Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tmdgsum2 Structured version   Unicode version

Theorem tmdgsum2 18126
 Description: For any neighborhood of , there is a neighborhood of such that any sum of elements in sums to an element of . (Contributed by Mario Carneiro, 19-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tmdgsum.j
tmdgsum.b
tmdgsum2.t .g
tmdgsum2.1 CMnd
tmdgsum2.2 TopMnd
tmdgsum2.a
tmdgsum2.u
tmdgsum2.x
tmdgsum2.3
Assertion
Ref Expression
tmdgsum2 g
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)   (,)

Proof of Theorem tmdgsum2
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2436 . . . . . . 7 g g
21mptpreima 5363 . . . . . 6 g g
3 tmdgsum2.1 . . . . . . . 8 CMnd
4 tmdgsum2.2 . . . . . . . 8 TopMnd
5 tmdgsum2.a . . . . . . . 8
6 tmdgsum.j . . . . . . . . 9
7 tmdgsum.b . . . . . . . . 9
86, 7tmdgsum 18125 . . . . . . . 8 CMnd TopMnd g
93, 4, 5, 8syl3anc 1184 . . . . . . 7 g
10 tmdgsum2.u . . . . . . 7
11 cnima 17329 . . . . . . 7 g g
129, 10, 11syl2anc 643 . . . . . 6 g
132, 12syl5eqelr 2521 . . . . 5 g
146, 7tmdtopon 18111 . . . . . . . 8 TopMnd TopOn
15 topontop 16991 . . . . . . . 8 TopOn
164, 14, 153syl 19 . . . . . . 7
17 xkopt 17687 . . . . . . 7
1816, 5, 17syl2anc 643 . . . . . 6
19 fnconstg 5631 . . . . . . . 8 TopOn
204, 14, 193syl 19 . . . . . . 7
21 eqid 2436 . . . . . . . 8
2221ptval 17602 . . . . . . 7
235, 20, 22syl2anc 643 . . . . . 6
2418, 23eqtrd 2468 . . . . 5
2513, 24eleqtrd 2512 . . . 4 g
26 tmdgsum2.x . . . . . . 7
27 fconst6g 5632 . . . . . . 7
2826, 27syl 16 . . . . . 6
29 fvex 5742 . . . . . . . 8
307, 29eqeltri 2506 . . . . . . 7
31 elmapg 7031 . . . . . . 7
3230, 5, 31sylancr 645 . . . . . 6
3328, 32mpbird 224 . . . . 5
34 fconstmpt 4921 . . . . . . . 8
3534oveq2i 6092 . . . . . . 7 g g
36 cmnmnd 15427 . . . . . . . . 9 CMnd
373, 36syl 16 . . . . . . . 8
38 tmdgsum2.t . . . . . . . . 9 .g
397, 38gsumconst 15532 . . . . . . . 8 g
4037, 5, 26, 39syl3anc 1184 . . . . . . 7 g
4135, 40syl5eq 2480 . . . . . 6 g
42 tmdgsum2.3 . . . . . 6
4341, 42eqeltrd 2510 . . . . 5 g
44 oveq2 6089 . . . . . . 7 g g
4544eleq1d 2502 . . . . . 6 g g
4645elrab 3092 . . . . 5 g g
4733, 43, 46sylanbrc 646 . . . 4 g
48 tg2 17030 . . . 4 g g g
4925, 47, 48syl2anc 643 . . 3 g
50 eleq2 2497 . . . . 5
51 sseq1 3369 . . . . 5 g g
5250, 51anbi12d 692 . . . 4 g g
5352rexab2 3101 . . 3 g g
5449, 53sylib 189 . 2 g
55 toponuni 16992 . . . . . . . . . . . . . 14 TopOn
564, 14, 553syl 19 . . . . . . . . . . . . 13
5756ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . 12 g
5857ineq1d 3541 . . . . . . . . . . 11 g
5916ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . 12 g
60 simplrl 737 . . . . . . . . . . . . . 14 g
61 simplrr 738 . . . . . . . . . . . . . . 15 g
62 fvconst2g 5945 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6362eleq2d 2503 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6463ralbidva 2721 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6559, 64syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15 g
6661, 65mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . 14 g
67 ffnfv 5894 . . . . . . . . . . . . . 14
6860, 66, 67sylanbrc 646 . . . . . . . . . . . . 13 g
69 frn 5597 . . . . . . . . . . . . 13
7068, 69syl 16 . . . . . . . . . . . 12 g
715ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . 13 g
72 dffn4 5659 . . . . . . . . . . . . . 14
7360, 72sylib 189 . . . . . . . . . . . . 13 g
74 fofi 7392 . . . . . . . . . . . . 13
7571, 73, 74syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12 g
76 eqid 2436 . . . . . . . . . . . . 13
7776rintopn 16982 . . . . . . . . . . . 12
7859, 70, 75, 77syl3anc 1184 . . . . . . . . . . 11 g
7958, 78eqeltrd 2510 . . . . . . . . . 10 g
8026ad2antrr 707 . . . . . . . . . . 11 g
81 fconstmpt 4921 . . . . . . . . . . . . . 14
82 simprl 733 . . . . . . . . . . . . . 14 g
8381, 82syl5eqelr 2521 . . . . . . . . . . . . 13 g
84 mptelixpg 7099 . . . . . . . . . . . . . 14
8571, 84syl 16 . . . . . . . . . . . . 13 g
8683, 85mpbid 202 . . . . . . . . . . . 12 g
87 eleq2 2497 . . . . . . . . . . . . . 14
8887ralrn 5873 . . . . . . . . . . . . 13
8960, 88syl 16 . . . . . . . . . . . 12 g
9086, 89mpbird 224 . . . . . . . . . . 11 g
91 elrint 4091 . . . . . . . . . . 11
9280, 90, 91sylanbrc 646 . . . . . . . . . 10 g
9330inex1 4344 . . . . . . . . . . . . 13
94 ixpconstg 7071 . . . . . . . . . . . . 13
9571, 93, 94sylancl 644 . . . . . . . . . . . 12 g
96 inss2 3562 . . . . . . . . . . . . . . 15
97 fnfvelrn 5867 . . . . . . . . . . . . . . . 16
98 intss1 4065 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9997, 98syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15
10096, 99syl5ss 3359 . . . . . . . . . . . . . 14
101100ralrimiva 2789 . . . . . . . . . . . . 13
102 ss2ixp 7075 . . . . . . . . . . . . 13
10360, 101, 1023syl 19 . . . . . . . . . . . 12 g
10495, 103eqsstr3d 3383 . . . . . . . . . . 11 g
105 ssrab 3421 . . . . . . . . . . . . 13 g g
106105simprbi 451 . . . . . . . . . . . 12 g g
107106ad2antll 710 . . . . . . . . . . 11 g g
108 ssralv 3407 . . . . . . . . . . 11 g g
109104, 107, 108sylc 58 . . . . . . . . . 10 g g
110 eleq2 2497 . . . . . . . . . . . 12
111 oveq1 6088 . . . . . . . . . . . . 13
112111raleqdv 2910 . . . . . . . . . . . 12 g g
113110, 112anbi12d 692 . . . . . . . . . . 11 g g
114113rspcev 3052 . . . . . . . . . 10 g g
11579, 92, 109, 114syl12anc 1182 . . . . . . . . 9 g g
116115ex 424 . . . . . . . 8 g g
1171163adantr3 1118 . . . . . . 7 g g
118 eleq2 2497 . . . . . . . . 9
119 sseq1 3369 . . . . . . . . 9 g g
120118, 119anbi12d 692 . . . . . . . 8 g g
121120imbi1d 309 . . . . . . 7 g g g g
122117, 121syl5ibrcom 214 . . . . . 6 g g
123122expimpd 587 . . . . 5 g g
124123exlimdv 1646 . . . 4 g g
125124imp3a 421 . . 3 g g
126125exlimdv 1646 . 2 g g
12754, 126mpd 15 1 g
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   w3a 936  wex 1550   wceq 1652   wcel 1725  cab 2422  wral 2705  wrex 2706  crab 2709  cvv 2956   cdif 3317   cin 3319   wss 3320  cpw 3799  csn 3814  cuni 4015  cint 4050   cmpt 4266   cxp 4876  ccnv 4877   crn 4879  cima 4881   wfn 5449  wf 5450  wfo 5452  cfv 5454  (class class class)co 6081   cmap 7018  cixp 7063  cfn 7109  chash 11618  cbs 13469  ctopn 13649  ctg 13665  cpt 13666   g cgsu 13724  cmnd 14684  .gcmg 14689  CMndccmn 15412  ctop 16958  TopOnctopon 16959   ccn 17288   cxko 17593  TopMndctmd 18100 This theorem is referenced by:  tsmsxp  18184 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-inf2 7596  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-iin 4096  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-se 4542  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-isom 5463  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-of 6305  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-2o 6725  df-oadd 6728  df-er 6905  df-map 7020  df-ixp 7064  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-fi 7416  df-oi 7479  df-card 7826  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-nn 10001  df-2 10058  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-fz 11044  df-fzo 11136  df-seq 11324  df-hash 11619  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-sets 13475  df-ress 13476  df-plusg 13542  df-rest 13650  df-topgen 13667  df-pt 13668  df-0g 13727  df-gsum 13728  df-mre 13811  df-mrc 13812  df-acs 13814  df-mnd 14690  df-plusf 14691  df-submnd 14739  df-mulg 14815  df-cntz 15116  df-cmn 15414  df-top 16963  df-bases 16965  df-topon 16966  df-topsp 16967  df-cn 17291  df-cnp 17292  df-cmp 17450  df-tx 17594  df-xko 17595  df-tmd 18102
 Copyright terms: Public domain W3C validator