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Theorem tmdcn2 18121
Description: Write out the definition of continuity of  +g explicitly. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tmdcn2.1  |-  B  =  ( Base `  G
)
tmdcn2.2  |-  J  =  ( TopOpen `  G )
tmdcn2.3  |-  .+  =  ( +g  `  G )
Assertion
Ref Expression
tmdcn2  |-  ( ( ( G  e. TopMnd  /\  U  e.  J )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  ( X  .+  Y )  e.  U ) )  ->  E. u  e.  J  E. v  e.  J  ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  A. x  e.  u  A. y  e.  v 
( x  .+  y
)  e.  U ) )
Distinct variable groups:    v, u, x, y, G    u, J, v    u, U, v, x, y    u, X, v   
u, Y, v
Allowed substitution hints:    B( x, y, v, u)    .+ ( x, y, v, u)    J( x, y)    X( x, y)    Y( x, y)

Proof of Theorem tmdcn2
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tmdcn2.2 . . . . 5  |-  J  =  ( TopOpen `  G )
2 tmdcn2.1 . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  G
)
31, 2tmdtopon 18113 . . . 4  |-  ( G  e. TopMnd  ->  J  e.  (TopOn `  B ) )
43ad2antrr 708 . . 3  |-  ( ( ( G  e. TopMnd  /\  U  e.  J )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  ( X  .+  Y )  e.  U ) )  ->  J  e.  (TopOn `  B ) )
5 eqid 2438 . . . . . 6  |-  ( + f `  G )  =  ( + f `  G )
61, 5tmdcn 18115 . . . . 5  |-  ( G  e. TopMnd  ->  ( + f `  G )  e.  ( ( J  tX  J
)  Cn  J ) )
76ad2antrr 708 . . . 4  |-  ( ( ( G  e. TopMnd  /\  U  e.  J )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  ( X  .+  Y )  e.  U ) )  ->  ( + f `  G )  e.  ( ( J  tX  J
)  Cn  J ) )
8 simpr1 964 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e. TopMnd  /\  U  e.  J )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  ( X  .+  Y )  e.  U ) )  ->  X  e.  B
)
9 simpr2 965 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e. TopMnd  /\  U  e.  J )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  ( X  .+  Y )  e.  U ) )  ->  Y  e.  B
)
10 opelxpi 4912 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  -> 
<. X ,  Y >.  e.  ( B  X.  B
) )
118, 9, 10syl2anc 644 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e. TopMnd  /\  U  e.  J )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  ( X  .+  Y )  e.  U ) )  ->  <. X ,  Y >.  e.  ( B  X.  B ) )
12 txtopon 17625 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  B )  /\  J  e.  (TopOn `  B )
)  ->  ( J  tX  J )  e.  (TopOn `  ( B  X.  B
) ) )
134, 4, 12syl2anc 644 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e. TopMnd  /\  U  e.  J )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  ( X  .+  Y )  e.  U ) )  ->  ( J  tX  J )  e.  (TopOn `  ( B  X.  B
) ) )
14 toponuni 16994 . . . . . 6  |-  ( ( J  tX  J )  e.  (TopOn `  ( B  X.  B ) )  ->  ( B  X.  B )  =  U. ( J  tX  J ) )
1513, 14syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e. TopMnd  /\  U  e.  J )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  ( X  .+  Y )  e.  U ) )  ->  ( B  X.  B )  =  U. ( J  tX  J ) )
1611, 15eleqtrd 2514 . . . 4  |-  ( ( ( G  e. TopMnd  /\  U  e.  J )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  ( X  .+  Y )  e.  U ) )  ->  <. X ,  Y >.  e.  U. ( J 
tX  J ) )
17 eqid 2438 . . . . 5  |-  U. ( J  tX  J )  = 
U. ( J  tX  J )
1817cncnpi 17344 . . . 4  |-  ( ( ( + f `  G )  e.  ( ( J  tX  J
)  Cn  J )  /\  <. X ,  Y >.  e.  U. ( J 
tX  J ) )  ->  ( + f `  G )  e.  ( ( ( J  tX  J )  CnP  J
) `  <. X ,  Y >. ) )
197, 16, 18syl2anc 644 . . 3  |-  ( ( ( G  e. TopMnd  /\  U  e.  J )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  ( X  .+  Y )  e.  U ) )  ->  ( + f `  G )  e.  ( ( ( J  tX  J )  CnP  J
) `  <. X ,  Y >. ) )
20 simplr 733 . . 3  |-  ( ( ( G  e. TopMnd  /\  U  e.  J )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  ( X  .+  Y )  e.  U ) )  ->  U  e.  J
)
21 tmdcn2.3 . . . . . 6  |-  .+  =  ( +g  `  G )
222, 21, 5plusfval 14705 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X ( + f `  G ) Y )  =  ( X  .+  Y ) )
238, 9, 22syl2anc 644 . . . 4  |-  ( ( ( G  e. TopMnd  /\  U  e.  J )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  ( X  .+  Y )  e.  U ) )  ->  ( X ( + f `  G
) Y )  =  ( X  .+  Y
) )
24 simpr3 966 . . . 4  |-  ( ( ( G  e. TopMnd  /\  U  e.  J )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  ( X  .+  Y )  e.  U ) )  ->  ( X  .+  Y )  e.  U
)
2523, 24eqeltrd 2512 . . 3  |-  ( ( ( G  e. TopMnd  /\  U  e.  J )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  ( X  .+  Y )  e.  U ) )  ->  ( X ( + f `  G
) Y )  e.  U )
264, 4, 19, 20, 8, 9, 25txcnpi 17642 . 2  |-  ( ( ( G  e. TopMnd  /\  U  e.  J )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  ( X  .+  Y )  e.  U ) )  ->  E. u  e.  J  E. v  e.  J  ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  ( u  X.  v
)  C_  ( `' ( + f `  G
) " U ) ) )
27 dfss3 3340 . . . . . . 7  |-  ( ( u  X.  v ) 
C_  ( `' ( + f `  G
) " U )  <->  A. z  e.  (
u  X.  v ) z  e.  ( `' ( + f `  G ) " U
) )
28 eleq1 2498 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  ( z  e.  ( `' ( + f `  G )
" U )  <->  <. x ,  y >.  e.  ( `' ( + f `  G ) " U
) ) )
292, 5plusffn 14707 . . . . . . . . . 10  |-  ( + f `  G )  Fn  ( B  X.  B )
30 elpreima 5852 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( + f `  G
)  Fn  ( B  X.  B )  -> 
( <. x ,  y
>.  e.  ( `' ( + f `  G
) " U )  <-> 
( <. x ,  y
>.  e.  ( B  X.  B )  /\  (
( + f `  G ) `  <. x ,  y >. )  e.  U ) ) )
3129, 30ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ( `' ( + f `  G )
" U )  <->  ( <. x ,  y >.  e.  ( B  X.  B )  /\  ( ( + f `  G ) `
 <. x ,  y
>. )  e.  U
) )
3228, 31syl6bb 254 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  ( z  e.  ( `' ( + f `  G )
" U )  <->  ( <. x ,  y >.  e.  ( B  X.  B )  /\  ( ( + f `  G ) `
 <. x ,  y
>. )  e.  U
) ) )
3332ralxp 5018 . . . . . . 7  |-  ( A. z  e.  ( u  X.  v ) z  e.  ( `' ( + f `  G )
" U )  <->  A. x  e.  u  A. y  e.  v  ( <. x ,  y >.  e.  ( B  X.  B )  /\  ( ( + f `  G ) `
 <. x ,  y
>. )  e.  U
) )
3427, 33bitri 242 . . . . . 6  |-  ( ( u  X.  v ) 
C_  ( `' ( + f `  G
) " U )  <->  A. x  e.  u  A. y  e.  v 
( <. x ,  y
>.  e.  ( B  X.  B )  /\  (
( + f `  G ) `  <. x ,  y >. )  e.  U ) )
35 opelxp 4910 . . . . . . . . . . 11  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ( B  X.  B
)  <->  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )
36 df-ov 6086 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x ( + f `  G ) y )  =  ( ( + f `  G ) `
 <. x ,  y
>. )
372, 21, 5plusfval 14705 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  ( x ( + f `  G ) y )  =  ( x  .+  y ) )
3836, 37syl5eqr 2484 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  ( ( + f `  G ) `  <. x ,  y >. )  =  ( x  .+  y ) )
3935, 38sylbi 189 . . . . . . . . . 10  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ( B  X.  B
)  ->  ( ( + f `  G ) `
 <. x ,  y
>. )  =  (
x  .+  y )
)
4039eleq1d 2504 . . . . . . . . 9  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ( B  X.  B
)  ->  ( (
( + f `  G ) `  <. x ,  y >. )  e.  U  <->  ( x  .+  y )  e.  U
) )
4140biimpa 472 . . . . . . . 8  |-  ( (
<. x ,  y >.  e.  ( B  X.  B
)  /\  ( ( + f `  G ) `
 <. x ,  y
>. )  e.  U
)  ->  ( x  .+  y )  e.  U
)
4241ralimi 2783 . . . . . . 7  |-  ( A. y  e.  v  ( <. x ,  y >.  e.  ( B  X.  B
)  /\  ( ( + f `  G ) `
 <. x ,  y
>. )  e.  U
)  ->  A. y  e.  v  ( x  .+  y )  e.  U
)
4342ralimi 2783 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  u  A. y  e.  v  ( <. x ,  y >.  e.  ( B  X.  B
)  /\  ( ( + f `  G ) `
 <. x ,  y
>. )  e.  U
)  ->  A. x  e.  u  A. y  e.  v  ( x  .+  y )  e.  U
)
4434, 43sylbi 189 . . . . 5  |-  ( ( u  X.  v ) 
C_  ( `' ( + f `  G
) " U )  ->  A. x  e.  u  A. y  e.  v 
( x  .+  y
)  e.  U )
45443anim3i 1142 . . . 4  |-  ( ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  ( u  X.  v
)  C_  ( `' ( + f `  G
) " U ) )  ->  ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  A. x  e.  u  A. y  e.  v  ( x  .+  y )  e.  U
) )
4645reximi 2815 . . 3  |-  ( E. v  e.  J  ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  ( u  X.  v
)  C_  ( `' ( + f `  G
) " U ) )  ->  E. v  e.  J  ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  A. x  e.  u  A. y  e.  v  ( x  .+  y )  e.  U
) )
4746reximi 2815 . 2  |-  ( E. u  e.  J  E. v  e.  J  ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  ( u  X.  v
)  C_  ( `' ( + f `  G
) " U ) )  ->  E. u  e.  J  E. v  e.  J  ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  A. x  e.  u  A. y  e.  v  ( x  .+  y )  e.  U
) )
4826, 47syl 16 1  |-  ( ( ( G  e. TopMnd  /\  U  e.  J )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  ( X  .+  Y )  e.  U ) )  ->  E. u  e.  J  E. v  e.  J  ( X  e.  u  /\  Y  e.  v  /\  A. x  e.  u  A. y  e.  v 
( x  .+  y
)  e.  U ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726   A.wral 2707   E.wrex 2708    C_ wss 3322   <.cop 3819   U.cuni 4017    X. cxp 4878   `'ccnv 4879   "cima 4883    Fn wfn 5451   ` cfv 5456  (class class class)co 6083   Basecbs 13471   +g cplusg 13531   TopOpenctopn 13651   + fcplusf 14689  TopOnctopon 16961    Cn ccn 17290    CnP ccnp 17291    tX ctx 17594  TopMndctmd 18102
This theorem is referenced by:  tsmsxp  18186
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-id 4500  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-map 7022  df-topgen 13669  df-plusf 14693  df-top 16965  df-bases 16967  df-topon 16968  df-topsp 16969  df-cn 17293  df-cnp 17294  df-tx 17596  df-tmd 18104
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