MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tlmtgp Structured version   Unicode version

Theorem tlmtgp 18215
Description: A topological vector space is a topological group. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
tlmtgp  |-  ( W  e. TopMod  ->  W  e.  TopGrp )

Proof of Theorem tlmtgp
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tlmlmod 18208 . . 3  |-  ( W  e. TopMod  ->  W  e.  LMod )
2 lmodgrp 15947 . . 3  |-  ( W  e.  LMod  ->  W  e. 
Grp )
31, 2syl 16 . 2  |-  ( W  e. TopMod  ->  W  e.  Grp )
4 tlmtmd 18206 . 2  |-  ( W  e. TopMod  ->  W  e. TopMnd )
5 eqid 2435 . . . . . . 7  |-  ( Base `  W )  =  (
Base `  W )
6 eqid 2435 . . . . . . 7  |-  ( inv g `  W )  =  ( inv g `  W )
75, 6grpinvf 14839 . . . . . 6  |-  ( W  e.  Grp  ->  ( inv g `  W ) : ( Base `  W
) --> ( Base `  W
) )
83, 7syl 16 . . . . 5  |-  ( W  e. TopMod  ->  ( inv g `  W ) : (
Base `  W ) --> ( Base `  W )
)
98feqmptd 5771 . . . 4  |-  ( W  e. TopMod  ->  ( inv g `  W )  =  ( x  e.  ( Base `  W )  |->  ( ( inv g `  W
) `  x )
) )
10 eqid 2435 . . . . . . 7  |-  (Scalar `  W )  =  (Scalar `  W )
11 eqid 2435 . . . . . . 7  |-  ( .s
`  W )  =  ( .s `  W
)
12 eqid 2435 . . . . . . 7  |-  ( 1r
`  (Scalar `  W )
)  =  ( 1r
`  (Scalar `  W )
)
13 eqid 2435 . . . . . . 7  |-  ( inv g `  (Scalar `  W ) )  =  ( inv g `  (Scalar `  W ) )
145, 6, 10, 11, 12, 13lmodvneg1 15977 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  x  e.  ( Base `  W
) )  ->  (
( ( inv g `  (Scalar `  W )
) `  ( 1r `  (Scalar `  W )
) ) ( .s
`  W ) x )  =  ( ( inv g `  W
) `  x )
)
151, 14sylan 458 . . . . 5  |-  ( ( W  e. TopMod  /\  x  e.  ( Base `  W
) )  ->  (
( ( inv g `  (Scalar `  W )
) `  ( 1r `  (Scalar `  W )
) ) ( .s
`  W ) x )  =  ( ( inv g `  W
) `  x )
)
1615mpteq2dva 4287 . . . 4  |-  ( W  e. TopMod  ->  ( x  e.  ( Base `  W
)  |->  ( ( ( inv g `  (Scalar `  W ) ) `  ( 1r `  (Scalar `  W ) ) ) ( .s `  W
) x ) )  =  ( x  e.  ( Base `  W
)  |->  ( ( inv g `  W ) `
 x ) ) )
179, 16eqtr4d 2470 . . 3  |-  ( W  e. TopMod  ->  ( inv g `  W )  =  ( x  e.  ( Base `  W )  |->  ( ( ( inv g `  (Scalar `  W ) ) `
 ( 1r `  (Scalar `  W ) ) ) ( .s `  W ) x ) ) )
18 eqid 2435 . . . 4  |-  ( TopOpen `  W )  =  (
TopOpen `  W )
19 eqid 2435 . . . 4  |-  ( TopOpen `  (Scalar `  W ) )  =  ( TopOpen `  (Scalar `  W ) )
20 id 20 . . . 4  |-  ( W  e. TopMod  ->  W  e. TopMod )
21 tlmtps 18207 . . . . 5  |-  ( W  e. TopMod  ->  W  e.  TopSp )
225, 18istps 16991 . . . . 5  |-  ( W  e.  TopSp 
<->  ( TopOpen `  W )  e.  (TopOn `  ( Base `  W ) ) )
2321, 22sylib 189 . . . 4  |-  ( W  e. TopMod  ->  ( TopOpen `  W
)  e.  (TopOn `  ( Base `  W )
) )
2410tlmscatps 18210 . . . . . 6  |-  ( W  e. TopMod  ->  (Scalar `  W )  e.  TopSp )
25 eqid 2435 . . . . . . 7  |-  ( Base `  (Scalar `  W )
)  =  ( Base `  (Scalar `  W )
)
2625, 19istps 16991 . . . . . 6  |-  ( (Scalar `  W )  e.  TopSp  <->  ( TopOpen
`  (Scalar `  W )
)  e.  (TopOn `  ( Base `  (Scalar `  W
) ) ) )
2724, 26sylib 189 . . . . 5  |-  ( W  e. TopMod  ->  ( TopOpen `  (Scalar `  W ) )  e.  (TopOn `  ( Base `  (Scalar `  W )
) ) )
2810lmodrng 15948 . . . . . . . 8  |-  ( W  e.  LMod  ->  (Scalar `  W )  e.  Ring )
291, 28syl 16 . . . . . . 7  |-  ( W  e. TopMod  ->  (Scalar `  W )  e.  Ring )
30 rnggrp 15659 . . . . . . 7  |-  ( (Scalar `  W )  e.  Ring  -> 
(Scalar `  W )  e.  Grp )
3129, 30syl 16 . . . . . 6  |-  ( W  e. TopMod  ->  (Scalar `  W )  e.  Grp )
3225, 12rngidcl 15674 . . . . . . 7  |-  ( (Scalar `  W )  e.  Ring  -> 
( 1r `  (Scalar `  W ) )  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) ) )
3329, 32syl 16 . . . . . 6  |-  ( W  e. TopMod  ->  ( 1r `  (Scalar `  W ) )  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) ) )
3425, 13grpinvcl 14840 . . . . . 6  |-  ( ( (Scalar `  W )  e.  Grp  /\  ( 1r
`  (Scalar `  W )
)  e.  ( Base `  (Scalar `  W )
) )  ->  (
( inv g `  (Scalar `  W ) ) `
 ( 1r `  (Scalar `  W ) ) )  e.  ( Base `  (Scalar `  W )
) )
3531, 33, 34syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( W  e. TopMod  ->  ( ( inv g `  (Scalar `  W ) ) `  ( 1r `  (Scalar `  W ) ) )  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) ) )
3623, 27, 35cnmptc 17684 . . . 4  |-  ( W  e. TopMod  ->  ( x  e.  ( Base `  W
)  |->  ( ( inv g `  (Scalar `  W ) ) `  ( 1r `  (Scalar `  W ) ) ) )  e.  ( (
TopOpen `  W )  Cn  ( TopOpen `  (Scalar `  W
) ) ) )
3723cnmptid 17683 . . . 4  |-  ( W  e. TopMod  ->  ( x  e.  ( Base `  W
)  |->  x )  e.  ( ( TopOpen `  W
)  Cn  ( TopOpen `  W ) ) )
3810, 11, 18, 19, 20, 23, 36, 37cnmpt1vsca 18213 . . 3  |-  ( W  e. TopMod  ->  ( x  e.  ( Base `  W
)  |->  ( ( ( inv g `  (Scalar `  W ) ) `  ( 1r `  (Scalar `  W ) ) ) ( .s `  W
) x ) )  e.  ( ( TopOpen `  W )  Cn  ( TopOpen
`  W ) ) )
3917, 38eqeltrd 2509 . 2  |-  ( W  e. TopMod  ->  ( inv g `  W )  e.  ( ( TopOpen `  W )  Cn  ( TopOpen `  W )
) )
4018, 6istgp 18097 . 2  |-  ( W  e.  TopGrp 
<->  ( W  e.  Grp  /\  W  e. TopMnd  /\  ( inv g `  W )  e.  ( ( TopOpen `  W )  Cn  ( TopOpen
`  W ) ) ) )
413, 4, 39, 40syl3anbrc 1138 1  |-  ( W  e. TopMod  ->  W  e.  TopGrp )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1652    e. wcel 1725    e. cmpt 4258   -->wf 5442   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   Basecbs 13459  Scalarcsca 13522   .scvsca 13523   TopOpenctopn 13639   Grpcgrp 14675   inv gcminusg 14676   Ringcrg 15650   1rcur 15652   LModclmod 15940  TopOnctopon 16949   TopSpctps 16951    Cn ccn 17278  TopMndctmd 18090   TopGrpctgp 18091  TopModctlm 18177
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9036  ax-resscn 9037  ax-1cn 9038  ax-icn 9039  ax-addcl 9040  ax-addrcl 9041  ax-mulcl 9042  ax-mulrcl 9043  ax-mulcom 9044  ax-addass 9045  ax-mulass 9046  ax-distr 9047  ax-i2m1 9048  ax-1ne0 9049  ax-1rid 9050  ax-rnegex 9051  ax-rrecex 9052  ax-cnre 9053  ax-pre-lttri 9054  ax-pre-lttrn 9055  ax-pre-ltadd 9056  ax-pre-mulgt0 9057
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-er 6897  df-map 7012  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-pnf 9112  df-mnf 9113  df-xr 9114  df-ltxr 9115  df-le 9116  df-sub 9283  df-neg 9284  df-nn 9991  df-2 10048  df-ndx 13462  df-slot 13463  df-base 13464  df-sets 13465  df-plusg 13532  df-topgen 13657  df-0g 13717  df-mnd 14680  df-grp 14802  df-minusg 14803  df-mgp 15639  df-rng 15653  df-ur 15655  df-lmod 15942  df-scaf 15943  df-top 16953  df-bases 16955  df-topon 16956  df-topsp 16957  df-cn 17281  df-cnp 17282  df-tx 17584  df-tmd 18092  df-tgp 18093  df-trg 18179  df-tlm 18181
  Copyright terms: Public domain W3C validator