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Theorem tmdgsum 17778
Description: In a topological monoid, the group sum operation is a continuous function from the function space to the base topology. This theorem is not true when  A is infinite, because in this case for any basic open set of the domain one of the factors will be the whole space, so by varying the value of the functions to sum at this index, one can achieve any desired sum. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tmdgsum.j  |-  J  =  ( TopOpen `  G )
tmdgsum.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
Assertion
Ref Expression
tmdgsum  |-  ( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd  /\  A  e.  Fin )  ->  ( x  e.  ( B  ^m  A
)  |->  ( G  gsumg  x ) )  e.  ( ( J  ^ k o  ~P A )  Cn  J ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, J    x, B    x, G

Proof of Theorem tmdgsum
Dummy variables  k  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 5866 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  (/)  ->  ( B  ^m  w )  =  ( B  ^m  (/) ) )
2 mpteq1 4100 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  ^m  w )  =  ( B  ^m  (/) )  ->  ( x  e.  ( B  ^m  w
)  |->  ( G  gsumg  x ) )  =  ( x  e.  ( B  ^m  (/) )  |->  ( G  gsumg  x ) ) )
31, 2syl 15 . . . . . . 7  |-  ( w  =  (/)  ->  ( x  e.  ( B  ^m  w )  |->  ( G 
gsumg  x ) )  =  ( x  e.  ( B  ^m  (/) )  |->  ( G  gsumg  x ) ) )
4 xpeq1 4703 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  (/)  ->  ( w  X.  { J }
)  =  ( (/)  X. 
{ J } ) )
5 xp0r 4768 . . . . . . . . . 10  |-  ( (/)  X. 
{ J } )  =  (/)
64, 5syl6eq 2331 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  (/)  ->  ( w  X.  { J }
)  =  (/) )
76fveq2d 5529 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  (/)  ->  ( Xt_ `  ( w  X.  { J } ) )  =  ( Xt_ `  (/) ) )
87oveq1d 5873 . . . . . . 7  |-  ( w  =  (/)  ->  ( (
Xt_ `  ( w  X.  { J } ) )  Cn  J )  =  ( ( Xt_ `  (/) )  Cn  J
) )
93, 8eleq12d 2351 . . . . . 6  |-  ( w  =  (/)  ->  ( ( x  e.  ( B  ^m  w )  |->  ( G  gsumg  x ) )  e.  ( ( Xt_ `  (
w  X.  { J } ) )  Cn  J )  <->  ( x  e.  ( B  ^m  (/) )  |->  ( G  gsumg  x ) )  e.  ( ( Xt_ `  (/) )  Cn  J ) ) )
109imbi2d 307 . . . . 5  |-  ( w  =  (/)  ->  ( ( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd )  ->  ( x  e.  ( B  ^m  w )  |->  ( G  gsumg  x ) )  e.  ( ( Xt_ `  (
w  X.  { J } ) )  Cn  J ) )  <->  ( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd
)  ->  ( x  e.  ( B  ^m  (/) )  |->  ( G  gsumg  x ) )  e.  ( ( Xt_ `  (/) )  Cn  J ) ) ) )
11 oveq2 5866 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  y  ->  ( B  ^m  w )  =  ( B  ^m  y
) )
12 mpteq1 4100 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  ^m  w )  =  ( B  ^m  y )  ->  (
x  e.  ( B  ^m  w )  |->  ( G  gsumg  x ) )  =  ( x  e.  ( B  ^m  y ) 
|->  ( G  gsumg  x ) ) )
1311, 12syl 15 . . . . . . 7  |-  ( w  =  y  ->  (
x  e.  ( B  ^m  w )  |->  ( G  gsumg  x ) )  =  ( x  e.  ( B  ^m  y ) 
|->  ( G  gsumg  x ) ) )
14 xpeq1 4703 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  y  ->  (
w  X.  { J } )  =  ( y  X.  { J } ) )
1514fveq2d 5529 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  y  ->  ( Xt_ `  ( w  X.  { J } ) )  =  ( Xt_ `  (
y  X.  { J } ) ) )
1615oveq1d 5873 . . . . . . 7  |-  ( w  =  y  ->  (
( Xt_ `  ( w  X.  { J }
) )  Cn  J
)  =  ( (
Xt_ `  ( y  X.  { J } ) )  Cn  J ) )
1713, 16eleq12d 2351 . . . . . 6  |-  ( w  =  y  ->  (
( x  e.  ( B  ^m  w ) 
|->  ( G  gsumg  x ) )  e.  ( ( Xt_ `  (
w  X.  { J } ) )  Cn  J )  <->  ( x  e.  ( B  ^m  y
)  |->  ( G  gsumg  x ) )  e.  ( (
Xt_ `  ( y  X.  { J } ) )  Cn  J ) ) )
1817imbi2d 307 . . . . 5  |-  ( w  =  y  ->  (
( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd )  -> 
( x  e.  ( B  ^m  w ) 
|->  ( G  gsumg  x ) )  e.  ( ( Xt_ `  (
w  X.  { J } ) )  Cn  J ) )  <->  ( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd
)  ->  ( x  e.  ( B  ^m  y
)  |->  ( G  gsumg  x ) )  e.  ( (
Xt_ `  ( y  X.  { J } ) )  Cn  J ) ) ) )
19 oveq2 5866 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( B  ^m  w )  =  ( B  ^m  ( y  u.  { z } ) ) )
20 mpteq1 4100 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  ^m  w )  =  ( B  ^m  ( y  u.  {
z } ) )  ->  ( x  e.  ( B  ^m  w
)  |->  ( G  gsumg  x ) )  =  ( x  e.  ( B  ^m  ( y  u.  {
z } ) ) 
|->  ( G  gsumg  x ) ) )
2119, 20syl 15 . . . . . . 7  |-  ( w  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( x  e.  ( B  ^m  w
)  |->  ( G  gsumg  x ) )  =  ( x  e.  ( B  ^m  ( y  u.  {
z } ) ) 
|->  ( G  gsumg  x ) ) )
22 xpeq1 4703 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( w  X.  { J } )  =  ( ( y  u. 
{ z } )  X.  { J }
) )
2322fveq2d 5529 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( Xt_ `  (
w  X.  { J } ) )  =  ( Xt_ `  (
( y  u.  {
z } )  X. 
{ J } ) ) )
2423oveq1d 5873 . . . . . . 7  |-  ( w  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( ( Xt_ `  ( w  X.  { J } ) )  Cn  J )  =  ( ( Xt_ `  (
( y  u.  {
z } )  X. 
{ J } ) )  Cn  J ) )
2521, 24eleq12d 2351 . . . . . 6  |-  ( w  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( ( x  e.  ( B  ^m  w )  |->  ( G 
gsumg  x ) )  e.  ( ( Xt_ `  (
w  X.  { J } ) )  Cn  J )  <->  ( x  e.  ( B  ^m  (
y  u.  { z } ) )  |->  ( G  gsumg  x ) )  e.  ( ( Xt_ `  (
( y  u.  {
z } )  X. 
{ J } ) )  Cn  J ) ) )
2625imbi2d 307 . . . . 5  |-  ( w  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( ( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd )  ->  ( x  e.  ( B  ^m  w
)  |->  ( G  gsumg  x ) )  e.  ( (
Xt_ `  ( w  X.  { J } ) )  Cn  J ) )  <->  ( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd )  ->  ( x  e.  ( B  ^m  (
y  u.  { z } ) )  |->  ( G  gsumg  x ) )  e.  ( ( Xt_ `  (
( y  u.  {
z } )  X. 
{ J } ) )  Cn  J ) ) ) )
27 oveq2 5866 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  A  ->  ( B  ^m  w )  =  ( B  ^m  A
) )
28 mpteq1 4100 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  ^m  w )  =  ( B  ^m  A )  ->  (
x  e.  ( B  ^m  w )  |->  ( G  gsumg  x ) )  =  ( x  e.  ( B  ^m  A ) 
|->  ( G  gsumg  x ) ) )
2927, 28syl 15 . . . . . . 7  |-  ( w  =  A  ->  (
x  e.  ( B  ^m  w )  |->  ( G  gsumg  x ) )  =  ( x  e.  ( B  ^m  A ) 
|->  ( G  gsumg  x ) ) )
30 xpeq1 4703 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  A  ->  (
w  X.  { J } )  =  ( A  X.  { J } ) )
3130fveq2d 5529 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  A  ->  ( Xt_ `  ( w  X.  { J } ) )  =  ( Xt_ `  ( A  X.  { J }
) ) )
3231oveq1d 5873 . . . . . . 7  |-  ( w  =  A  ->  (
( Xt_ `  ( w  X.  { J }
) )  Cn  J
)  =  ( (
Xt_ `  ( A  X.  { J } ) )  Cn  J ) )
3329, 32eleq12d 2351 . . . . . 6  |-  ( w  =  A  ->  (
( x  e.  ( B  ^m  w ) 
|->  ( G  gsumg  x ) )  e.  ( ( Xt_ `  (
w  X.  { J } ) )  Cn  J )  <->  ( x  e.  ( B  ^m  A
)  |->  ( G  gsumg  x ) )  e.  ( (
Xt_ `  ( A  X.  { J } ) )  Cn  J ) ) )
3433imbi2d 307 . . . . 5  |-  ( w  =  A  ->  (
( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd )  -> 
( x  e.  ( B  ^m  w ) 
|->  ( G  gsumg  x ) )  e.  ( ( Xt_ `  (
w  X.  { J } ) )  Cn  J ) )  <->  ( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd
)  ->  ( x  e.  ( B  ^m  A
)  |->  ( G  gsumg  x ) )  e.  ( (
Xt_ `  ( A  X.  { J } ) )  Cn  J ) ) ) )
35 elmapi 6792 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( B  ^m  (/) )  ->  x : (/) --> B )
36 ffn 5389 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x : (/) --> B  ->  x  Fn  (/) )
3735, 36syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( B  ^m  (/) )  ->  x  Fn  (/) )
38 fn0 5363 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  Fn  (/)  <->  x  =  (/) )
3937, 38sylib 188 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( B  ^m  (/) )  ->  x  =  (/) )
4039oveq2d 5874 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( B  ^m  (/) )  ->  ( G  gsumg  x )  =  ( G 
gsumg  (/) ) )
41 eqid 2283 . . . . . . . . 9  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
4241gsum0 14457 . . . . . . . 8  |-  ( G 
gsumg  (/) )  =  ( 0g
`  G )
4340, 42syl6eq 2331 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( B  ^m  (/) )  ->  ( G  gsumg  x )  =  ( 0g
`  G ) )
4443mpteq2ia 4102 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( B  ^m  (/) )  |->  ( G  gsumg  x ) )  =  ( x  e.  ( B  ^m  (/) )  |->  ( 0g `  G ) )
45 0ex 4150 . . . . . . . 8  |-  (/)  e.  _V
46 tmdgsum.j . . . . . . . . . 10  |-  J  =  ( TopOpen `  G )
47 tmdgsum.b . . . . . . . . . 10  |-  B  =  ( Base `  G
)
4846, 47tmdtopon 17764 . . . . . . . . 9  |-  ( G  e. TopMnd  ->  J  e.  (TopOn `  B ) )
4948adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd )  ->  J  e.  (TopOn `  B ) )
505fveq2i 5528 . . . . . . . . . 10  |-  ( Xt_ `  ( (/)  X.  { J } ) )  =  ( Xt_ `  (/) )
5150eqcomi 2287 . . . . . . . . 9  |-  ( Xt_ `  (/) )  =  ( Xt_ `  ( (/)  X.  { J } ) )
5251pttoponconst 17292 . . . . . . . 8  |-  ( (
(/)  e.  _V  /\  J  e.  (TopOn `  B )
)  ->  ( Xt_ `  (/) )  e.  (TopOn `  ( B  ^m  (/) ) ) )
5345, 49, 52sylancr 644 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd )  ->  ( Xt_ `  (/) )  e.  (TopOn `  ( B  ^m  (/) ) ) )
54 tmdmnd 17758 . . . . . . . . 9  |-  ( G  e. TopMnd  ->  G  e.  Mnd )
5554adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd )  ->  G  e.  Mnd )
5647, 41mndidcl 14391 . . . . . . . 8  |-  ( G  e.  Mnd  ->  ( 0g `  G )  e.  B )
5755, 56syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd )  ->  ( 0g `  G )  e.  B
)
5853, 49, 57cnmptc 17356 . . . . . 6  |-  ( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd )  ->  ( x  e.  ( B  ^m  (/) )  |->  ( 0g `  G ) )  e.  ( (
Xt_ `  (/) )  Cn  J ) )
5944, 58syl5eqel 2367 . . . . 5  |-  ( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd )  ->  ( x  e.  ( B  ^m  (/) )  |->  ( G  gsumg  x ) )  e.  ( ( Xt_ `  (/) )  Cn  J ) )
60 oveq2 5866 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  w  ->  ( G  gsumg  x )  =  ( G  gsumg  w ) )
6160cbvmptv 4111 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( B  ^m  ( y  u.  {
z } ) ) 
|->  ( G  gsumg  x ) )  =  ( w  e.  ( B  ^m  ( y  u.  { z } ) )  |->  ( G 
gsumg  w ) )
62 eqid 2283 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
63 simpl1l 1006 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd )  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( x  e.  ( B  ^m  y )  |->  ( G 
gsumg  x ) )  e.  ( ( Xt_ `  (
y  X.  { J } ) )  Cn  J ) )  /\  w  e.  ( B  ^m  ( y  u.  {
z } ) ) )  ->  G  e. CMnd )
64 simp2l 981 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd )  /\  (
y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  /\  ( x  e.  ( B  ^m  y
)  |->  ( G  gsumg  x ) )  e.  ( (
Xt_ `  ( y  X.  { J } ) )  Cn  J ) )  ->  y  e.  Fin )
65 snfi 6941 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  { z }  e.  Fin
66 unfi 7124 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  { z }  e.  Fin )  ->  ( y  u. 
{ z } )  e.  Fin )
6764, 65, 66sylancl 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd )  /\  (
y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  /\  ( x  e.  ( B  ^m  y
)  |->  ( G  gsumg  x ) )  e.  ( (
Xt_ `  ( y  X.  { J } ) )  Cn  J ) )  ->  ( y  u.  { z } )  e.  Fin )
6867adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd )  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( x  e.  ( B  ^m  y )  |->  ( G 
gsumg  x ) )  e.  ( ( Xt_ `  (
y  X.  { J } ) )  Cn  J ) )  /\  w  e.  ( B  ^m  ( y  u.  {
z } ) ) )  ->  ( y  u.  { z } )  e.  Fin )
69 elmapi 6792 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  e.  ( B  ^m  ( y  u.  {
z } ) )  ->  w : ( y  u.  { z } ) --> B )
7069adantl 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd )  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( x  e.  ( B  ^m  y )  |->  ( G 
gsumg  x ) )  e.  ( ( Xt_ `  (
y  X.  { J } ) )  Cn  J ) )  /\  w  e.  ( B  ^m  ( y  u.  {
z } ) ) )  ->  w :
( y  u.  {
z } ) --> B )
7168, 70fisuppfi 14450 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd )  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( x  e.  ( B  ^m  y )  |->  ( G 
gsumg  x ) )  e.  ( ( Xt_ `  (
y  X.  { J } ) )  Cn  J ) )  /\  w  e.  ( B  ^m  ( y  u.  {
z } ) ) )  ->  ( `' w " ( _V  \  { ( 0g `  G ) } ) )  e.  Fin )
72 simpl2r 1009 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd )  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( x  e.  ( B  ^m  y )  |->  ( G 
gsumg  x ) )  e.  ( ( Xt_ `  (
y  X.  { J } ) )  Cn  J ) )  /\  w  e.  ( B  ^m  ( y  u.  {
z } ) ) )  ->  -.  z  e.  y )
73 disjsn 3693 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  i^i  { z } )  =  (/)  <->  -.  z  e.  y )
7472, 73sylibr 203 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd )  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( x  e.  ( B  ^m  y )  |->  ( G 
gsumg  x ) )  e.  ( ( Xt_ `  (
y  X.  { J } ) )  Cn  J ) )  /\  w  e.  ( B  ^m  ( y  u.  {
z } ) ) )  ->  ( y  i^i  { z } )  =  (/) )
75 eqidd 2284 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd )  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( x  e.  ( B  ^m  y )  |->  ( G 
gsumg  x ) )  e.  ( ( Xt_ `  (
y  X.  { J } ) )  Cn  J ) )  /\  w  e.  ( B  ^m  ( y  u.  {
z } ) ) )  ->  ( y  u.  { z } )  =  ( y  u. 
{ z } ) )
7647, 41, 62, 63, 68, 70, 71, 74, 75gsumsplit 15207 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd )  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( x  e.  ( B  ^m  y )  |->  ( G 
gsumg  x ) )  e.  ( ( Xt_ `  (
y  X.  { J } ) )  Cn  J ) )  /\  w  e.  ( B  ^m  ( y  u.  {
z } ) ) )  ->  ( G  gsumg  w )  =  ( ( G  gsumg  ( w  |`  y
) ) ( +g  `  G ) ( G 
gsumg  ( w  |`  { z } ) ) ) )
7776mpteq2dva 4106 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd )  /\  (
y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  /\  ( x  e.  ( B  ^m  y
)  |->  ( G  gsumg  x ) )  e.  ( (
Xt_ `  ( y  X.  { J } ) )  Cn  J ) )  ->  ( w  e.  ( B  ^m  (
y  u.  { z } ) )  |->  ( G  gsumg  w ) )  =  ( w  e.  ( B  ^m  ( y  u.  { z } ) )  |->  ( ( G  gsumg  ( w  |`  y
) ) ( +g  `  G ) ( G 
gsumg  ( w  |`  { z } ) ) ) ) )
7861, 77syl5eq 2327 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd )  /\  (
y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  /\  ( x  e.  ( B  ^m  y
)  |->  ( G  gsumg  x ) )  e.  ( (
Xt_ `  ( y  X.  { J } ) )  Cn  J ) )  ->  ( x  e.  ( B  ^m  (
y  u.  { z } ) )  |->  ( G  gsumg  x ) )  =  ( w  e.  ( B  ^m  ( y  u.  { z } ) )  |->  ( ( G  gsumg  ( w  |`  y
) ) ( +g  `  G ) ( G 
gsumg  ( w  |`  { z } ) ) ) ) )
79 simp1r 980 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd )  /\  (
y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  /\  ( x  e.  ( B  ^m  y
)  |->  ( G  gsumg  x ) )  e.  ( (
Xt_ `  ( y  X.  { J } ) )  Cn  J ) )  ->  G  e. TopMnd )
8079, 48syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd )  /\  (
y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  /\  ( x  e.  ( B  ^m  y
)  |->  ( G  gsumg  x ) )  e.  ( (
Xt_ `  ( y  X.  { J } ) )  Cn  J ) )  ->  J  e.  (TopOn `  B ) )
81 eqid 2283 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Xt_ `  ( ( y  u. 
{ z } )  X.  { J }
) )  =  (
Xt_ `  ( (
y  u.  { z } )  X.  { J } ) )
8281pttoponconst 17292 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  u.  {
z } )  e. 
Fin  /\  J  e.  (TopOn `  B ) )  ->  ( Xt_ `  (
( y  u.  {
z } )  X. 
{ J } ) )  e.  (TopOn `  ( B  ^m  (
y  u.  { z } ) ) ) )
8367, 80, 82syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd )  /\  (
y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  /\  ( x  e.  ( B  ^m  y
)  |->  ( G  gsumg  x ) )  e.  ( (
Xt_ `  ( y  X.  { J } ) )  Cn  J ) )  ->  ( Xt_ `  ( ( y  u. 
{ z } )  X.  { J }
) )  e.  (TopOn `  ( B  ^m  (
y  u.  { z } ) ) ) )
84 toponuni 16665 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
Xt_ `  ( (
y  u.  { z } )  X.  { J } ) )  e.  (TopOn `  ( B  ^m  ( y  u.  {
z } ) ) )  ->  ( B  ^m  ( y  u.  {
z } ) )  =  U. ( Xt_ `  ( ( y  u. 
{ z } )  X.  { J }
) ) )
8583, 84syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd )  /\  (
y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  /\  ( x  e.  ( B  ^m  y
)  |->  ( G  gsumg  x ) )  e.  ( (
Xt_ `  ( y  X.  { J } ) )  Cn  J ) )  ->  ( B  ^m  ( y  u.  {
z } ) )  =  U. ( Xt_ `  ( ( y  u. 
{ z } )  X.  { J }
) ) )
86 mpteq1 4100 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( B  ^m  ( y  u.  { z } ) )  =  U. ( Xt_ `  ( ( y  u.  { z } )  X.  { J } ) )  -> 
( w  e.  ( B  ^m  ( y  u.  { z } ) )  |->  ( w  |`  y ) )  =  ( w  e.  U. ( Xt_ `  ( ( y  u.  { z } )  X.  { J } ) )  |->  ( w  |`  y )
) )
8785, 86syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd )  /\  (
y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  /\  ( x  e.  ( B  ^m  y
)  |->  ( G  gsumg  x ) )  e.  ( (
Xt_ `  ( y  X.  { J } ) )  Cn  J ) )  ->  ( w  e.  ( B  ^m  (
y  u.  { z } ) )  |->  ( w  |`  y )
)  =  ( w  e.  U. ( Xt_ `  ( ( y  u. 
{ z } )  X.  { J }
) )  |->  ( w  |`  y ) ) )
88 topontop 16664 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( J  e.  (TopOn `  B
)  ->  J  e.  Top )
8979, 48, 883syl 18 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd )  /\  (
y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  /\  ( x  e.  ( B  ^m  y
)  |->  ( G  gsumg  x ) )  e.  ( (
Xt_ `  ( y  X.  { J } ) )  Cn  J ) )  ->  J  e.  Top )
90 fconst6g 5430 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( J  e.  Top  ->  (
( y  u.  {
z } )  X. 
{ J } ) : ( y  u. 
{ z } ) --> Top )
9189, 90syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd )  /\  (
y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  /\  ( x  e.  ( B  ^m  y
)  |->  ( G  gsumg  x ) )  e.  ( (
Xt_ `  ( y  X.  { J } ) )  Cn  J ) )  ->  ( (
y  u.  { z } )  X.  { J } ) : ( y  u.  { z } ) --> Top )
92 ssun1 3338 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  y  C_  ( y  u.  {
z } )
9392a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd )  /\  (
y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  /\  ( x  e.  ( B  ^m  y
)  |->  ( G  gsumg  x ) )  e.  ( (
Xt_ `  ( y  X.  { J } ) )  Cn  J ) )  ->  y  C_  ( y  u.  {
z } ) )
94 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  U. ( Xt_ `  ( ( y  u.  { z } )  X.  { J } ) )  = 
U. ( Xt_ `  (
( y  u.  {
z } )  X. 
{ J } ) )
95 xpssres 4989 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y 
C_  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( ( ( y  u.  { z } )  X.  { J } )  |`  y
)  =  ( y  X.  { J }
) )
9692, 95ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( y  u.  {
z } )  X. 
{ J } )  |`  y )  =  ( y  X.  { J } )
9796eqcomi 2287 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  X.  { J }
)  =  ( ( ( y  u.  {
z } )  X. 
{ J } )  |`  y )
9897fveq2i 5528 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Xt_ `  ( y  X.  { J } ) )  =  ( Xt_ `  (
( ( y  u. 
{ z } )  X.  { J }
)  |`  y ) )
9994, 81, 98ptrescn 17333 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( y  u.  {
z } )  e. 
Fin  /\  ( (
y  u.  { z } )  X.  { J } ) : ( y  u.  { z } ) --> Top  /\  y  C_  ( y  u. 
{ z } ) )  ->  ( w  e.  U. ( Xt_ `  (
( y  u.  {
z } )  X. 
{ J } ) )  |->  ( w  |`  y ) )  e.  ( ( Xt_ `  (
( y  u.  {
z } )  X. 
{ J } ) )  Cn  ( Xt_ `  ( y  X.  { J } ) ) ) )
10067, 91, 93, 99syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd )  /\  (
y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  /\  ( x  e.  ( B  ^m  y
)  |->  ( G  gsumg  x ) )  e.  ( (
Xt_ `  ( y  X.  { J } ) )  Cn  J ) )  ->  ( w  e.  U. ( Xt_ `  (
( y  u.  {
z } )  X. 
{ J } ) )  |->  ( w  |`  y ) )  e.  ( ( Xt_ `  (
( y  u.  {
z } )  X. 
{ J } ) )  Cn  ( Xt_ `  ( y  X.  { J } ) ) ) )
10187, 100eqeltrd 2357 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd )  /\  (
y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  /\  ( x  e.  ( B  ^m  y
)  |->  ( G  gsumg  x ) )  e.  ( (
Xt_ `  ( y  X.  { J } ) )  Cn  J ) )  ->  ( w  e.  ( B  ^m  (
y  u.  { z } ) )  |->  ( w  |`  y )
)  e.  ( (
Xt_ `  ( (
y  u.  { z } )  X.  { J } ) )  Cn  ( Xt_ `  (
y  X.  { J } ) ) ) )
102 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Xt_ `  ( y  X.  { J } ) )  =  ( Xt_ `  (
y  X.  { J } ) )
103102pttoponconst 17292 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  J  e.  (TopOn `  B
) )  ->  ( Xt_ `  ( y  X. 
{ J } ) )  e.  (TopOn `  ( B  ^m  y
) ) )
10464, 80, 103syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd )  /\  (
y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  /\  ( x  e.  ( B  ^m  y
)  |->  ( G  gsumg  x ) )  e.  ( (
Xt_ `  ( y  X.  { J } ) )  Cn  J ) )  ->  ( Xt_ `  ( y  X.  { J } ) )  e.  (TopOn `  ( B  ^m  y ) ) )
105 simp3 957 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd )  /\  (
y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  /\  ( x  e.  ( B  ^m  y
)  |->  ( G  gsumg  x ) )  e.  ( (
Xt_ `  ( y  X.  { J } ) )  Cn  J ) )  ->  ( x  e.  ( B  ^m  y
)  |->  ( G  gsumg  x ) )  e.  ( (
Xt_ `  ( y  X.  { J } ) )  Cn  J ) )
106 oveq2 5866 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( w  |`  y )  ->  ( G  gsumg  x )  =  ( G  gsumg  ( w  |`  y
) ) )
10783, 101, 104, 105, 106cnmpt11 17357 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd )  /\  (
y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  /\  ( x  e.  ( B  ^m  y
)  |->  ( G  gsumg  x ) )  e.  ( (
Xt_ `  ( y  X.  { J } ) )  Cn  J ) )  ->  ( w  e.  ( B  ^m  (
y  u.  { z } ) )  |->  ( G  gsumg  ( w  |`  y
) ) )  e.  ( ( Xt_ `  (
( y  u.  {
z } )  X. 
{ J } ) )  Cn  J ) )
10870feqmptd 5575 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd )  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( x  e.  ( B  ^m  y )  |->  ( G 
gsumg  x ) )  e.  ( ( Xt_ `  (
y  X.  { J } ) )  Cn  J ) )  /\  w  e.  ( B  ^m  ( y  u.  {
z } ) ) )  ->  w  =  ( k  e.  ( y  u.  { z } )  |->  ( w `
 k ) ) )
109108reseq1d 4954 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd )  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( x  e.  ( B  ^m  y )  |->  ( G 
gsumg  x ) )  e.  ( ( Xt_ `  (
y  X.  { J } ) )  Cn  J ) )  /\  w  e.  ( B  ^m  ( y  u.  {
z } ) ) )  ->  ( w  |` 
{ z } )  =  ( ( k  e.  ( y  u. 
{ z } ) 
|->  ( w `  k
) )  |`  { z } ) )
110 ssun2 3339 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  { z }  C_  ( y  u.  { z } )
111 resmpt 5000 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( { z }  C_  (
y  u.  { z } )  ->  (
( k  e.  ( y  u.  { z } )  |->  ( w `
 k ) )  |`  { z } )  =  ( k  e. 
{ z }  |->  ( w `  k ) ) )
112110, 111ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( k  e.  ( y  u.  { z } )  |->  ( w `  k ) )  |`  { z } )  =  ( k  e. 
{ z }  |->  ( w `  k ) )
113109, 112syl6eq 2331 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd )  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( x  e.  ( B  ^m  y )  |->  ( G 
gsumg  x ) )  e.  ( ( Xt_ `  (
y  X.  { J } ) )  Cn  J ) )  /\  w  e.  ( B  ^m  ( y  u.  {
z } ) ) )  ->  ( w  |` 
{ z } )  =  ( k  e. 
{ z }  |->  ( w `  k ) ) )
114113oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd )  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( x  e.  ( B  ^m  y )  |->  ( G 
gsumg  x ) )  e.  ( ( Xt_ `  (
y  X.  { J } ) )  Cn  J ) )  /\  w  e.  ( B  ^m  ( y  u.  {
z } ) ) )  ->  ( G  gsumg  ( w  |`  { z } ) )  =  ( G  gsumg  ( k  e.  {
z }  |->  ( w `
 k ) ) ) )
115 cmnmnd 15104 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( G  e. CMnd  ->  G  e.  Mnd )
11663, 115syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd )  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( x  e.  ( B  ^m  y )  |->  ( G 
gsumg  x ) )  e.  ( ( Xt_ `  (
y  X.  { J } ) )  Cn  J ) )  /\  w  e.  ( B  ^m  ( y  u.  {
z } ) ) )  ->  G  e.  Mnd )
117 vex 2791 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  z  e. 
_V
118117a1i 10 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd )  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( x  e.  ( B  ^m  y )  |->  ( G 
gsumg  x ) )  e.  ( ( Xt_ `  (
y  X.  { J } ) )  Cn  J ) )  /\  w  e.  ( B  ^m  ( y  u.  {
z } ) ) )  ->  z  e.  _V )
119117snid 3667 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  z  e. 
{ z }
120 elun2 3343 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  e.  { z }  ->  z  e.  ( y  u.  { z } ) )
121119, 120mp1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd )  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( x  e.  ( B  ^m  y )  |->  ( G 
gsumg  x ) )  e.  ( ( Xt_ `  (
y  X.  { J } ) )  Cn  J ) )  /\  w  e.  ( B  ^m  ( y  u.  {
z } ) ) )  ->  z  e.  ( y  u.  {
z } ) )
122 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( w : ( y  u.  { z } ) --> B  /\  z  e.  ( y  u.  {
z } ) )  ->  ( w `  z )  e.  B
)
12370, 121, 122syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd )  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( x  e.  ( B  ^m  y )  |->  ( G 
gsumg  x ) )  e.  ( ( Xt_ `  (
y  X.  { J } ) )  Cn  J ) )  /\  w  e.  ( B  ^m  ( y  u.  {
z } ) ) )  ->  ( w `  z )  e.  B
)
124 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  z  ->  (
w `  k )  =  ( w `  z ) )
12547, 124gsumsn 15220 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  z  e.  _V  /\  (
w `  z )  e.  B )  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  {
z }  |->  ( w `
 k ) ) )  =  ( w `
 z ) )
126116, 118, 123, 125syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd )  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( x  e.  ( B  ^m  y )  |->  ( G 
gsumg  x ) )  e.  ( ( Xt_ `  (
y  X.  { J } ) )  Cn  J ) )  /\  w  e.  ( B  ^m  ( y  u.  {
z } ) ) )  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  { z }  |->  ( w `  k ) ) )  =  ( w `  z ) )
127114, 126eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd )  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( x  e.  ( B  ^m  y )  |->  ( G 
gsumg  x ) )  e.  ( ( Xt_ `  (
y  X.  { J } ) )  Cn  J ) )  /\  w  e.  ( B  ^m  ( y  u.  {
z } ) ) )  ->  ( G  gsumg  ( w  |`  { z } ) )  =  ( w `  z
) )
128127mpteq2dva 4106 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd )  /\  (
y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  /\  ( x  e.  ( B  ^m  y
)  |->  ( G  gsumg  x ) )  e.  ( (
Xt_ `  ( y  X.  { J } ) )  Cn  J ) )  ->  ( w  e.  ( B  ^m  (
y  u.  { z } ) )  |->  ( G  gsumg  ( w  |`  { z } ) ) )  =  ( w  e.  ( B  ^m  (
y  u.  { z } ) )  |->  ( w `  z ) ) )
129 mpteq1 4100 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( B  ^m  ( y  u.  { z } ) )  =  U. ( Xt_ `  ( ( y  u.  { z } )  X.  { J } ) )  -> 
( w  e.  ( B  ^m  ( y  u.  { z } ) )  |->  ( w `
 z ) )  =  ( w  e. 
U. ( Xt_ `  (
( y  u.  {
z } )  X. 
{ J } ) )  |->  ( w `  z ) ) )
13085, 129syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd )  /\  (
y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  /\  ( x  e.  ( B  ^m  y
)  |->  ( G  gsumg  x ) )  e.  ( (
Xt_ `  ( y  X.  { J } ) )  Cn  J ) )  ->  ( w  e.  ( B  ^m  (
y  u.  { z } ) )  |->  ( w `  z ) )  =  ( w  e.  U. ( Xt_ `  ( ( y  u. 
{ z } )  X.  { J }
) )  |->  ( w `
 z ) ) )
131119, 120mp1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd )  /\  (
y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  /\  ( x  e.  ( B  ^m  y
)  |->  ( G  gsumg  x ) )  e.  ( (
Xt_ `  ( y  X.  { J } ) )  Cn  J ) )  ->  z  e.  ( y  u.  {
z } ) )
13294, 81ptpjcn 17305 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( y  u.  {
z } )  e. 
Fin  /\  ( (
y  u.  { z } )  X.  { J } ) : ( y  u.  { z } ) --> Top  /\  z  e.  ( y  u.  { z } ) )  ->  ( w  e.  U. ( Xt_ `  (
( y  u.  {
z } )  X. 
{ J } ) )  |->  ( w `  z ) )  e.  ( ( Xt_ `  (
( y  u.  {
z } )  X. 
{ J } ) )  Cn  ( ( ( y  u.  {
z } )  X. 
{ J } ) `
 z ) ) )
13367, 91, 131, 132syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd )  /\  (
y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  /\  ( x  e.  ( B  ^m  y
)  |->  ( G  gsumg  x ) )  e.  ( (
Xt_ `  ( y  X.  { J } ) )  Cn  J ) )  ->  ( w  e.  U. ( Xt_ `  (
( y  u.  {
z } )  X. 
{ J } ) )  |->  ( w `  z ) )  e.  ( ( Xt_ `  (
( y  u.  {
z } )  X. 
{ J } ) )  Cn  ( ( ( y  u.  {
z } )  X. 
{ J } ) `
 z ) ) )
134130, 133eqeltrd 2357 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd )  /\  (
y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  /\  ( x  e.  ( B  ^m  y
)  |->  ( G  gsumg  x ) )  e.  ( (
Xt_ `  ( y  X.  { J } ) )  Cn  J ) )  ->  ( w  e.  ( B  ^m  (
y  u.  { z } ) )  |->  ( w `  z ) )  e.  ( (
Xt_ `  ( (
y  u.  { z } )  X.  { J } ) )  Cn  ( ( ( y  u.  { z } )  X.  { J } ) `  z
) ) )
135 fvconst2g 5727 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( J  e.  Top  /\  z  e.  ( y  u.  { z } ) )  ->  ( (
( y  u.  {
z } )  X. 
{ J } ) `
 z )  =  J )
13689, 131, 135syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd )  /\  (
y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  /\  ( x  e.  ( B  ^m  y
)  |->  ( G  gsumg  x ) )  e.  ( (
Xt_ `  ( y  X.  { J } ) )  Cn  J ) )  ->  ( (
( y  u.  {
z } )  X. 
{ J } ) `
 z )  =  J )
137136oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd )  /\  (
y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  /\  ( x  e.  ( B  ^m  y
)  |->  ( G  gsumg  x ) )  e.  ( (
Xt_ `  ( y  X.  { J } ) )  Cn  J ) )  ->  ( ( Xt_ `  ( ( y  u.  { z } )  X.  { J } ) )  Cn  ( ( ( y  u.  { z } )  X.  { J } ) `  z
) )  =  ( ( Xt_ `  (
( y  u.  {
z } )  X. 
{ J } ) )  Cn  J ) )
138134, 137eleqtrd 2359 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd )  /\  (
y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  /\  ( x  e.  ( B  ^m  y
)  |->  ( G  gsumg  x ) )  e.  ( (
Xt_ `  ( y  X.  { J } ) )  Cn  J ) )  ->  ( w  e.  ( B  ^m  (
y  u.  { z } ) )  |->  ( w `  z ) )  e.  ( (
Xt_ `  ( (
y  u.  { z } )  X.  { J } ) )  Cn  J ) )
139128, 138eqeltrd 2357 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd )  /\  (
y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  /\  ( x  e.  ( B  ^m  y
)  |->  ( G  gsumg  x ) )  e.  ( (
Xt_ `  ( y  X.  { J } ) )  Cn  J ) )  ->  ( w  e.  ( B  ^m  (
y  u.  { z } ) )  |->  ( G  gsumg  ( w  |`  { z } ) ) )  e.  ( ( Xt_ `  ( ( y  u. 
{ z } )  X.  { J }
) )  Cn  J
) )
14046, 62, 79, 83, 107, 139cnmpt1plusg 17770 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd )  /\  (
y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  /\  ( x  e.  ( B  ^m  y
)  |->  ( G  gsumg  x ) )  e.  ( (
Xt_ `  ( y  X.  { J } ) )  Cn  J ) )  ->  ( w  e.  ( B  ^m  (
y  u.  { z } ) )  |->  ( ( G  gsumg  ( w  |`  y
) ) ( +g  `  G ) ( G 
gsumg  ( w  |`  { z } ) ) ) )  e.  ( (
Xt_ `  ( (
y  u.  { z } )  X.  { J } ) )  Cn  J ) )
14178, 140eqeltrd 2357 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd )  /\  (
y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  /\  ( x  e.  ( B  ^m  y
)  |->  ( G  gsumg  x ) )  e.  ( (
Xt_ `  ( y  X.  { J } ) )  Cn  J ) )  ->  ( x  e.  ( B  ^m  (
y  u.  { z } ) )  |->  ( G  gsumg  x ) )  e.  ( ( Xt_ `  (
( y  u.  {
z } )  X. 
{ J } ) )  Cn  J ) )
1421413expia 1153 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd )  /\  (
y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
) )  ->  (
( x  e.  ( B  ^m  y ) 
|->  ( G  gsumg  x ) )  e.  ( ( Xt_ `  (
y  X.  { J } ) )  Cn  J )  ->  (
x  e.  ( B  ^m  ( y  u. 
{ z } ) )  |->  ( G  gsumg  x ) )  e.  ( (
Xt_ `  ( (
y  u.  { z } )  X.  { J } ) )  Cn  J ) ) )
143142expcom 424 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  ->  ( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd
)  ->  ( (
x  e.  ( B  ^m  y )  |->  ( G  gsumg  x ) )  e.  ( ( Xt_ `  (
y  X.  { J } ) )  Cn  J )  ->  (
x  e.  ( B  ^m  ( y  u. 
{ z } ) )  |->  ( G  gsumg  x ) )  e.  ( (
Xt_ `  ( (
y  u.  { z } )  X.  { J } ) )  Cn  J ) ) ) )
144143a2d 23 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  ->  ( (
( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd )  ->  ( x  e.  ( B  ^m  y )  |->  ( G  gsumg  x ) )  e.  ( ( Xt_ `  (
y  X.  { J } ) )  Cn  J ) )  -> 
( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd )  -> 
( x  e.  ( B  ^m  ( y  u.  { z } ) )  |->  ( G 
gsumg  x ) )  e.  ( ( Xt_ `  (
( y  u.  {
z } )  X. 
{ J } ) )  Cn  J ) ) ) )
14510, 18, 26, 34, 59, 144findcard2s 7099 . . . 4  |-  ( A  e.  Fin  ->  (
( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd )  ->  ( x  e.  ( B  ^m  A )  |->  ( G  gsumg  x ) )  e.  ( ( Xt_ `  ( A  X.  { J }
) )  Cn  J
) ) )
146145com12 27 . . 3  |-  ( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd )  ->  ( A  e.  Fin  ->  ( x  e.  ( B  ^m  A
)  |->  ( G  gsumg  x ) )  e.  ( (
Xt_ `  ( A  X.  { J } ) )  Cn  J ) ) )
1471463impia 1148 . 2  |-  ( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd  /\  A  e.  Fin )  ->  ( x  e.  ( B  ^m  A
)  |->  ( G  gsumg  x ) )  e.  ( (
Xt_ `  ( A  X.  { J } ) )  Cn  J ) )
14848, 88syl 15 . . . . 5  |-  ( G  e. TopMnd  ->  J  e.  Top )
149 xkopt 17349 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  Fin )  ->  ( J  ^ k o  ~P A )  =  ( Xt_ `  ( A  X.  { J }
) ) )
150148, 149sylan 457 . . . 4  |-  ( ( G  e. TopMnd  /\  A  e. 
Fin )  ->  ( J  ^ k o  ~P A )  =  (
Xt_ `  ( A  X.  { J } ) ) )
1511503adant1 973 . . 3  |-  ( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd  /\  A  e.  Fin )  ->  ( J  ^ k o  ~P A
)  =  ( Xt_ `  ( A  X.  { J } ) ) )
152151oveq1d 5873 . 2  |-  ( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd  /\  A  e.  Fin )  ->  ( ( J  ^ k o  ~P A )  Cn  J
)  =  ( (
Xt_ `  ( A  X.  { J } ) )  Cn  J ) )
153147, 152eleqtrrd 2360 1  |-  ( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd  /\  A  e.  Fin )  ->  ( x  e.  ( B  ^m  A
)  |->  ( G  gsumg  x ) )  e.  ( ( J  ^ k o  ~P A )  Cn  J ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   _Vcvv 2788    \ cdif 3149    u. cun 3150    i^i cin 3151    C_ wss 3152   (/)c0 3455   ~Pcpw 3625   {csn 3640   U.cuni 3827    e. cmpt 4077    X. cxp 4687    |` cres 4691    Fn wfn 5250   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    ^m cmap 6772   Fincfn 6863   Basecbs 13148   +g cplusg 13208   TopOpenctopn 13326   Xt_cpt 13343   0gc0g 13400    gsumg cgsu 13401   Mndcmnd 14361  CMndccmn 15089   Topctop 16631  TopOnctopon 16632    Cn ccn 16954    ^ k o cxko 17256  TopMndctmd 17753
This theorem is referenced by:  tmdgsum2  17779
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-fi 7165  df-oi 7225  df-card 7572  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-seq 11047  df-hash 11338  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-rest 13327  df-topgen 13344  df-pt 13345  df-0g 13404  df-gsum 13405  df-mre 13488  df-mrc 13489  df-acs 13491  df-mnd 14367  df-plusf 14368  df-submnd 14416  df-mulg 14492  df-cntz 14793  df-cmn 15091  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-topsp 16640  df-cn 16957  df-cnp 16958  df-cmp 17114  df-tx 17257  df-xko 17258  df-tmd 17755
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