MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  thlle Unicode version

Theorem thlle 16597
Description: Ordering on the Hilbert lattice of closed subspaces. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
thlval.k  |-  K  =  (toHL `  W )
thlbas.c  |-  C  =  ( CSubSp `  W )
thlle.i  |-  I  =  (toInc `  C )
thlle.l  |-  .<_  =  ( le `  I )
Assertion
Ref Expression
thlle  |-  .<_  =  ( le `  K )

Proof of Theorem thlle
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 thlval.k . . . . 5  |-  K  =  (toHL `  W )
2 thlbas.c . . . . 5  |-  C  =  ( CSubSp `  W )
3 thlle.i . . . . 5  |-  I  =  (toInc `  C )
4 eqid 2283 . . . . 5  |-  ( ocv `  W )  =  ( ocv `  W )
51, 2, 3, 4thlval 16595 . . . 4  |-  ( W  e.  _V  ->  K  =  ( I sSet  <. ( oc `  ndx ) ,  ( ocv `  W
) >. ) )
65fveq2d 5529 . . 3  |-  ( W  e.  _V  ->  ( le `  K )  =  ( le `  (
I sSet  <. ( oc `  ndx ) ,  ( ocv `  W ) >. )
) )
7 thlle.l . . . 4  |-  .<_  =  ( le `  I )
8 pleid 13301 . . . . 5  |-  le  = Slot  ( le `  ndx )
9 10re 9826 . . . . . . 7  |-  10  e.  RR
10 dec10 10154 . . . . . . . 8  |-  10  = ; 1 0
11 1nn0 9981 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  NN0
12 0nn0 9980 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  NN0
13 1nn 9757 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  NN
14 0lt1 9296 . . . . . . . . 9  |-  0  <  1
1511, 12, 13, 14declt 10145 . . . . . . . 8  |- ; 1 0  < ; 1 1
1610, 15eqbrtri 4042 . . . . . . 7  |-  10  < ; 1 1
179, 16ltneii 8931 . . . . . 6  |-  10  =/= ; 1 1
18 plendx 13300 . . . . . . 7  |-  ( le
`  ndx )  =  10
19 ocndx 13307 . . . . . . 7  |-  ( oc
`  ndx )  = ; 1 1
2018, 19neeq12i 2458 . . . . . 6  |-  ( ( le `  ndx )  =/=  ( oc `  ndx ) 
<->  10  =/= ; 1 1 )
2117, 20mpbir 200 . . . . 5  |-  ( le
`  ndx )  =/=  ( oc `  ndx )
228, 21setsnid 13188 . . . 4  |-  ( le
`  I )  =  ( le `  (
I sSet  <. ( oc `  ndx ) ,  ( ocv `  W ) >. )
)
237, 22eqtri 2303 . . 3  |-  .<_  =  ( le `  ( I sSet  <. ( oc `  ndx ) ,  ( ocv `  W ) >. )
)
246, 23syl6reqr 2334 . 2  |-  ( W  e.  _V  ->  .<_  =  ( le `  K
) )
258str0 13184 . . 3  |-  (/)  =  ( le `  (/) )
26 fvex 5539 . . . . . . 7  |-  ( CSubSp `  W )  e.  _V
272, 26eqeltri 2353 . . . . . 6  |-  C  e. 
_V
283ipolerval 14259 . . . . . 6  |-  ( C  e.  _V  ->  { <. x ,  y >.  |  ( { x ,  y }  C_  C  /\  x  C_  y ) }  =  ( le `  I ) )
2927, 28ax-mp 8 . . . . 5  |-  { <. x ,  y >.  |  ( { x ,  y }  C_  C  /\  x  C_  y ) }  =  ( le `  I )
307, 29eqtr4i 2306 . . . 4  |-  .<_  =  { <. x ,  y >.  |  ( { x ,  y }  C_  C  /\  x  C_  y
) }
31 opabn0 4295 . . . . . 6  |-  ( {
<. x ,  y >.  |  ( { x ,  y }  C_  C  /\  x  C_  y
) }  =/=  (/)  <->  E. x E. y ( { x ,  y }  C_  C  /\  x  C_  y
) )
32 vex 2791 . . . . . . . . 9  |-  x  e. 
_V
33 vex 2791 . . . . . . . . 9  |-  y  e. 
_V
3432, 33prss 3769 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  C  /\  y  e.  C )  <->  { x ,  y } 
C_  C )
35 elfvex 5555 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( CSubSp `  W
)  ->  W  e.  _V )
3635, 2eleq2s 2375 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  C  ->  W  e.  _V )
3736ad2antrr 706 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  C  /\  y  e.  C
)  /\  x  C_  y
)  ->  W  e.  _V )
3834, 37sylanbr 459 . . . . . . 7  |-  ( ( { x ,  y }  C_  C  /\  x  C_  y )  ->  W  e.  _V )
3938exlimivv 1667 . . . . . 6  |-  ( E. x E. y ( { x ,  y }  C_  C  /\  x  C_  y )  ->  W  e.  _V )
4031, 39sylbi 187 . . . . 5  |-  ( {
<. x ,  y >.  |  ( { x ,  y }  C_  C  /\  x  C_  y
) }  =/=  (/)  ->  W  e.  _V )
4140necon1bi 2489 . . . 4  |-  ( -.  W  e.  _V  ->  {
<. x ,  y >.  |  ( { x ,  y }  C_  C  /\  x  C_  y
) }  =  (/) )
4230, 41syl5eq 2327 . . 3  |-  ( -.  W  e.  _V  ->  .<_  =  (/) )
43 fvprc 5519 . . . . 5  |-  ( -.  W  e.  _V  ->  (toHL `  W )  =  (/) )
441, 43syl5eq 2327 . . . 4  |-  ( -.  W  e.  _V  ->  K  =  (/) )
4544fveq2d 5529 . . 3  |-  ( -.  W  e.  _V  ->  ( le `  K )  =  ( le `  (/) ) )
4625, 42, 453eqtr4a 2341 . 2  |-  ( -.  W  e.  _V  ->  .<_  =  ( le `  K ) )
4724, 46pm2.61i 156 1  |-  .<_  =  ( le `  K )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    /\ wa 358   E.wex 1528    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   _Vcvv 2788    C_ wss 3152   (/)c0 3455   {cpr 3641   <.cop 3643   {copab 4076   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   0cc0 8737   1c1 8738    < clt 8867   10c10 9803  ;cdc 10124   ndxcnx 13145   sSet csts 13146   lecple 13215   occoc 13216  toInccipo 14254   ocvcocv 16560   CSubSpccss 16561  toHLcthl 16562
This theorem is referenced by:  thlleval  16598
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-fz 10783  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ocomp 13229  df-ipo 14255  df-thl 16565
  Copyright terms: Public domain W3C validator