MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  thloc Unicode version

Theorem thloc 16615
Description: Orthocomplement on the Hilbert lattice of closed subspaces. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
thlval.k  |-  K  =  (toHL `  W )
thloc.c  |-  ._|_  =  ( ocv `  W )
Assertion
Ref Expression
thloc  |-  ._|_  =  ( oc `  K )

Proof of Theorem thloc
StepHypRef Expression
1 thlval.k . . . . 5  |-  K  =  (toHL `  W )
2 eqid 2296 . . . . 5  |-  ( CSubSp `  W )  =  (
CSubSp `  W )
3 eqid 2296 . . . . 5  |-  (toInc `  ( CSubSp `  W )
)  =  (toInc `  ( CSubSp `  W )
)
4 thloc.c . . . . 5  |-  ._|_  =  ( ocv `  W )
51, 2, 3, 4thlval 16611 . . . 4  |-  ( W  e.  _V  ->  K  =  ( (toInc `  ( CSubSp `  W )
) sSet  <. ( oc `  ndx ) ,  ._|_  >. )
)
65fveq2d 5545 . . 3  |-  ( W  e.  _V  ->  ( oc `  K )  =  ( oc `  (
(toInc `  ( CSubSp `  W ) ) sSet  <. ( oc `  ndx ) ,  ._|_  >. ) ) )
7 fvex 5555 . . . 4  |-  (toInc `  ( CSubSp `  W )
)  e.  _V
8 fvex 5555 . . . . 5  |-  ( ocv `  W )  e.  _V
94, 8eqeltri 2366 . . . 4  |-  ._|_  e.  _V
10 ocid 13324 . . . . 5  |-  oc  = Slot  ( oc `  ndx )
1110setsid 13203 . . . 4  |-  ( ( (toInc `  ( CSubSp `  W ) )  e. 
_V  /\  ._|_  e.  _V )  ->  ._|_  =  ( oc
`  ( (toInc `  ( CSubSp `  W )
) sSet  <. ( oc `  ndx ) ,  ._|_  >. )
) )
127, 9, 11mp2an 653 . . 3  |-  ._|_  =  ( oc `  ( (toInc `  ( CSubSp `  W )
) sSet  <. ( oc `  ndx ) ,  ._|_  >. )
)
136, 12syl6reqr 2347 . 2  |-  ( W  e.  _V  ->  ._|_  =  ( oc `  K ) )
1410str0 13200 . . 3  |-  (/)  =  ( oc `  (/) )
15 fvprc 5535 . . . 4  |-  ( -.  W  e.  _V  ->  ( ocv `  W )  =  (/) )
164, 15syl5eq 2340 . . 3  |-  ( -.  W  e.  _V  ->  ._|_ 
=  (/) )
17 fvprc 5535 . . . . 5  |-  ( -.  W  e.  _V  ->  (toHL `  W )  =  (/) )
181, 17syl5eq 2340 . . . 4  |-  ( -.  W  e.  _V  ->  K  =  (/) )
1918fveq2d 5545 . . 3  |-  ( -.  W  e.  _V  ->  ( oc `  K )  =  ( oc `  (/) ) )
2014, 16, 193eqtr4a 2354 . 2  |-  ( -.  W  e.  _V  ->  ._|_ 
=  ( oc `  K ) )
2113, 20pm2.61i 156 1  |-  ._|_  =  ( oc `  K )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    = wceq 1632    e. wcel 1696   _Vcvv 2801   (/)c0 3468   <.cop 3656   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   ndxcnx 13161   sSet csts 13162   occoc 13232  toInccipo 14270   ocvcocv 16576   CSubSpccss 16577  toHLcthl 16578
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-ltxr 8888  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-dec 10141  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-sets 13170  df-ocomp 13245  df-thl 16581
  Copyright terms: Public domain W3C validator