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Theorem tmdgsum 18047
Description: In a topological monoid, the group sum operation is a continuous function from the function space to the base topology. This theorem is not true when  A is infinite, because in this case for any basic open set of the domain one of the factors will be the whole space, so by varying the value of the functions to sum at this index, one can achieve any desired sum. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tmdgsum.j  |-  J  =  ( TopOpen `  G )
tmdgsum.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
Assertion
Ref Expression
tmdgsum  |-  ( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd  /\  A  e.  Fin )  ->  ( x  e.  ( B  ^m  A
)  |->  ( G  gsumg  x ) )  e.  ( ( J  ^ k o  ~P A )  Cn  J ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, J    x, B    x, G

Proof of Theorem tmdgsum
Dummy variables  k  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 6029 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  (/)  ->  ( B  ^m  w )  =  ( B  ^m  (/) ) )
21mpteq1d 4232 . . . . . . 7  |-  ( w  =  (/)  ->  ( x  e.  ( B  ^m  w )  |->  ( G 
gsumg  x ) )  =  ( x  e.  ( B  ^m  (/) )  |->  ( G  gsumg  x ) ) )
3 xpeq1 4833 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  (/)  ->  ( w  X.  { J }
)  =  ( (/)  X. 
{ J } ) )
4 xp0r 4897 . . . . . . . . . 10  |-  ( (/)  X. 
{ J } )  =  (/)
53, 4syl6eq 2436 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  (/)  ->  ( w  X.  { J }
)  =  (/) )
65fveq2d 5673 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  (/)  ->  ( Xt_ `  ( w  X.  { J } ) )  =  ( Xt_ `  (/) ) )
76oveq1d 6036 . . . . . . 7  |-  ( w  =  (/)  ->  ( (
Xt_ `  ( w  X.  { J } ) )  Cn  J )  =  ( ( Xt_ `  (/) )  Cn  J
) )
82, 7eleq12d 2456 . . . . . 6  |-  ( w  =  (/)  ->  ( ( x  e.  ( B  ^m  w )  |->  ( G  gsumg  x ) )  e.  ( ( Xt_ `  (
w  X.  { J } ) )  Cn  J )  <->  ( x  e.  ( B  ^m  (/) )  |->  ( G  gsumg  x ) )  e.  ( ( Xt_ `  (/) )  Cn  J ) ) )
98imbi2d 308 . . . . 5  |-  ( w  =  (/)  ->  ( ( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd )  ->  ( x  e.  ( B  ^m  w )  |->  ( G  gsumg  x ) )  e.  ( ( Xt_ `  (
w  X.  { J } ) )  Cn  J ) )  <->  ( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd
)  ->  ( x  e.  ( B  ^m  (/) )  |->  ( G  gsumg  x ) )  e.  ( ( Xt_ `  (/) )  Cn  J ) ) ) )
10 oveq2 6029 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  y  ->  ( B  ^m  w )  =  ( B  ^m  y
) )
1110mpteq1d 4232 . . . . . . 7  |-  ( w  =  y  ->  (
x  e.  ( B  ^m  w )  |->  ( G  gsumg  x ) )  =  ( x  e.  ( B  ^m  y ) 
|->  ( G  gsumg  x ) ) )
12 xpeq1 4833 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  y  ->  (
w  X.  { J } )  =  ( y  X.  { J } ) )
1312fveq2d 5673 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  y  ->  ( Xt_ `  ( w  X.  { J } ) )  =  ( Xt_ `  (
y  X.  { J } ) ) )
1413oveq1d 6036 . . . . . . 7  |-  ( w  =  y  ->  (
( Xt_ `  ( w  X.  { J }
) )  Cn  J
)  =  ( (
Xt_ `  ( y  X.  { J } ) )  Cn  J ) )
1511, 14eleq12d 2456 . . . . . 6  |-  ( w  =  y  ->  (
( x  e.  ( B  ^m  w ) 
|->  ( G  gsumg  x ) )  e.  ( ( Xt_ `  (
w  X.  { J } ) )  Cn  J )  <->  ( x  e.  ( B  ^m  y
)  |->  ( G  gsumg  x ) )  e.  ( (
Xt_ `  ( y  X.  { J } ) )  Cn  J ) ) )
1615imbi2d 308 . . . . 5  |-  ( w  =  y  ->  (
( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd )  -> 
( x  e.  ( B  ^m  w ) 
|->  ( G  gsumg  x ) )  e.  ( ( Xt_ `  (
w  X.  { J } ) )  Cn  J ) )  <->  ( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd
)  ->  ( x  e.  ( B  ^m  y
)  |->  ( G  gsumg  x ) )  e.  ( (
Xt_ `  ( y  X.  { J } ) )  Cn  J ) ) ) )
17 oveq2 6029 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( B  ^m  w )  =  ( B  ^m  ( y  u.  { z } ) ) )
1817mpteq1d 4232 . . . . . . 7  |-  ( w  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( x  e.  ( B  ^m  w
)  |->  ( G  gsumg  x ) )  =  ( x  e.  ( B  ^m  ( y  u.  {
z } ) ) 
|->  ( G  gsumg  x ) ) )
19 xpeq1 4833 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( w  X.  { J } )  =  ( ( y  u. 
{ z } )  X.  { J }
) )
2019fveq2d 5673 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( Xt_ `  (
w  X.  { J } ) )  =  ( Xt_ `  (
( y  u.  {
z } )  X. 
{ J } ) ) )
2120oveq1d 6036 . . . . . . 7  |-  ( w  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( ( Xt_ `  ( w  X.  { J } ) )  Cn  J )  =  ( ( Xt_ `  (
( y  u.  {
z } )  X. 
{ J } ) )  Cn  J ) )
2218, 21eleq12d 2456 . . . . . 6  |-  ( w  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( ( x  e.  ( B  ^m  w )  |->  ( G 
gsumg  x ) )  e.  ( ( Xt_ `  (
w  X.  { J } ) )  Cn  J )  <->  ( x  e.  ( B  ^m  (
y  u.  { z } ) )  |->  ( G  gsumg  x ) )  e.  ( ( Xt_ `  (
( y  u.  {
z } )  X. 
{ J } ) )  Cn  J ) ) )
2322imbi2d 308 . . . . 5  |-  ( w  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( ( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd )  ->  ( x  e.  ( B  ^m  w
)  |->  ( G  gsumg  x ) )  e.  ( (
Xt_ `  ( w  X.  { J } ) )  Cn  J ) )  <->  ( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd )  ->  ( x  e.  ( B  ^m  (
y  u.  { z } ) )  |->  ( G  gsumg  x ) )  e.  ( ( Xt_ `  (
( y  u.  {
z } )  X. 
{ J } ) )  Cn  J ) ) ) )
24 oveq2 6029 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  A  ->  ( B  ^m  w )  =  ( B  ^m  A
) )
2524mpteq1d 4232 . . . . . . 7  |-  ( w  =  A  ->  (
x  e.  ( B  ^m  w )  |->  ( G  gsumg  x ) )  =  ( x  e.  ( B  ^m  A ) 
|->  ( G  gsumg  x ) ) )
26 xpeq1 4833 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  A  ->  (
w  X.  { J } )  =  ( A  X.  { J } ) )
2726fveq2d 5673 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  A  ->  ( Xt_ `  ( w  X.  { J } ) )  =  ( Xt_ `  ( A  X.  { J }
) ) )
2827oveq1d 6036 . . . . . . 7  |-  ( w  =  A  ->  (
( Xt_ `  ( w  X.  { J }
) )  Cn  J
)  =  ( (
Xt_ `  ( A  X.  { J } ) )  Cn  J ) )
2925, 28eleq12d 2456 . . . . . 6  |-  ( w  =  A  ->  (
( x  e.  ( B  ^m  w ) 
|->  ( G  gsumg  x ) )  e.  ( ( Xt_ `  (
w  X.  { J } ) )  Cn  J )  <->  ( x  e.  ( B  ^m  A
)  |->  ( G  gsumg  x ) )  e.  ( (
Xt_ `  ( A  X.  { J } ) )  Cn  J ) ) )
3029imbi2d 308 . . . . 5  |-  ( w  =  A  ->  (
( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd )  -> 
( x  e.  ( B  ^m  w ) 
|->  ( G  gsumg  x ) )  e.  ( ( Xt_ `  (
w  X.  { J } ) )  Cn  J ) )  <->  ( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd
)  ->  ( x  e.  ( B  ^m  A
)  |->  ( G  gsumg  x ) )  e.  ( (
Xt_ `  ( A  X.  { J } ) )  Cn  J ) ) ) )
31 elmapi 6975 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( B  ^m  (/) )  ->  x : (/) --> B )
32 ffn 5532 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x : (/) --> B  ->  x  Fn  (/) )
3331, 32syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( B  ^m  (/) )  ->  x  Fn  (/) )
34 fn0 5505 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  Fn  (/)  <->  x  =  (/) )
3533, 34sylib 189 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( B  ^m  (/) )  ->  x  =  (/) )
3635oveq2d 6037 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( B  ^m  (/) )  ->  ( G  gsumg  x )  =  ( G 
gsumg  (/) ) )
37 eqid 2388 . . . . . . . . 9  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
3837gsum0 14708 . . . . . . . 8  |-  ( G 
gsumg  (/) )  =  ( 0g
`  G )
3936, 38syl6eq 2436 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( B  ^m  (/) )  ->  ( G  gsumg  x )  =  ( 0g
`  G ) )
4039mpteq2ia 4233 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( B  ^m  (/) )  |->  ( G  gsumg  x ) )  =  ( x  e.  ( B  ^m  (/) )  |->  ( 0g `  G ) )
41 0ex 4281 . . . . . . . 8  |-  (/)  e.  _V
42 tmdgsum.j . . . . . . . . . 10  |-  J  =  ( TopOpen `  G )
43 tmdgsum.b . . . . . . . . . 10  |-  B  =  ( Base `  G
)
4442, 43tmdtopon 18033 . . . . . . . . 9  |-  ( G  e. TopMnd  ->  J  e.  (TopOn `  B ) )
4544adantl 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd )  ->  J  e.  (TopOn `  B ) )
464fveq2i 5672 . . . . . . . . . 10  |-  ( Xt_ `  ( (/)  X.  { J } ) )  =  ( Xt_ `  (/) )
4746eqcomi 2392 . . . . . . . . 9  |-  ( Xt_ `  (/) )  =  ( Xt_ `  ( (/)  X.  { J } ) )
4847pttoponconst 17551 . . . . . . . 8  |-  ( (
(/)  e.  _V  /\  J  e.  (TopOn `  B )
)  ->  ( Xt_ `  (/) )  e.  (TopOn `  ( B  ^m  (/) ) ) )
4941, 45, 48sylancr 645 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd )  ->  ( Xt_ `  (/) )  e.  (TopOn `  ( B  ^m  (/) ) ) )
50 tmdmnd 18027 . . . . . . . . 9  |-  ( G  e. TopMnd  ->  G  e.  Mnd )
5150adantl 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd )  ->  G  e.  Mnd )
5243, 37mndidcl 14642 . . . . . . . 8  |-  ( G  e.  Mnd  ->  ( 0g `  G )  e.  B )
5351, 52syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd )  ->  ( 0g `  G )  e.  B
)
5449, 45, 53cnmptc 17616 . . . . . 6  |-  ( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd )  ->  ( x  e.  ( B  ^m  (/) )  |->  ( 0g `  G ) )  e.  ( (
Xt_ `  (/) )  Cn  J ) )
5540, 54syl5eqel 2472 . . . . 5  |-  ( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd )  ->  ( x  e.  ( B  ^m  (/) )  |->  ( G  gsumg  x ) )  e.  ( ( Xt_ `  (/) )  Cn  J ) )
56 oveq2 6029 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  w  ->  ( G  gsumg  x )  =  ( G  gsumg  w ) )
5756cbvmptv 4242 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( B  ^m  ( y  u.  {
z } ) ) 
|->  ( G  gsumg  x ) )  =  ( w  e.  ( B  ^m  ( y  u.  { z } ) )  |->  ( G 
gsumg  w ) )
58 eqid 2388 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
59 simpl1l 1008 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd )  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( x  e.  ( B  ^m  y )  |->  ( G 
gsumg  x ) )  e.  ( ( Xt_ `  (
y  X.  { J } ) )  Cn  J ) )  /\  w  e.  ( B  ^m  ( y  u.  {
z } ) ) )  ->  G  e. CMnd )
60 simp2l 983 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd )  /\  (
y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  /\  ( x  e.  ( B  ^m  y
)  |->  ( G  gsumg  x ) )  e.  ( (
Xt_ `  ( y  X.  { J } ) )  Cn  J ) )  ->  y  e.  Fin )
61 snfi 7124 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  { z }  e.  Fin
62 unfi 7311 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  { z }  e.  Fin )  ->  ( y  u. 
{ z } )  e.  Fin )
6360, 61, 62sylancl 644 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd )  /\  (
y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  /\  ( x  e.  ( B  ^m  y
)  |->  ( G  gsumg  x ) )  e.  ( (
Xt_ `  ( y  X.  { J } ) )  Cn  J ) )  ->  ( y  u.  { z } )  e.  Fin )
6463adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd )  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( x  e.  ( B  ^m  y )  |->  ( G 
gsumg  x ) )  e.  ( ( Xt_ `  (
y  X.  { J } ) )  Cn  J ) )  /\  w  e.  ( B  ^m  ( y  u.  {
z } ) ) )  ->  ( y  u.  { z } )  e.  Fin )
65 elmapi 6975 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  e.  ( B  ^m  ( y  u.  {
z } ) )  ->  w : ( y  u.  { z } ) --> B )
6665adantl 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd )  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( x  e.  ( B  ^m  y )  |->  ( G 
gsumg  x ) )  e.  ( ( Xt_ `  (
y  X.  { J } ) )  Cn  J ) )  /\  w  e.  ( B  ^m  ( y  u.  {
z } ) ) )  ->  w :
( y  u.  {
z } ) --> B )
6764, 66fisuppfi 14701 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd )  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( x  e.  ( B  ^m  y )  |->  ( G 
gsumg  x ) )  e.  ( ( Xt_ `  (
y  X.  { J } ) )  Cn  J ) )  /\  w  e.  ( B  ^m  ( y  u.  {
z } ) ) )  ->  ( `' w " ( _V  \  { ( 0g `  G ) } ) )  e.  Fin )
68 simpl2r 1011 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd )  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( x  e.  ( B  ^m  y )  |->  ( G 
gsumg  x ) )  e.  ( ( Xt_ `  (
y  X.  { J } ) )  Cn  J ) )  /\  w  e.  ( B  ^m  ( y  u.  {
z } ) ) )  ->  -.  z  e.  y )
69 disjsn 3812 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  i^i  { z } )  =  (/)  <->  -.  z  e.  y )
7068, 69sylibr 204 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd )  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( x  e.  ( B  ^m  y )  |->  ( G 
gsumg  x ) )  e.  ( ( Xt_ `  (
y  X.  { J } ) )  Cn  J ) )  /\  w  e.  ( B  ^m  ( y  u.  {
z } ) ) )  ->  ( y  i^i  { z } )  =  (/) )
71 eqidd 2389 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd )  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( x  e.  ( B  ^m  y )  |->  ( G 
gsumg  x ) )  e.  ( ( Xt_ `  (
y  X.  { J } ) )  Cn  J ) )  /\  w  e.  ( B  ^m  ( y  u.  {
z } ) ) )  ->  ( y  u.  { z } )  =  ( y  u. 
{ z } ) )
7243, 37, 58, 59, 64, 66, 67, 70, 71gsumsplit 15458 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd )  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( x  e.  ( B  ^m  y )  |->  ( G 
gsumg  x ) )  e.  ( ( Xt_ `  (
y  X.  { J } ) )  Cn  J ) )  /\  w  e.  ( B  ^m  ( y  u.  {
z } ) ) )  ->  ( G  gsumg  w )  =  ( ( G  gsumg  ( w  |`  y
) ) ( +g  `  G ) ( G 
gsumg  ( w  |`  { z } ) ) ) )
7372mpteq2dva 4237 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd )  /\  (
y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  /\  ( x  e.  ( B  ^m  y
)  |->  ( G  gsumg  x ) )  e.  ( (
Xt_ `  ( y  X.  { J } ) )  Cn  J ) )  ->  ( w  e.  ( B  ^m  (
y  u.  { z } ) )  |->  ( G  gsumg  w ) )  =  ( w  e.  ( B  ^m  ( y  u.  { z } ) )  |->  ( ( G  gsumg  ( w  |`  y
) ) ( +g  `  G ) ( G 
gsumg  ( w  |`  { z } ) ) ) ) )
7457, 73syl5eq 2432 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd )  /\  (
y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  /\  ( x  e.  ( B  ^m  y
)  |->  ( G  gsumg  x ) )  e.  ( (
Xt_ `  ( y  X.  { J } ) )  Cn  J ) )  ->  ( x  e.  ( B  ^m  (
y  u.  { z } ) )  |->  ( G  gsumg  x ) )  =  ( w  e.  ( B  ^m  ( y  u.  { z } ) )  |->  ( ( G  gsumg  ( w  |`  y
) ) ( +g  `  G ) ( G 
gsumg  ( w  |`  { z } ) ) ) ) )
75 simp1r 982 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd )  /\  (
y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  /\  ( x  e.  ( B  ^m  y
)  |->  ( G  gsumg  x ) )  e.  ( (
Xt_ `  ( y  X.  { J } ) )  Cn  J ) )  ->  G  e. TopMnd )
7675, 44syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd )  /\  (
y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  /\  ( x  e.  ( B  ^m  y
)  |->  ( G  gsumg  x ) )  e.  ( (
Xt_ `  ( y  X.  { J } ) )  Cn  J ) )  ->  J  e.  (TopOn `  B ) )
77 eqid 2388 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Xt_ `  ( ( y  u. 
{ z } )  X.  { J }
) )  =  (
Xt_ `  ( (
y  u.  { z } )  X.  { J } ) )
7877pttoponconst 17551 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  u.  {
z } )  e. 
Fin  /\  J  e.  (TopOn `  B ) )  ->  ( Xt_ `  (
( y  u.  {
z } )  X. 
{ J } ) )  e.  (TopOn `  ( B  ^m  (
y  u.  { z } ) ) ) )
7963, 76, 78syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd )  /\  (
y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  /\  ( x  e.  ( B  ^m  y
)  |->  ( G  gsumg  x ) )  e.  ( (
Xt_ `  ( y  X.  { J } ) )  Cn  J ) )  ->  ( Xt_ `  ( ( y  u. 
{ z } )  X.  { J }
) )  e.  (TopOn `  ( B  ^m  (
y  u.  { z } ) ) ) )
80 toponuni 16916 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
Xt_ `  ( (
y  u.  { z } )  X.  { J } ) )  e.  (TopOn `  ( B  ^m  ( y  u.  {
z } ) ) )  ->  ( B  ^m  ( y  u.  {
z } ) )  =  U. ( Xt_ `  ( ( y  u. 
{ z } )  X.  { J }
) ) )
8179, 80syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd )  /\  (
y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  /\  ( x  e.  ( B  ^m  y
)  |->  ( G  gsumg  x ) )  e.  ( (
Xt_ `  ( y  X.  { J } ) )  Cn  J ) )  ->  ( B  ^m  ( y  u.  {
z } ) )  =  U. ( Xt_ `  ( ( y  u. 
{ z } )  X.  { J }
) ) )
8281mpteq1d 4232 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd )  /\  (
y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  /\  ( x  e.  ( B  ^m  y
)  |->  ( G  gsumg  x ) )  e.  ( (
Xt_ `  ( y  X.  { J } ) )  Cn  J ) )  ->  ( w  e.  ( B  ^m  (
y  u.  { z } ) )  |->  ( w  |`  y )
)  =  ( w  e.  U. ( Xt_ `  ( ( y  u. 
{ z } )  X.  { J }
) )  |->  ( w  |`  y ) ) )
83 topontop 16915 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( J  e.  (TopOn `  B
)  ->  J  e.  Top )
8475, 44, 833syl 19 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd )  /\  (
y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  /\  ( x  e.  ( B  ^m  y
)  |->  ( G  gsumg  x ) )  e.  ( (
Xt_ `  ( y  X.  { J } ) )  Cn  J ) )  ->  J  e.  Top )
85 fconst6g 5573 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( J  e.  Top  ->  (
( y  u.  {
z } )  X. 
{ J } ) : ( y  u. 
{ z } ) --> Top )
8684, 85syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd )  /\  (
y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  /\  ( x  e.  ( B  ^m  y
)  |->  ( G  gsumg  x ) )  e.  ( (
Xt_ `  ( y  X.  { J } ) )  Cn  J ) )  ->  ( (
y  u.  { z } )  X.  { J } ) : ( y  u.  { z } ) --> Top )
87 ssun1 3454 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  y  C_  ( y  u.  {
z } )
8887a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd )  /\  (
y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  /\  ( x  e.  ( B  ^m  y
)  |->  ( G  gsumg  x ) )  e.  ( (
Xt_ `  ( y  X.  { J } ) )  Cn  J ) )  ->  y  C_  ( y  u.  {
z } ) )
89 eqid 2388 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  U. ( Xt_ `  ( ( y  u.  { z } )  X.  { J } ) )  = 
U. ( Xt_ `  (
( y  u.  {
z } )  X. 
{ J } ) )
90 xpssres 5121 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y 
C_  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( ( ( y  u.  { z } )  X.  { J } )  |`  y
)  =  ( y  X.  { J }
) )
9187, 90ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( y  u.  {
z } )  X. 
{ J } )  |`  y )  =  ( y  X.  { J } )
9291eqcomi 2392 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  X.  { J }
)  =  ( ( ( y  u.  {
z } )  X. 
{ J } )  |`  y )
9392fveq2i 5672 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Xt_ `  ( y  X.  { J } ) )  =  ( Xt_ `  (
( ( y  u. 
{ z } )  X.  { J }
)  |`  y ) )
9489, 77, 93ptrescn 17593 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( y  u.  {
z } )  e. 
Fin  /\  ( (
y  u.  { z } )  X.  { J } ) : ( y  u.  { z } ) --> Top  /\  y  C_  ( y  u. 
{ z } ) )  ->  ( w  e.  U. ( Xt_ `  (
( y  u.  {
z } )  X. 
{ J } ) )  |->  ( w  |`  y ) )  e.  ( ( Xt_ `  (
( y  u.  {
z } )  X. 
{ J } ) )  Cn  ( Xt_ `  ( y  X.  { J } ) ) ) )
9563, 86, 88, 94syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd )  /\  (
y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  /\  ( x  e.  ( B  ^m  y
)  |->  ( G  gsumg  x ) )  e.  ( (
Xt_ `  ( y  X.  { J } ) )  Cn  J ) )  ->  ( w  e.  U. ( Xt_ `  (
( y  u.  {
z } )  X. 
{ J } ) )  |->  ( w  |`  y ) )  e.  ( ( Xt_ `  (
( y  u.  {
z } )  X. 
{ J } ) )  Cn  ( Xt_ `  ( y  X.  { J } ) ) ) )
9682, 95eqeltrd 2462 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd )  /\  (
y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  /\  ( x  e.  ( B  ^m  y
)  |->  ( G  gsumg  x ) )  e.  ( (
Xt_ `  ( y  X.  { J } ) )  Cn  J ) )  ->  ( w  e.  ( B  ^m  (
y  u.  { z } ) )  |->  ( w  |`  y )
)  e.  ( (
Xt_ `  ( (
y  u.  { z } )  X.  { J } ) )  Cn  ( Xt_ `  (
y  X.  { J } ) ) ) )
97 eqid 2388 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Xt_ `  ( y  X.  { J } ) )  =  ( Xt_ `  (
y  X.  { J } ) )
9897pttoponconst 17551 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  J  e.  (TopOn `  B
) )  ->  ( Xt_ `  ( y  X. 
{ J } ) )  e.  (TopOn `  ( B  ^m  y
) ) )
9960, 76, 98syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd )  /\  (
y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  /\  ( x  e.  ( B  ^m  y
)  |->  ( G  gsumg  x ) )  e.  ( (
Xt_ `  ( y  X.  { J } ) )  Cn  J ) )  ->  ( Xt_ `  ( y  X.  { J } ) )  e.  (TopOn `  ( B  ^m  y ) ) )
100 simp3 959 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd )  /\  (
y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  /\  ( x  e.  ( B  ^m  y
)  |->  ( G  gsumg  x ) )  e.  ( (
Xt_ `  ( y  X.  { J } ) )  Cn  J ) )  ->  ( x  e.  ( B  ^m  y
)  |->  ( G  gsumg  x ) )  e.  ( (
Xt_ `  ( y  X.  { J } ) )  Cn  J ) )
101 oveq2 6029 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( w  |`  y )  ->  ( G  gsumg  x )  =  ( G  gsumg  ( w  |`  y
) ) )
10279, 96, 99, 100, 101cnmpt11 17617 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd )  /\  (
y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  /\  ( x  e.  ( B  ^m  y
)  |->  ( G  gsumg  x ) )  e.  ( (
Xt_ `  ( y  X.  { J } ) )  Cn  J ) )  ->  ( w  e.  ( B  ^m  (
y  u.  { z } ) )  |->  ( G  gsumg  ( w  |`  y
) ) )  e.  ( ( Xt_ `  (
( y  u.  {
z } )  X. 
{ J } ) )  Cn  J ) )
10366feqmptd 5719 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd )  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( x  e.  ( B  ^m  y )  |->  ( G 
gsumg  x ) )  e.  ( ( Xt_ `  (
y  X.  { J } ) )  Cn  J ) )  /\  w  e.  ( B  ^m  ( y  u.  {
z } ) ) )  ->  w  =  ( k  e.  ( y  u.  { z } )  |->  ( w `
 k ) ) )
104103reseq1d 5086 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd )  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( x  e.  ( B  ^m  y )  |->  ( G 
gsumg  x ) )  e.  ( ( Xt_ `  (
y  X.  { J } ) )  Cn  J ) )  /\  w  e.  ( B  ^m  ( y  u.  {
z } ) ) )  ->  ( w  |` 
{ z } )  =  ( ( k  e.  ( y  u. 
{ z } ) 
|->  ( w `  k
) )  |`  { z } ) )
105 ssun2 3455 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  { z }  C_  ( y  u.  { z } )
106 resmpt 5132 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( { z }  C_  (
y  u.  { z } )  ->  (
( k  e.  ( y  u.  { z } )  |->  ( w `
 k ) )  |`  { z } )  =  ( k  e. 
{ z }  |->  ( w `  k ) ) )
107105, 106ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( k  e.  ( y  u.  { z } )  |->  ( w `  k ) )  |`  { z } )  =  ( k  e. 
{ z }  |->  ( w `  k ) )
108104, 107syl6eq 2436 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd )  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( x  e.  ( B  ^m  y )  |->  ( G 
gsumg  x ) )  e.  ( ( Xt_ `  (
y  X.  { J } ) )  Cn  J ) )  /\  w  e.  ( B  ^m  ( y  u.  {
z } ) ) )  ->  ( w  |` 
{ z } )  =  ( k  e. 
{ z }  |->  ( w `  k ) ) )
109108oveq2d 6037 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd )  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( x  e.  ( B  ^m  y )  |->  ( G 
gsumg  x ) )  e.  ( ( Xt_ `  (
y  X.  { J } ) )  Cn  J ) )  /\  w  e.  ( B  ^m  ( y  u.  {
z } ) ) )  ->  ( G  gsumg  ( w  |`  { z } ) )  =  ( G  gsumg  ( k  e.  {
z }  |->  ( w `
 k ) ) ) )
110 cmnmnd 15355 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( G  e. CMnd  ->  G  e.  Mnd )
11159, 110syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd )  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( x  e.  ( B  ^m  y )  |->  ( G 
gsumg  x ) )  e.  ( ( Xt_ `  (
y  X.  { J } ) )  Cn  J ) )  /\  w  e.  ( B  ^m  ( y  u.  {
z } ) ) )  ->  G  e.  Mnd )
112 vex 2903 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  z  e. 
_V
113112a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd )  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( x  e.  ( B  ^m  y )  |->  ( G 
gsumg  x ) )  e.  ( ( Xt_ `  (
y  X.  { J } ) )  Cn  J ) )  /\  w  e.  ( B  ^m  ( y  u.  {
z } ) ) )  ->  z  e.  _V )
114112snid 3785 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  z  e. 
{ z }
115 elun2 3459 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  e.  { z }  ->  z  e.  ( y  u.  { z } ) )
116114, 115mp1i 12 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd )  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( x  e.  ( B  ^m  y )  |->  ( G 
gsumg  x ) )  e.  ( ( Xt_ `  (
y  X.  { J } ) )  Cn  J ) )  /\  w  e.  ( B  ^m  ( y  u.  {
z } ) ) )  ->  z  e.  ( y  u.  {
z } ) )
11766, 116ffvelrnd 5811 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd )  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( x  e.  ( B  ^m  y )  |->  ( G 
gsumg  x ) )  e.  ( ( Xt_ `  (
y  X.  { J } ) )  Cn  J ) )  /\  w  e.  ( B  ^m  ( y  u.  {
z } ) ) )  ->  ( w `  z )  e.  B
)
118 fveq2 5669 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  z  ->  (
w `  k )  =  ( w `  z ) )
11943, 118gsumsn 15471 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  z  e.  _V  /\  (
w `  z )  e.  B )  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  {
z }  |->  ( w `
 k ) ) )  =  ( w `
 z ) )
120111, 113, 117, 119syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd )  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( x  e.  ( B  ^m  y )  |->  ( G 
gsumg  x ) )  e.  ( ( Xt_ `  (
y  X.  { J } ) )  Cn  J ) )  /\  w  e.  ( B  ^m  ( y  u.  {
z } ) ) )  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  { z }  |->  ( w `  k ) ) )  =  ( w `  z ) )
121109, 120eqtrd 2420 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd )  /\  ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( x  e.  ( B  ^m  y )  |->  ( G 
gsumg  x ) )  e.  ( ( Xt_ `  (
y  X.  { J } ) )  Cn  J ) )  /\  w  e.  ( B  ^m  ( y  u.  {
z } ) ) )  ->  ( G  gsumg  ( w  |`  { z } ) )  =  ( w `  z
) )
122121mpteq2dva 4237 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd )  /\  (
y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  /\  ( x  e.  ( B  ^m  y
)  |->  ( G  gsumg  x ) )  e.  ( (
Xt_ `  ( y  X.  { J } ) )  Cn  J ) )  ->  ( w  e.  ( B  ^m  (
y  u.  { z } ) )  |->  ( G  gsumg  ( w  |`  { z } ) ) )  =  ( w  e.  ( B  ^m  (
y  u.  { z } ) )  |->  ( w `  z ) ) )
12381mpteq1d 4232 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd )  /\  (
y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  /\  ( x  e.  ( B  ^m  y
)  |->  ( G  gsumg  x ) )  e.  ( (
Xt_ `  ( y  X.  { J } ) )  Cn  J ) )  ->  ( w  e.  ( B  ^m  (
y  u.  { z } ) )  |->  ( w `  z ) )  =  ( w  e.  U. ( Xt_ `  ( ( y  u. 
{ z } )  X.  { J }
) )  |->  ( w `
 z ) ) )
124114, 115mp1i 12 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd )  /\  (
y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  /\  ( x  e.  ( B  ^m  y
)  |->  ( G  gsumg  x ) )  e.  ( (
Xt_ `  ( y  X.  { J } ) )  Cn  J ) )  ->  z  e.  ( y  u.  {
z } ) )
12589, 77ptpjcn 17565 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( y  u.  {
z } )  e. 
Fin  /\  ( (
y  u.  { z } )  X.  { J } ) : ( y  u.  { z } ) --> Top  /\  z  e.  ( y  u.  { z } ) )  ->  ( w  e.  U. ( Xt_ `  (
( y  u.  {
z } )  X. 
{ J } ) )  |->  ( w `  z ) )  e.  ( ( Xt_ `  (
( y  u.  {
z } )  X. 
{ J } ) )  Cn  ( ( ( y  u.  {
z } )  X. 
{ J } ) `
 z ) ) )
12663, 86, 124, 125syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd )  /\  (
y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  /\  ( x  e.  ( B  ^m  y
)  |->  ( G  gsumg  x ) )  e.  ( (
Xt_ `  ( y  X.  { J } ) )  Cn  J ) )  ->  ( w  e.  U. ( Xt_ `  (
( y  u.  {
z } )  X. 
{ J } ) )  |->  ( w `  z ) )  e.  ( ( Xt_ `  (
( y  u.  {
z } )  X. 
{ J } ) )  Cn  ( ( ( y  u.  {
z } )  X. 
{ J } ) `
 z ) ) )
127123, 126eqeltrd 2462 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd )  /\  (
y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  /\  ( x  e.  ( B  ^m  y
)  |->  ( G  gsumg  x ) )  e.  ( (
Xt_ `  ( y  X.  { J } ) )  Cn  J ) )  ->  ( w  e.  ( B  ^m  (
y  u.  { z } ) )  |->  ( w `  z ) )  e.  ( (
Xt_ `  ( (
y  u.  { z } )  X.  { J } ) )  Cn  ( ( ( y  u.  { z } )  X.  { J } ) `  z
) ) )
128 fvconst2g 5885 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( J  e.  Top  /\  z  e.  ( y  u.  { z } ) )  ->  ( (
( y  u.  {
z } )  X. 
{ J } ) `
 z )  =  J )
12984, 124, 128syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd )  /\  (
y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  /\  ( x  e.  ( B  ^m  y
)  |->  ( G  gsumg  x ) )  e.  ( (
Xt_ `  ( y  X.  { J } ) )  Cn  J ) )  ->  ( (
( y  u.  {
z } )  X. 
{ J } ) `
 z )  =  J )
130129oveq2d 6037 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd )  /\  (
y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  /\  ( x  e.  ( B  ^m  y
)  |->  ( G  gsumg  x ) )  e.  ( (
Xt_ `  ( y  X.  { J } ) )  Cn  J ) )  ->  ( ( Xt_ `  ( ( y  u.  { z } )  X.  { J } ) )  Cn  ( ( ( y  u.  { z } )  X.  { J } ) `  z
) )  =  ( ( Xt_ `  (
( y  u.  {
z } )  X. 
{ J } ) )  Cn  J ) )
131127, 130eleqtrd 2464 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd )  /\  (
y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  /\  ( x  e.  ( B  ^m  y
)  |->  ( G  gsumg  x ) )  e.  ( (
Xt_ `  ( y  X.  { J } ) )  Cn  J ) )  ->  ( w  e.  ( B  ^m  (
y  u.  { z } ) )  |->  ( w `  z ) )  e.  ( (
Xt_ `  ( (
y  u.  { z } )  X.  { J } ) )  Cn  J ) )
132122, 131eqeltrd 2462 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd )  /\  (
y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  /\  ( x  e.  ( B  ^m  y
)  |->  ( G  gsumg  x ) )  e.  ( (
Xt_ `  ( y  X.  { J } ) )  Cn  J ) )  ->  ( w  e.  ( B  ^m  (
y  u.  { z } ) )  |->  ( G  gsumg  ( w  |`  { z } ) ) )  e.  ( ( Xt_ `  ( ( y  u. 
{ z } )  X.  { J }
) )  Cn  J
) )
13342, 58, 75, 79, 102, 132cnmpt1plusg 18039 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd )  /\  (
y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  /\  ( x  e.  ( B  ^m  y
)  |->  ( G  gsumg  x ) )  e.  ( (
Xt_ `  ( y  X.  { J } ) )  Cn  J ) )  ->  ( w  e.  ( B  ^m  (
y  u.  { z } ) )  |->  ( ( G  gsumg  ( w  |`  y
) ) ( +g  `  G ) ( G 
gsumg  ( w  |`  { z } ) ) ) )  e.  ( (
Xt_ `  ( (
y  u.  { z } )  X.  { J } ) )  Cn  J ) )
13474, 133eqeltrd 2462 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd )  /\  (
y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  /\  ( x  e.  ( B  ^m  y
)  |->  ( G  gsumg  x ) )  e.  ( (
Xt_ `  ( y  X.  { J } ) )  Cn  J ) )  ->  ( x  e.  ( B  ^m  (
y  u.  { z } ) )  |->  ( G  gsumg  x ) )  e.  ( ( Xt_ `  (
( y  u.  {
z } )  X. 
{ J } ) )  Cn  J ) )
1351343expia 1155 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd )  /\  (
y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
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( x  e.  ( B  ^m  y ) 
|->  ( G  gsumg  x ) )  e.  ( ( Xt_ `  (
y  X.  { J } ) )  Cn  J )  ->  (
x  e.  ( B  ^m  ( y  u. 
{ z } ) )  |->  ( G  gsumg  x ) )  e.  ( (
Xt_ `  ( (
y  u.  { z } )  X.  { J } ) )  Cn  J ) ) )
136135expcom 425 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
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)  ->  ( (
x  e.  ( B  ^m  y )  |->  ( G  gsumg  x ) )  e.  ( ( Xt_ `  (
y  X.  { J } ) )  Cn  J )  ->  (
x  e.  ( B  ^m  ( y  u. 
{ z } ) )  |->  ( G  gsumg  x ) )  e.  ( (
Xt_ `  ( (
y  u.  { z } )  X.  { J } ) )  Cn  J ) ) ) )
137136a2d 24 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  ->  ( (
( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd )  ->  ( x  e.  ( B  ^m  y )  |->  ( G  gsumg  x ) )  e.  ( ( Xt_ `  (
y  X.  { J } ) )  Cn  J ) )  -> 
( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd )  -> 
( x  e.  ( B  ^m  ( y  u.  { z } ) )  |->  ( G 
gsumg  x ) )  e.  ( ( Xt_ `  (
( y  u.  {
z } )  X. 
{ J } ) )  Cn  J ) ) ) )
1389, 16, 23, 30, 55, 137findcard2s 7286 . . . 4  |-  ( A  e.  Fin  ->  (
( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd )  ->  ( x  e.  ( B  ^m  A )  |->  ( G  gsumg  x ) )  e.  ( ( Xt_ `  ( A  X.  { J }
) )  Cn  J
) ) )
139138com12 29 . . 3  |-  ( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd )  ->  ( A  e.  Fin  ->  ( x  e.  ( B  ^m  A
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Xt_ `  ( A  X.  { J } ) )  Cn  J ) ) )
1401393impia 1150 . 2  |-  ( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd  /\  A  e.  Fin )  ->  ( x  e.  ( B  ^m  A
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Xt_ `  ( A  X.  { J } ) )  Cn  J ) )
14144, 83syl 16 . . . . 5  |-  ( G  e. TopMnd  ->  J  e.  Top )
142 xkopt 17609 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  Fin )  ->  ( J  ^ k o  ~P A )  =  ( Xt_ `  ( A  X.  { J }
) ) )
143141, 142sylan 458 . . . 4  |-  ( ( G  e. TopMnd  /\  A  e. 
Fin )  ->  ( J  ^ k o  ~P A )  =  (
Xt_ `  ( A  X.  { J } ) ) )
1441433adant1 975 . . 3  |-  ( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd  /\  A  e.  Fin )  ->  ( J  ^ k o  ~P A
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145144oveq1d 6036 . 2  |-  ( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd  /\  A  e.  Fin )  ->  ( ( J  ^ k o  ~P A )  Cn  J
)  =  ( (
Xt_ `  ( A  X.  { J } ) )  Cn  J ) )
146140, 145eleqtrrd 2465 1  |-  ( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd  /\  A  e.  Fin )  ->  ( x  e.  ( B  ^m  A
)  |->  ( G  gsumg  x ) )  e.  ( ( J  ^ k o  ~P A )  Cn  J ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1717   _Vcvv 2900    \ cdif 3261    u. cun 3262    i^i cin 3263    C_ wss 3264   (/)c0 3572   ~Pcpw 3743   {csn 3758   U.cuni 3958    e. cmpt 4208    X. cxp 4817    |` cres 4821    Fn wfn 5390   -->wf 5391   ` cfv 5395  (class class class)co 6021    ^m cmap 6955   Fincfn 7046   Basecbs 13397   +g cplusg 13457   TopOpenctopn 13577   Xt_cpt 13594   0gc0g 13651    gsumg cgsu 13652   Mndcmnd 14612  CMndccmn 15340   Topctop 16882  TopOnctopon 16883    Cn ccn 17211    ^ k o cxko 17515  TopMndctmd 18022
This theorem is referenced by:  tmdgsum2  18048
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-rep 4262  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345  ax-un 4642  ax-inf2 7530  ax-cnex 8980  ax-resscn 8981  ax-1cn 8982  ax-icn 8983  ax-addcl 8984  ax-addrcl 8985  ax-mulcl 8986  ax-mulrcl 8987  ax-mulcom 8988  ax-addass 8989  ax-mulass 8990  ax-distr 8991  ax-i2m1 8992  ax-1ne0 8993  ax-1rid 8994  ax-rnegex 8995  ax-rrecex 8996  ax-cnre 8997  ax-pre-lttri 8998  ax-pre-lttrn 8999  ax-pre-ltadd 9000  ax-pre-mulgt0 9001
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-nel 2554  df-ral 2655  df-rex 2656  df-reu 2657  df-rmo 2658  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-csb 3196  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-pss 3280  df-nul 3573  df-if 3684  df-pw 3745  df-sn 3764  df-pr 3765  df-tp 3766  df-op 3767  df-uni 3959  df-int 3994  df-iun 4038  df-iin 4039  df-br 4155  df-opab 4209  df-mpt 4210  df-tr 4245  df-eprel 4436  df-id 4440  df-po 4445  df-so 4446  df-fr 4483  df-se 4484  df-we 4485  df-ord 4526  df-on 4527  df-lim 4528  df-suc 4529  df-om 4787  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-rn 4830  df-res 4831  df-ima 4832  df-iota 5359  df-fun 5397  df-fn 5398  df-f 5399  df-f1 5400  df-fo 5401  df-f1o 5402  df-fv 5403  df-isom 5404  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpt2 6026  df-of 6245  df-1st 6289  df-2nd 6290  df-riota 6486  df-recs 6570  df-rdg 6605  df-1o 6661  df-2o 6662  df-oadd 6665  df-er 6842  df-map 6957  df-ixp 7001  df-en 7047  df-dom 7048  df-sdom 7049  df-fin 7050  df-fi 7352  df-oi 7413  df-card 7760  df-pnf 9056  df-mnf 9057  df-xr 9058  df-ltxr 9059  df-le 9060  df-sub 9226  df-neg 9227  df-nn 9934  df-2 9991  df-n0 10155  df-z 10216  df-uz 10422  df-fz 10977  df-fzo 11067  df-seq 11252  df-hash 11547  df-ndx 13400  df-slot 13401  df-base 13402  df-sets 13403  df-ress 13404  df-plusg 13470  df-rest 13578  df-topgen 13595  df-pt 13596  df-0g 13655  df-gsum 13656  df-mre 13739  df-mrc 13740  df-acs 13742  df-mnd 14618  df-plusf 14619  df-submnd 14667  df-mulg 14743  df-cntz 15044  df-cmn 15342  df-top 16887  df-bases 16889  df-topon 16890  df-topsp 16891  df-cn 17214  df-cnp 17215  df-cmp 17373  df-tx 17516  df-xko 17517  df-tmd 18024
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