,  y }  C_  C  /\  x  C_  y
) }  =  (/) )
4230, 41syl5eq 2480 . . 3  |-  ( -.  W  e.  _V  ->  .<_  =  (/) )
43 fvprc 5722 . . . . 5  |-  ( -.  W  e.  _V  ->  (toHL `  W )  =  (/) )
441, 43syl5eq 2480 . . . 4  |-  ( -.  W  e.  _V  ->  K  =  (/) )
4544fveq2d 5732 . . 3  |-  ( -.  W  e.  _V  ->  ( le `  K )  =  ( le `  (/) ) )
4625, 42, 453eqtr4a 2494 . 2  |-  ( -.  W  e.  _V  ->  .<_  =  ( le `  K ) )
4724, 46pm2.61i 158 1  |-  .<_  =  ( le `  K )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    /\ wa 359   E.wex 1550    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2599   _Vcvv 2956    C_ wss 3320   (/)c0 3628   {cpr 3815   <.cop 3817   {copab 4265   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   0cc0 8990   1c1 8991    < clt 9120   10c10 10057  ;cdc 10382   ndxcnx 13466   sSet csts 13467   lecple 13536   occoc 13537  toInccipo 14577   ocvcocv 16887   CSubSpccss 16888  toHLcthl 16889
This theorem is referenced by:  thlleval  16925
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-oadd 6728  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-4 10060  df-5 10061  df-6 10062  df-7 10063  df-8 10064  df-9 10065  df-10 10066  df-n0 10222  df-z 10283  df-dec 10383  df-uz 10489  df-fz 11044  df-struct 13471  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-sets 13475  df-tset 13548  df-ple 13549  df-ocomp 13550  df-ipo 14578  df-thl 16892
  Copyright terms: Public domain W3C validator