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Theorem tmdgsum 18117
Description: In a topological monoid, the group sum operation is a continuous function from the function space to the base topology. This theorem is not true when  A is infinite, because in this case for any basic open set of the domain one of the factors will be the whole space, so by varying the value of the functions to sum at this index, one can achieve any desired sum. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tmdgsum.j  |-  J  =  ( TopOpen `  G )
tmdgsum.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
Assertion
Ref Expression
tmdgsum  |-  ( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd  /\  A  e.  Fin )  ->  ( x  e.  ( B  ^m  A
)  |->  ( G  gsumg  x ) )  e.  ( ( J  ^ k o  ~P A )  Cn  J ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, J    x, B    x, G

Proof of Theorem tmdgsum
Dummy variables  k  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 6081 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  (/)  ->  ( B  ^m  w )  =  ( B  ^m  (/) ) )
21mpteq1d 4282 . . . . . . 7  |-  ( w  =  (/)  ->  ( x  e.  ( B  ^m  w )  |->  ( G 
gsumg  x ) )  =  ( x  e.  ( B  ^m  (/) )  |->  ( G  gsumg  x ) ) )
3 xpeq1 4884 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  (/)  ->  ( w  X.  { J }
)  =  ( (/)  X. 
{ J } ) )
4 xp0r 4948 . . . . . . . . . 10  |-  ( (/)  X. 
{ J } )  =  (/)
53, 4syl6eq 2483 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  (/)  ->  ( w  X.  { J }
)  =  (/) )
65fveq2d 5724 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  (/)  ->  ( Xt_ `  ( w  X.  { J } ) )  =  ( Xt_ `  (/) ) )
76oveq1d 6088 . . . . . . 7  |-  ( w  =  (/)  ->  ( (
Xt_ `  ( w  X.  { J } ) )  Cn  J )  =  ( ( Xt_ `  (/) )  Cn  J
) )
82, 7eleq12d 2503 . . . . . 6  |-  ( w  =  (/)  ->  ( ( x  e.  ( B  ^m  w )  |->  ( G  gsumg  x ) )  e.  ( ( Xt_ `  (
w  X.  { J } ) )  Cn  J )  <->  ( x  e.  ( B  ^m  (/) )  |->  ( G  gsumg  x ) )  e.  ( ( Xt_ `  (/) )  Cn  J ) ) )
98imbi2d 308 . . . . 5  |-  ( w  =  (/)  ->  ( ( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd )  ->  ( x  e.  ( B  ^m  w )  |->  ( G  gsumg  x ) )  e.  ( ( Xt_ `  (
w  X.  { J } ) )  Cn  J ) )  <->  ( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd
)  ->  ( x  e.  ( B  ^m  (/) )  |->  ( G  gsumg  x ) )  e.  ( ( Xt_ `  (/) )  Cn  J ) ) ) )
10 oveq2 6081 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  y  ->  ( B  ^m  w )  =  ( B  ^m  y
) )
1110mpteq1d 4282 . . . . . . 7  |-  ( w  =  y  ->  (
x  e.  ( B  ^m  w )  |->  ( G  gsumg  x ) )  =  ( x  e.  ( B  ^m  y ) 
|->  ( G  gsumg  x ) ) )
12 xpeq1 4884 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  y  ->  (
w  X.  { J } )  =  ( y  X.  { J } ) )
1312fveq2d 5724 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  y  ->  ( Xt_ `  ( w  X.  { J } ) )  =  ( Xt_ `  (
y  X.  { J } ) ) )
1413oveq1d 6088 . . . . . . 7  |-  ( w  =  y  ->  (
( Xt_ `  ( w  X.  { J }
) )  Cn  J
)  =  ( (
Xt_ `  ( y  X.  { J } ) )  Cn  J ) )
1511, 14eleq12d 2503 . . . . . 6  |-  ( w  =  y  ->  (
( x  e.  ( B  ^m  w ) 
|->  ( G  gsumg  x ) )  e.  ( ( Xt_ `  (
w  X.  { J } ) )  Cn  J )  <->  ( x  e.  ( B  ^m  y
)  |->  ( G  gsumg  x ) )  e.  ( (
Xt_ `  ( y  X.  { J } ) )  Cn  J ) ) )
1615imbi2d 308 . . . . 5  |-  ( w  =  y  ->  (
( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd )  -> 
( x  e.  ( B  ^m  w ) 
|->  ( G  gsumg  x ) )  e.  ( ( Xt_ `  (
w  X.  { J } ) )  Cn  J ) )  <->  ( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd
)  ->  ( x  e.  ( B  ^m  y
)  |->  ( G  gsumg  x ) )  e.  ( (
Xt_ `  ( y  X.  { J } ) )  Cn  J ) ) ) )
17 oveq2 6081 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( B  ^m  w )  =  ( B  ^m  ( y  u.  { z } ) ) )
1817mpteq1d 4282 . . . . . . 7  |-  ( w  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( x  e.  ( B  ^m  w
)  |->  ( G  gsumg  x ) )  =  ( x  e.  ( B  ^m  ( y  u.  {
z } ) ) 
|->  ( G  gsumg  x ) ) )
19 xpeq1 4884 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( w  X.  { J } )  =  ( ( y  u. 
{ z } )  X.  { J }
) )
2019fveq2d 5724 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( Xt_ `  (
w  X.  { J } ) )  =  ( Xt_ `  (
( y  u.  {
z } )  X. 
{ J } ) ) )
2120oveq1d 6088 . . . . . . 7  |-  ( w  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( ( Xt_ `  ( w  X.  { J } ) )  Cn  J )  =  ( ( Xt_ `  (
( y  u.  {
z } )  X. 
{ J } ) )  Cn  J ) )
2218, 21eleq12d 2503 . . . . . 6  |-  ( w  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( ( x  e.  ( B  ^m  w )  |->  ( G 
gsumg  x ) )  e.  ( ( Xt_ `  (
w  X.  { J } ) )  Cn  J )  <->  ( x  e.  ( B  ^m  (
y  u.  { z } ) )  |->  ( G  gsumg  x ) )  e.  ( ( Xt_ `  (
( y  u.  {
z } )  X. 
{ J } ) )  Cn  J ) ) )
2322imbi2d 308 . . . . 5  |-  ( w  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( ( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd )  ->  ( x  e.  ( B  ^m  w
)  |->  ( G  gsumg  x ) )  e.  ( (
Xt_ `  ( w  X.  { J } ) )  Cn  J ) )  <->  ( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd )  ->  ( x  e.  ( B  ^m  (
y  u.  { z } ) )  |->  ( G  gsumg  x ) )  e.  ( ( Xt_ `  (
( y  u.  {
z } )  X. 
{ J } ) )  Cn  J ) ) ) )
24 oveq2 6081 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  A  ->  ( B  ^m  w )  =  ( B  ^m  A
) )
2524mpteq1d 4282 . . . . . . 7  |-  ( w  =  A  ->  (
x  e.  ( B  ^m  w )  |->  ( G  gsumg  x ) )  =  ( x  e.  ( B  ^m  A ) 
|->  ( G  gsumg  x ) ) )
26 xpeq1 4884 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  A  ->  (
w  X.  { J } )  =  ( A  X.  { J } ) )
2726fveq2d 5724 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  A  ->  ( Xt_ `  ( w  X.  { J } ) )  =  ( Xt_ `  ( A  X.  { J }
) ) )
2827oveq1d 6088 . . . . . . 7  |-  ( w  =  A  ->  (
( Xt_ `  ( w  X.  { J }
) )  Cn  J
)  =  ( (
Xt_ `  ( A  X.  { J } ) )  Cn  J ) )
2925, 28eleq12d 2503 . . . . . 6  |-  ( w  =  A  ->  (
( x  e.  ( B  ^m  w ) 
|->  ( G  gsumg  x ) )  e.  ( ( Xt_ `  (
w  X.  { J } ) )  Cn  J )  <->  ( x  e.  ( B  ^m  A
)  |->  ( G  gsumg  x ) )  e.  ( (
Xt_ `  ( A  X.  { J } ) )  Cn  J ) ) )
3029imbi2d 308 . . . . 5  |-  ( w  =  A  ->  (
( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd )  -> 
( x  e.  ( B  ^m  w ) 
|->  ( G  gsumg  x ) )  e.  ( ( Xt_ `  (
w  X.  { J } ) )  Cn  J ) )  <->  ( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd
)  ->  ( x  e.  ( B  ^m  A
)  |->  ( G  gsumg  x ) )  e.  ( (
Xt_ `  ( A  X.  { J } ) )  Cn  J ) ) ) )
31 elmapi 7030 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( B  ^m  (/) )  ->  x : (/) --> B )
32 ffn 5583 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x : (/) --> B  ->  x  Fn  (/) )
3331, 32syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( B  ^m  (/) )  ->  x  Fn  (/) )
34 fn0 5556 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  Fn  (/)  <->  x  =  (/) )
3533, 34sylib 189 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( B  ^m  (/) )  ->  x  =  (/) )
3635oveq2d 6089 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( B  ^m  (/) )  ->  ( G  gsumg  x )  =  ( G 
gsumg  (/) ) )
37 eqid 2435 . . . . . . . . 9  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
3837gsum0 14772 . . . . . . . 8  |-  ( G 
gsumg  (/) )  =  ( 0g
`  G )
3936, 38syl6eq 2483 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( B  ^m  (/) )  ->  ( G  gsumg  x )  =  ( 0g
`  G ) )
4039mpteq2ia 4283 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( B  ^m  (/) )  |->  ( G  gsumg  x ) )  =  ( x  e.  ( B  ^m  (/) )  |->  ( 0g `  G ) )
41 0ex 4331 . . . . . . . 8  |-  (/)  e.  _V
42 tmdgsum.j . . . . . . . . . 10  |-  J  =  ( TopOpen `  G )
43 tmdgsum.b . . . . . . . . . 10  |-  B  =  ( Base `  G
)
4442, 43tmdtopon 18103 . . . . . . . . 9  |-  ( G  e. TopMnd  ->  J  e.  (TopOn `  B ) )
4544adantl 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd )  ->  J  e.  (TopOn `  B ) )
464fveq2i 5723 . . . . . . . . . 10  |-  ( Xt_ `  ( (/)  X.  { J } ) )  =  ( Xt_ `  (/) )
4746eqcomi 2439 . . . . . . . . 9  |-  ( Xt_ `  (/) )  =  ( Xt_ `  ( (/)  X.  { J } ) )
4847pttoponconst 17621 . . . . . . . 8  |-  ( (
(/)  e.  _V  /\  J  e.  (TopOn `  B )
)  ->  ( Xt_ `  (/) )  e.  (TopOn `  ( B  ^m  (/) ) ) )
4941, 45, 48sylancr 645 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd )  ->  ( Xt_ `  (/) )  e.  (TopOn `  ( B  ^m  (/) ) ) )
50 tmdmnd 18097 . . . . . . . . 9  |-  ( G  e. TopMnd  ->  G  e.  Mnd )
5150adantl 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd )  ->  G  e.  Mnd )
5243, 37mndidcl 14706 . . . . . . . 8  |-  ( G  e.  Mnd  ->  ( 0g `  G )  e.  B )
5351, 52syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd )  ->  ( 0g `  G )  e.  B
)
5449, 45, 53cnmptc 17686 . . . . . 6  |-  ( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd )  ->  ( x  e.  ( B  ^m  (/) )  |->  ( 0g `  G ) )  e.  ( (
Xt_ `  (/) )  Cn  J ) )
5540, 54syl5eqel 2519 . . . . 5  |-  ( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd )  ->  ( x  e.  ( B  ^m  (/) )  |->  ( G  gsumg  x ) )  e.  ( ( Xt_ `  (/) )  Cn  J ) )
56 oveq2 6081 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  w  ->  ( G  gsumg  x )  =  ( G  gsumg  w ) )
5756cbvmptv 4292 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( B  ^m  ( y  u.  {
z } ) ) 
|->  ( G  gsumg  x ) )  =  ( w  e.  ( B  ^m  ( y  u.  { z } ) )  |->  ( G 
gsumg  w ) )
58 eqid 2435 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
59 simpl1l 1008 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd )  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( x  e.  ( B  ^m  y )  |->  ( G 
gsumg  x ) )  e.  ( ( Xt_ `  (
y  X.  { J } ) )  Cn  J ) )  /\  w  e.  ( B  ^m  ( y  u.  {
z } ) ) )  ->  G  e. CMnd )
60 simp2l 983 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd )  /\  (
y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  /\  ( x  e.  ( B  ^m  y
)  |->  ( G  gsumg  x ) )  e.  ( (
Xt_ `  ( y  X.  { J } ) )  Cn  J ) )  ->  y  e.  Fin )
61 snfi 7179 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  { z }  e.  Fin
62 unfi 7366 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  { z }  e.  Fin )  ->  ( y  u. 
{ z } )  e.  Fin )
6360, 61, 62sylancl 644 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd )  /\  (
y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  /\  ( x  e.  ( B  ^m  y
)  |->  ( G  gsumg  x ) )  e.  ( (
Xt_ `  ( y  X.  { J } ) )  Cn  J ) )  ->  ( y  u.  { z } )  e.  Fin )
6463adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd )  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( x  e.  ( B  ^m  y )  |->  ( G 
gsumg  x ) )  e.  ( ( Xt_ `  (
y  X.  { J } ) )  Cn  J ) )  /\  w  e.  ( B  ^m  ( y  u.  {
z } ) ) )  ->  ( y  u.  { z } )  e.  Fin )
65 elmapi 7030 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  e.  ( B  ^m  ( y  u.  {
z } ) )  ->  w : ( y  u.  { z } ) --> B )
6665adantl 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd )  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( x  e.  ( B  ^m  y )  |->  ( G 
gsumg  x ) )  e.  ( ( Xt_ `  (
y  X.  { J } ) )  Cn  J ) )  /\  w  e.  ( B  ^m  ( y  u.  {
z } ) ) )  ->  w :
( y  u.  {
z } ) --> B )
6764, 66fisuppfi 14765 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd )  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( x  e.  ( B  ^m  y )  |->  ( G 
gsumg  x ) )  e.  ( ( Xt_ `  (
y  X.  { J } ) )  Cn  J ) )  /\  w  e.  ( B  ^m  ( y  u.  {
z } ) ) )  ->  ( `' w " ( _V  \  { ( 0g `  G ) } ) )  e.  Fin )
68 simpl2r 1011 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd )  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( x  e.  ( B  ^m  y )  |->  ( G 
gsumg  x ) )  e.  ( ( Xt_ `  (
y  X.  { J } ) )  Cn  J ) )  /\  w  e.  ( B  ^m  ( y  u.  {
z } ) ) )  ->  -.  z  e.  y )
69 disjsn 3860 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  i^i  { z } )  =  (/)  <->  -.  z  e.  y )
7068, 69sylibr 204 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd )  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( x  e.  ( B  ^m  y )  |->  ( G 
gsumg  x ) )  e.  ( ( Xt_ `  (
y  X.  { J } ) )  Cn  J ) )  /\  w  e.  ( B  ^m  ( y  u.  {
z } ) ) )  ->  ( y  i^i  { z } )  =  (/) )
71 eqidd 2436 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd )  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( x  e.  ( B  ^m  y )  |->  ( G 
gsumg  x ) )  e.  ( ( Xt_ `  (
y  X.  { J } ) )  Cn  J ) )  /\  w  e.  ( B  ^m  ( y  u.  {
z } ) ) )  ->  ( y  u.  { z } )  =  ( y  u. 
{ z } ) )
7243, 37, 58, 59, 64, 66, 67, 70, 71gsumsplit 15522 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd )  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( x  e.  ( B  ^m  y )  |->  ( G 
gsumg  x ) )  e.  ( ( Xt_ `  (
y  X.  { J } ) )  Cn  J ) )  /\  w  e.  ( B  ^m  ( y  u.  {
z } ) ) )  ->  ( G  gsumg  w )  =  ( ( G  gsumg  ( w  |`  y
) ) ( +g  `  G ) ( G 
gsumg  ( w  |`  { z } ) ) ) )
7372mpteq2dva 4287 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd )  /\  (
y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  /\  ( x  e.  ( B  ^m  y
)  |->  ( G  gsumg  x ) )  e.  ( (
Xt_ `  ( y  X.  { J } ) )  Cn  J ) )  ->  ( w  e.  ( B  ^m  (
y  u.  { z } ) )  |->  ( G  gsumg  w ) )  =  ( w  e.  ( B  ^m  ( y  u.  { z } ) )  |->  ( ( G  gsumg  ( w  |`  y
) ) ( +g  `  G ) ( G 
gsumg  ( w  |`  { z } ) ) ) ) )
7457, 73syl5eq 2479 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd )  /\  (
y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  /\  ( x  e.  ( B  ^m  y
)  |->  ( G  gsumg  x ) )  e.  ( (
Xt_ `  ( y  X.  { J } ) )  Cn  J ) )  ->  ( x  e.  ( B  ^m  (
y  u.  { z } ) )  |->  ( G  gsumg  x ) )  =  ( w  e.  ( B  ^m  ( y  u.  { z } ) )  |->  ( ( G  gsumg  ( w  |`  y
) ) ( +g  `  G ) ( G 
gsumg  ( w  |`  { z } ) ) ) ) )
75 simp1r 982 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd )  /\  (
y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  /\  ( x  e.  ( B  ^m  y
)  |->  ( G  gsumg  x ) )  e.  ( (
Xt_ `  ( y  X.  { J } ) )  Cn  J ) )  ->  G  e. TopMnd )
7675, 44syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd )  /\  (
y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  /\  ( x  e.  ( B  ^m  y
)  |->  ( G  gsumg  x ) )  e.  ( (
Xt_ `  ( y  X.  { J } ) )  Cn  J ) )  ->  J  e.  (TopOn `  B ) )
77 eqid 2435 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Xt_ `  ( ( y  u. 
{ z } )  X.  { J }
) )  =  (
Xt_ `  ( (
y  u.  { z } )  X.  { J } ) )
7877pttoponconst 17621 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  u.  {
z } )  e. 
Fin  /\  J  e.  (TopOn `  B ) )  ->  ( Xt_ `  (
( y  u.  {
z } )  X. 
{ J } ) )  e.  (TopOn `  ( B  ^m  (
y  u.  { z } ) ) ) )
7963, 76, 78syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd )  /\  (
y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  /\  ( x  e.  ( B  ^m  y
)  |->  ( G  gsumg  x ) )  e.  ( (
Xt_ `  ( y  X.  { J } ) )  Cn  J ) )  ->  ( Xt_ `  ( ( y  u. 
{ z } )  X.  { J }
) )  e.  (TopOn `  ( B  ^m  (
y  u.  { z } ) ) ) )
80 toponuni 16984 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
Xt_ `  ( (
y  u.  { z } )  X.  { J } ) )  e.  (TopOn `  ( B  ^m  ( y  u.  {
z } ) ) )  ->  ( B  ^m  ( y  u.  {
z } ) )  =  U. ( Xt_ `  ( ( y  u. 
{ z } )  X.  { J }
) ) )
8179, 80syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd )  /\  (
y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  /\  ( x  e.  ( B  ^m  y
)  |->  ( G  gsumg  x ) )  e.  ( (
Xt_ `  ( y  X.  { J } ) )  Cn  J ) )  ->  ( B  ^m  ( y  u.  {
z } ) )  =  U. ( Xt_ `  ( ( y  u. 
{ z } )  X.  { J }
) ) )
8281mpteq1d 4282 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd )  /\  (
y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  /\  ( x  e.  ( B  ^m  y
)  |->  ( G  gsumg  x ) )  e.  ( (
Xt_ `  ( y  X.  { J } ) )  Cn  J ) )  ->  ( w  e.  ( B  ^m  (
y  u.  { z } ) )  |->  ( w  |`  y )
)  =  ( w  e.  U. ( Xt_ `  ( ( y  u. 
{ z } )  X.  { J }
) )  |->  ( w  |`  y ) ) )
83 topontop 16983 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( J  e.  (TopOn `  B
)  ->  J  e.  Top )
8475, 44, 833syl 19 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd )  /\  (
y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  /\  ( x  e.  ( B  ^m  y
)  |->  ( G  gsumg  x ) )  e.  ( (
Xt_ `  ( y  X.  { J } ) )  Cn  J ) )  ->  J  e.  Top )
85 fconst6g 5624 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( J  e.  Top  ->  (
( y  u.  {
z } )  X. 
{ J } ) : ( y  u. 
{ z } ) --> Top )
8684, 85syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd )  /\  (
y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  /\  ( x  e.  ( B  ^m  y
)  |->  ( G  gsumg  x ) )  e.  ( (
Xt_ `  ( y  X.  { J } ) )  Cn  J ) )  ->  ( (
y  u.  { z } )  X.  { J } ) : ( y  u.  { z } ) --> Top )
87 ssun1 3502 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  y  C_  ( y  u.  {
z } )
8887a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd )  /\  (
y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  /\  ( x  e.  ( B  ^m  y
)  |->  ( G  gsumg  x ) )  e.  ( (
Xt_ `  ( y  X.  { J } ) )  Cn  J ) )  ->  y  C_  ( y  u.  {
z } ) )
89 eqid 2435 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  U. ( Xt_ `  ( ( y  u.  { z } )  X.  { J } ) )  = 
U. ( Xt_ `  (
( y  u.  {
z } )  X. 
{ J } ) )
90 xpssres 5172 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y 
C_  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( ( ( y  u.  { z } )  X.  { J } )  |`  y
)  =  ( y  X.  { J }
) )
9187, 90ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( y  u.  {
z } )  X. 
{ J } )  |`  y )  =  ( y  X.  { J } )
9291eqcomi 2439 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  X.  { J }
)  =  ( ( ( y  u.  {
z } )  X. 
{ J } )  |`  y )
9392fveq2i 5723 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Xt_ `  ( y  X.  { J } ) )  =  ( Xt_ `  (
( ( y  u. 
{ z } )  X.  { J }
)  |`  y ) )
9489, 77, 93ptrescn 17663 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( y  u.  {
z } )  e. 
Fin  /\  ( (
y  u.  { z } )  X.  { J } ) : ( y  u.  { z } ) --> Top  /\  y  C_  ( y  u. 
{ z } ) )  ->  ( w  e.  U. ( Xt_ `  (
( y  u.  {
z } )  X. 
{ J } ) )  |->  ( w  |`  y ) )  e.  ( ( Xt_ `  (
( y  u.  {
z } )  X. 
{ J } ) )  Cn  ( Xt_ `  ( y  X.  { J } ) ) ) )
9563, 86, 88, 94syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd )  /\  (
y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  /\  ( x  e.  ( B  ^m  y
)  |->  ( G  gsumg  x ) )  e.  ( (
Xt_ `  ( y  X.  { J } ) )  Cn  J ) )  ->  ( w  e.  U. ( Xt_ `  (
( y  u.  {
z } )  X. 
{ J } ) )  |->  ( w  |`  y ) )  e.  ( ( Xt_ `  (
( y  u.  {
z } )  X. 
{ J } ) )  Cn  ( Xt_ `  ( y  X.  { J } ) ) ) )
9682, 95eqeltrd 2509 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd )  /\  (
y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  /\  ( x  e.  ( B  ^m  y
)  |->  ( G  gsumg  x ) )  e.  ( (
Xt_ `  ( y  X.  { J } ) )  Cn  J ) )  ->  ( w  e.  ( B  ^m  (
y  u.  { z } ) )  |->  ( w  |`  y )
)  e.  ( (
Xt_ `  ( (
y  u.  { z } )  X.  { J } ) )  Cn  ( Xt_ `  (
y  X.  { J } ) ) ) )
97 eqid 2435 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Xt_ `  ( y  X.  { J } ) )  =  ( Xt_ `  (
y  X.  { J } ) )
9897pttoponconst 17621 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  J  e.  (TopOn `  B
) )  ->  ( Xt_ `  ( y  X. 
{ J } ) )  e.  (TopOn `  ( B  ^m  y
) ) )
9960, 76, 98syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd )  /\  (
y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  /\  ( x  e.  ( B  ^m  y
)  |->  ( G  gsumg  x ) )  e.  ( (
Xt_ `  ( y  X.  { J } ) )  Cn  J ) )  ->  ( Xt_ `  ( y  X.  { J } ) )  e.  (TopOn `  ( B  ^m  y ) ) )
100 simp3 959 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd )  /\  (
y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  /\  ( x  e.  ( B  ^m  y
)  |->  ( G  gsumg  x ) )  e.  ( (
Xt_ `  ( y  X.  { J } ) )  Cn  J ) )  ->  ( x  e.  ( B  ^m  y
)  |->  ( G  gsumg  x ) )  e.  ( (
Xt_ `  ( y  X.  { J } ) )  Cn  J ) )
101 oveq2 6081 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( w  |`  y )  ->  ( G  gsumg  x )  =  ( G  gsumg  ( w  |`  y
) ) )
10279, 96, 99, 100, 101cnmpt11 17687 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd )  /\  (
y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  /\  ( x  e.  ( B  ^m  y
)  |->  ( G  gsumg  x ) )  e.  ( (
Xt_ `  ( y  X.  { J } ) )  Cn  J ) )  ->  ( w  e.  ( B  ^m  (
y  u.  { z } ) )  |->  ( G  gsumg  ( w  |`  y
) ) )  e.  ( ( Xt_ `  (
( y  u.  {
z } )  X. 
{ J } ) )  Cn  J ) )
10366feqmptd 5771 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd )  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( x  e.  ( B  ^m  y )  |->  ( G 
gsumg  x ) )  e.  ( ( Xt_ `  (
y  X.  { J } ) )  Cn  J ) )  /\  w  e.  ( B  ^m  ( y  u.  {
z } ) ) )  ->  w  =  ( k  e.  ( y  u.  { z } )  |->  ( w `
 k ) ) )
104103reseq1d 5137 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd )  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( x  e.  ( B  ^m  y )  |->  ( G 
gsumg  x ) )  e.  ( ( Xt_ `  (
y  X.  { J } ) )  Cn  J ) )  /\  w  e.  ( B  ^m  ( y  u.  {
z } ) ) )  ->  ( w  |` 
{ z } )  =  ( ( k  e.  ( y  u. 
{ z } ) 
|->  ( w `  k
) )  |`  { z } ) )
105 ssun2 3503 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  { z }  C_  ( y  u.  { z } )
106 resmpt 5183 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( { z }  C_  (
y  u.  { z } )  ->  (
( k  e.  ( y  u.  { z } )  |->  ( w `
 k ) )  |`  { z } )  =  ( k  e. 
{ z }  |->  ( w `  k ) ) )
107105, 106ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( k  e.  ( y  u.  { z } )  |->  ( w `  k ) )  |`  { z } )  =  ( k  e. 
{ z }  |->  ( w `  k ) )
108104, 107syl6eq 2483 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd )  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( x  e.  ( B  ^m  y )  |->  ( G 
gsumg  x ) )  e.  ( ( Xt_ `  (
y  X.  { J } ) )  Cn  J ) )  /\  w  e.  ( B  ^m  ( y  u.  {
z } ) ) )  ->  ( w  |` 
{ z } )  =  ( k  e. 
{ z }  |->  ( w `  k ) ) )
109108oveq2d 6089 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd )  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( x  e.  ( B  ^m  y )  |->  ( G 
gsumg  x ) )  e.  ( ( Xt_ `  (
y  X.  { J } ) )  Cn  J ) )  /\  w  e.  ( B  ^m  ( y  u.  {
z } ) ) )  ->  ( G  gsumg  ( w  |`  { z } ) )  =  ( G  gsumg  ( k  e.  {
z }  |->  ( w `
 k ) ) ) )
110 cmnmnd 15419 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( G  e. CMnd  ->  G  e.  Mnd )
11159, 110syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd )  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( x  e.  ( B  ^m  y )  |->  ( G 
gsumg  x ) )  e.  ( ( Xt_ `  (
y  X.  { J } ) )  Cn  J ) )  /\  w  e.  ( B  ^m  ( y  u.  {
z } ) ) )  ->  G  e.  Mnd )
112 vex 2951 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  z  e. 
_V
113112a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd )  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( x  e.  ( B  ^m  y )  |->  ( G 
gsumg  x ) )  e.  ( ( Xt_ `  (
y  X.  { J } ) )  Cn  J ) )  /\  w  e.  ( B  ^m  ( y  u.  {
z } ) ) )  ->  z  e.  _V )
114112snid 3833 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  z  e. 
{ z }
115 elun2 3507 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  e.  { z }  ->  z  e.  ( y  u.  { z } ) )
116114, 115mp1i 12 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd )  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( x  e.  ( B  ^m  y )  |->  ( G 
gsumg  x ) )  e.  ( ( Xt_ `  (
y  X.  { J } ) )  Cn  J ) )  /\  w  e.  ( B  ^m  ( y  u.  {
z } ) ) )  ->  z  e.  ( y  u.  {
z } ) )
11766, 116ffvelrnd 5863 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd )  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( x  e.  ( B  ^m  y )  |->  ( G 
gsumg  x ) )  e.  ( ( Xt_ `  (
y  X.  { J } ) )  Cn  J ) )  /\  w  e.  ( B  ^m  ( y  u.  {
z } ) ) )  ->  ( w `  z )  e.  B
)
118 fveq2 5720 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  z  ->  (
w `  k )  =  ( w `  z ) )
11943, 118gsumsn 15535 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  z  e.  _V  /\  (
w `  z )  e.  B )  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  {
z }  |->  ( w `
 k ) ) )  =  ( w `
 z ) )
120111, 113, 117, 119syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd )  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( x  e.  ( B  ^m  y )  |->  ( G 
gsumg  x ) )  e.  ( ( Xt_ `  (
y  X.  { J } ) )  Cn  J ) )  /\  w  e.  ( B  ^m  ( y  u.  {
z } ) ) )  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  { z }  |->  ( w `  k ) ) )  =  ( w `  z ) )
121109, 120eqtrd 2467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd )  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( x  e.  ( B  ^m  y )  |->  ( G 
gsumg  x ) )  e.  ( ( Xt_ `  (
y  X.  { J } ) )  Cn  J ) )  /\  w  e.  ( B  ^m  ( y  u.  {
z } ) ) )  ->  ( G  gsumg  ( w  |`  { z } ) )  =  ( w `  z
) )
122121mpteq2dva 4287 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd )  /\  (
y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  /\  ( x  e.  ( B  ^m  y
)  |->  ( G  gsumg  x ) )  e.  ( (
Xt_ `  ( y  X.  { J } ) )  Cn  J ) )  ->  ( w  e.  ( B  ^m  (
y  u.  { z } ) )  |->  ( G  gsumg  ( w  |`  { z } ) ) )  =  ( w  e.  ( B  ^m  (
y  u.  { z } ) )  |->  ( w `  z ) ) )
12381mpteq1d 4282 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd )  /\  (
y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  /\  ( x  e.  ( B  ^m  y
)  |->  ( G  gsumg  x ) )  e.  ( (
Xt_ `  ( y  X.  { J } ) )  Cn  J ) )  ->  ( w  e.  ( B  ^m  (
y  u.  { z } ) )  |->  ( w `  z ) )  =  ( w  e.  U. ( Xt_ `  ( ( y  u. 
{ z } )  X.  { J }
) )  |->  ( w `
 z ) ) )
124114, 115mp1i 12 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd )  /\  (
y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  /\  ( x  e.  ( B  ^m  y
)  |->  ( G  gsumg  x ) )  e.  ( (
Xt_ `  ( y  X.  { J } ) )  Cn  J ) )  ->  z  e.  ( y  u.  {
z } ) )
12589, 77ptpjcn 17635 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( y  u.  {
z } )  e. 
Fin  /\  ( (
y  u.  { z } )  X.  { J } ) : ( y  u.  { z } ) --> Top  /\  z  e.  ( y  u.  { z } ) )  ->  ( w  e.  U. ( Xt_ `  (
( y  u.  {
z } )  X. 
{ J } ) )  |->  ( w `  z ) )  e.  ( ( Xt_ `  (
( y  u.  {
z } )  X. 
{ J } ) )  Cn  ( ( ( y  u.  {
z } )  X. 
{ J } ) `
 z ) ) )
12663, 86, 124, 125syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd )  /\  (
y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  /\  ( x  e.  ( B  ^m  y
)  |->  ( G  gsumg  x ) )  e.  ( (
Xt_ `  ( y  X.  { J } ) )  Cn  J ) )  ->  ( w  e.  U. ( Xt_ `  (
( y  u.  {
z } )  X. 
{ J } ) )  |->  ( w `  z ) )  e.  ( ( Xt_ `  (
( y  u.  {
z } )  X. 
{ J } ) )  Cn  ( ( ( y  u.  {
z } )  X. 
{ J } ) `
 z ) ) )
127123, 126eqeltrd 2509 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd )  /\  (
y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  /\  ( x  e.  ( B  ^m  y
)  |->  ( G  gsumg  x ) )  e.  ( (
Xt_ `  ( y  X.  { J } ) )  Cn  J ) )  ->  ( w  e.  ( B  ^m  (
y  u.  { z } ) )  |->  ( w `  z ) )  e.  ( (
Xt_ `  ( (
y  u.  { z } )  X.  { J } ) )  Cn  ( ( ( y  u.  { z } )  X.  { J } ) `  z
) ) )
128 fvconst2g 5937 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( J  e.  Top  /\  z  e.  ( y  u.  { z } ) )  ->  ( (
( y  u.  {
z } )  X. 
{ J } ) `
 z )  =  J )
12984, 124, 128syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd )  /\  (
y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  /\  ( x  e.  ( B  ^m  y
)  |->  ( G  gsumg  x ) )  e.  ( (
Xt_ `  ( y  X.  { J } ) )  Cn  J ) )  ->  ( (
( y  u.  {
z } )  X. 
{ J } ) `
 z )  =  J )
130129oveq2d 6089 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd )  /\  (
y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  /\  ( x  e.  ( B  ^m  y
)  |->  ( G  gsumg  x ) )  e.  ( (
Xt_ `  ( y  X.  { J } ) )  Cn  J ) )  ->  ( ( Xt_ `  ( ( y  u.  { z } )  X.  { J } ) )  Cn  ( ( ( y  u.  { z } )  X.  { J } ) `  z
) )  =  ( ( Xt_ `  (
( y  u.  {
z } )  X. 
{ J } ) )  Cn  J ) )
131127, 130eleqtrd 2511 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd )  /\  (
y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  /\  ( x  e.  ( B  ^m  y
)  |->  ( G  gsumg  x ) )  e.  ( (
Xt_ `  ( y  X.  { J } ) )  Cn  J ) )  ->  ( w  e.  ( B  ^m  (
y  u.  { z } ) )  |->  ( w `  z ) )  e.  ( (
Xt_ `  ( (
y  u.  { z } )  X.  { J } ) )  Cn  J ) )
132122, 131eqeltrd 2509 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd )  /\  (
y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  /\  ( x  e.  ( B  ^m  y
)  |->  ( G  gsumg  x ) )  e.  ( (
Xt_ `  ( y  X.  { J } ) )  Cn  J ) )  ->  ( w  e.  ( B  ^m  (
y  u.  { z } ) )  |->  ( G  gsumg  ( w  |`  { z } ) ) )  e.  ( ( Xt_ `  ( ( y  u. 
{ z } )  X.  { J }
) )  Cn  J
) )
13342, 58, 75, 79, 102, 132cnmpt1plusg 18109 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd )  /\  (
y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  /\  ( x  e.  ( B  ^m  y
)  |->  ( G  gsumg  x ) )  e.  ( (
Xt_ `  ( y  X.  { J } ) )  Cn  J ) )  ->  ( w  e.  ( B  ^m  (
y  u.  { z } ) )  |->  ( ( G  gsumg  ( w  |`  y
) ) ( +g  `  G ) ( G 
gsumg  ( w  |`  { z } ) ) ) )  e.  ( (
Xt_ `  ( (
y  u.  { z } )  X.  { J } ) )  Cn  J ) )
13474, 133eqeltrd 2509 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd )  /\  (
y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
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)  |->  ( G  gsumg  x ) )  e.  ( (
Xt_ `  ( y  X.  { J } ) )  Cn  J ) )  ->  ( x  e.  ( B  ^m  (
y  u.  { z } ) )  |->  ( G  gsumg  x ) )  e.  ( ( Xt_ `  (
( y  u.  {
z } )  X. 
{ J } ) )  Cn  J ) )
1351343expia 1155 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd )  /\  (
y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
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( x  e.  ( B  ^m  y ) 
|->  ( G  gsumg  x ) )  e.  ( ( Xt_ `  (
y  X.  { J } ) )  Cn  J )  ->  (
x  e.  ( B  ^m  ( y  u. 
{ z } ) )  |->  ( G  gsumg  x ) )  e.  ( (
Xt_ `  ( (
y  u.  { z } )  X.  { J } ) )  Cn  J ) ) )
136135expcom 425 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
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)  ->  ( (
x  e.  ( B  ^m  y )  |->  ( G  gsumg  x ) )  e.  ( ( Xt_ `  (
y  X.  { J } ) )  Cn  J )  ->  (
x  e.  ( B  ^m  ( y  u. 
{ z } ) )  |->  ( G  gsumg  x ) )  e.  ( (
Xt_ `  ( (
y  u.  { z } )  X.  { J } ) )  Cn  J ) ) ) )
137136a2d 24 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  ->  ( (
( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd )  ->  ( x  e.  ( B  ^m  y )  |->  ( G  gsumg  x ) )  e.  ( ( Xt_ `  (
y  X.  { J } ) )  Cn  J ) )  -> 
( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd )  -> 
( x  e.  ( B  ^m  ( y  u.  { z } ) )  |->  ( G 
gsumg  x ) )  e.  ( ( Xt_ `  (
( y  u.  {
z } )  X. 
{ J } ) )  Cn  J ) ) ) )
1389, 16, 23, 30, 55, 137findcard2s 7341 . . . 4  |-  ( A  e.  Fin  ->  (
( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd )  ->  ( x  e.  ( B  ^m  A )  |->  ( G  gsumg  x ) )  e.  ( ( Xt_ `  ( A  X.  { J }
) )  Cn  J
) ) )
139138com12 29 . . 3  |-  ( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd )  ->  ( A  e.  Fin  ->  ( x  e.  ( B  ^m  A
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Xt_ `  ( A  X.  { J } ) )  Cn  J ) ) )
1401393impia 1150 . 2  |-  ( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd  /\  A  e.  Fin )  ->  ( x  e.  ( B  ^m  A
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Xt_ `  ( A  X.  { J } ) )  Cn  J ) )
14144, 83syl 16 . . . . 5  |-  ( G  e. TopMnd  ->  J  e.  Top )
142 xkopt 17679 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  Fin )  ->  ( J  ^ k o  ~P A )  =  ( Xt_ `  ( A  X.  { J }
) ) )
143141, 142sylan 458 . . . 4  |-  ( ( G  e. TopMnd  /\  A  e. 
Fin )  ->  ( J  ^ k o  ~P A )  =  (
Xt_ `  ( A  X.  { J } ) ) )
1441433adant1 975 . . 3  |-  ( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd  /\  A  e.  Fin )  ->  ( J  ^ k o  ~P A
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145144oveq1d 6088 . 2  |-  ( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd  /\  A  e.  Fin )  ->  ( ( J  ^ k o  ~P A )  Cn  J
)  =  ( (
Xt_ `  ( A  X.  { J } ) )  Cn  J ) )
146140, 145eleqtrrd 2512 1  |-  ( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd  /\  A  e.  Fin )  ->  ( x  e.  ( B  ^m  A
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Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   _Vcvv 2948    \ cdif 3309    u. cun 3310    i^i cin 3311    C_ wss 3312   (/)c0 3620   ~Pcpw 3791   {csn 3806   U.cuni 4007    e. cmpt 4258    X. cxp 4868    |` cres 4872    Fn wfn 5441   -->wf 5442   ` cfv 5446  (class class class)co 6073    ^m cmap 7010   Fincfn 7101   Basecbs 13461   +g cplusg 13521   TopOpenctopn 13641   Xt_cpt 13658   0gc0g 13715    gsumg cgsu 13716   Mndcmnd 14676  CMndccmn 15404   Topctop 16950  TopOnctopon 16951    Cn ccn 17280    ^ k o cxko 17585  TopMndctmd 18092
This theorem is referenced by:  tmdgsum2  18118
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7588  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-iin 4088  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-of 6297  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-2o 6717  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-ixp 7056  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-fi 7408  df-oi 7471  df-card 7818  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-nn 9993  df-2 10050  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-fz 11036  df-fzo 11128  df-seq 11316  df-hash 11611  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-sets 13467  df-ress 13468  df-plusg 13534  df-rest 13642  df-topgen 13659  df-pt 13660  df-0g 13719  df-gsum 13720  df-mre 13803  df-mrc 13804  df-acs 13806  df-mnd 14682  df-plusf 14683  df-submnd 14731  df-mulg 14807  df-cntz 15108  df-cmn 15406  df-top 16955  df-bases 16957  df-topon 16958  df-topsp 16959  df-cn 17283  df-cnp 17284  df-cmp 17442  df-tx 17586  df-xko 17587  df-tmd 18094
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