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Theorem tmdgsum2 17795
Description: For any neighborhood  U of  n X, there is a neighborhood  u of  X such that any sum of  n elements in  u sums to an element of  U. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tmdgsum.j  |-  J  =  ( TopOpen `  G )
tmdgsum.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
tmdgsum2.t  |-  .x.  =  (.g
`  G )
tmdgsum2.1  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
tmdgsum2.2  |-  ( ph  ->  G  e. TopMnd )
tmdgsum2.a  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
tmdgsum2.u  |-  ( ph  ->  U  e.  J )
tmdgsum2.x  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
tmdgsum2.3  |-  ( ph  ->  ( ( # `  A
)  .x.  X )  e.  U )
Assertion
Ref Expression
tmdgsum2  |-  ( ph  ->  E. u  e.  J  ( X  e.  u  /\  A. f  e.  ( u  ^m  A ) ( G  gsumg  f )  e.  U
) )
Distinct variable groups:    u, f, A    f, J, u    f, X, u    B, f, u   
f, G, u    U, f, u
Allowed substitution hints:    ph( u, f)    .x. ( u, f)

Proof of Theorem tmdgsum2
Dummy variables  g 
k  t  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2296 . . . . . . 7  |-  ( f  e.  ( B  ^m  A )  |->  ( G 
gsumg  f ) )  =  ( f  e.  ( B  ^m  A ) 
|->  ( G  gsumg  f ) )
21mptpreima 5182 . . . . . 6  |-  ( `' ( f  e.  ( B  ^m  A ) 
|->  ( G  gsumg  f ) ) " U )  =  {
f  e.  ( B  ^m  A )  |  ( G  gsumg  f )  e.  U }
3 tmdgsum2.1 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
4 tmdgsum2.2 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  G  e. TopMnd )
5 tmdgsum2.a . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
6 tmdgsum.j . . . . . . . . 9  |-  J  =  ( TopOpen `  G )
7 tmdgsum.b . . . . . . . . 9  |-  B  =  ( Base `  G
)
86, 7tmdgsum 17794 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e. CMnd  /\  G  e. TopMnd  /\  A  e.  Fin )  ->  ( f  e.  ( B  ^m  A
)  |->  ( G  gsumg  f ) )  e.  ( ( J  ^ k o  ~P A )  Cn  J ) )
93, 4, 5, 8syl3anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( f  e.  ( B  ^m  A ) 
|->  ( G  gsumg  f ) )  e.  ( ( J  ^ k o  ~P A
)  Cn  J ) )
10 tmdgsum2.u . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  U  e.  J )
11 cnima 17010 . . . . . . 7  |-  ( ( ( f  e.  ( B  ^m  A ) 
|->  ( G  gsumg  f ) )  e.  ( ( J  ^ k o  ~P A
)  Cn  J )  /\  U  e.  J
)  ->  ( `' ( f  e.  ( B  ^m  A ) 
|->  ( G  gsumg  f ) ) " U )  e.  ( J  ^ k o  ~P A ) )
129, 10, 11syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( `' ( f  e.  ( B  ^m  A )  |->  ( G 
gsumg  f ) ) " U )  e.  ( J  ^ k o  ~P A ) )
132, 12syl5eqelr 2381 . . . . 5  |-  ( ph  ->  { f  e.  ( B  ^m  A )  |  ( G  gsumg  f )  e.  U }  e.  ( J  ^ k o  ~P A ) )
146, 7tmdtopon 17780 . . . . . . . 8  |-  ( G  e. TopMnd  ->  J  e.  (TopOn `  B ) )
15 topontop 16680 . . . . . . . 8  |-  ( J  e.  (TopOn `  B
)  ->  J  e.  Top )
164, 14, 153syl 18 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  J  e.  Top )
17 xkopt 17365 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  Fin )  ->  ( J  ^ k o  ~P A )  =  ( Xt_ `  ( A  X.  { J }
) ) )
1816, 5, 17syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( J  ^ k o  ~P A )  =  ( Xt_ `  ( A  X.  { J }
) ) )
19 fnconstg 5445 . . . . . . . 8  |-  ( J  e.  (TopOn `  B
)  ->  ( A  X.  { J } )  Fn  A )
204, 14, 193syl 18 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A  X.  { J } )  Fn  A
)
21 eqid 2296 . . . . . . . 8  |-  { x  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( ( A  X.  { J }
) `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A 
\  z ) ( g `  y )  =  U. ( ( A  X.  { J } ) `  y
) )  /\  x  =  X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) }  =  { x  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  (
g `  y )  e.  ( ( A  X.  { J } ) `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( ( A  X.  { J } ) `  y ) )  /\  x  =  X_ y  e.  A  ( g `  y ) ) }
2221ptval 17281 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  ( A  X.  { J } )  Fn  A
)  ->  ( Xt_ `  ( A  X.  { J } ) )  =  ( topGen `  { x  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( ( A  X.  { J }
) `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A 
\  z ) ( g `  y )  =  U. ( ( A  X.  { J } ) `  y
) )  /\  x  =  X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) } ) )
235, 20, 22syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( Xt_ `  ( A  X.  { J }
) )  =  (
topGen `  { x  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( ( A  X.  { J }
) `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A 
\  z ) ( g `  y )  =  U. ( ( A  X.  { J } ) `  y
) )  /\  x  =  X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) } ) )
2418, 23eqtrd 2328 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( J  ^ k o  ~P A )  =  ( topGen `  { x  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( ( A  X.  { J }
) `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A 
\  z ) ( g `  y )  =  U. ( ( A  X.  { J } ) `  y
) )  /\  x  =  X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) } ) )
2513, 24eleqtrd 2372 . . . 4  |-  ( ph  ->  { f  e.  ( B  ^m  A )  |  ( G  gsumg  f )  e.  U }  e.  ( topGen `  { x  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( ( A  X.  { J }
) `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A 
\  z ) ( g `  y )  =  U. ( ( A  X.  { J } ) `  y
) )  /\  x  =  X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) } ) )
26 tmdgsum2.x . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
27 fconst6g 5446 . . . . . . 7  |-  ( X  e.  B  ->  ( A  X.  { X }
) : A --> B )
2826, 27syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A  X.  { X } ) : A --> B )
29 fvex 5555 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  G )  e.  _V
307, 29eqeltri 2366 . . . . . . 7  |-  B  e. 
_V
31 elmapg 6801 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  _V  /\  A  e.  Fin )  ->  ( ( A  X.  { X } )  e.  ( B  ^m  A
)  <->  ( A  X.  { X } ) : A --> B ) )
3230, 5, 31sylancr 644 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( A  X.  { X } )  e.  ( B  ^m  A
)  <->  ( A  X.  { X } ) : A --> B ) )
3328, 32mpbird 223 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A  X.  { X } )  e.  ( B  ^m  A ) )
34 fconstmpt 4748 . . . . . . . 8  |-  ( A  X.  { X }
)  =  ( k  e.  A  |->  X )
3534oveq2i 5885 . . . . . . 7  |-  ( G 
gsumg  ( A  X.  { X } ) )  =  ( G  gsumg  ( k  e.  A  |->  X ) )
36 cmnmnd 15120 . . . . . . . . 9  |-  ( G  e. CMnd  ->  G  e.  Mnd )
373, 36syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  G  e.  Mnd )
38 tmdgsum2.t . . . . . . . . 9  |-  .x.  =  (.g
`  G )
397, 38gsumconst 15225 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  Fin  /\  X  e.  B )  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  A  |->  X ) )  =  ( ( # `  A
)  .x.  X )
)
4037, 5, 26, 39syl3anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  A  |->  X ) )  =  ( ( # `  A
)  .x.  X )
)
4135, 40syl5eq 2340 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( A  X.  { X } ) )  =  ( ( # `  A
)  .x.  X )
)
42 tmdgsum2.3 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( # `  A
)  .x.  X )  e.  U )
4341, 42eqeltrd 2370 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( A  X.  { X } ) )  e.  U )
44 oveq2 5882 . . . . . . 7  |-  ( f  =  ( A  X.  { X } )  -> 
( G  gsumg  f )  =  ( G  gsumg  ( A  X.  { X } ) ) )
4544eleq1d 2362 . . . . . 6  |-  ( f  =  ( A  X.  { X } )  -> 
( ( G  gsumg  f )  e.  U  <->  ( G  gsumg  ( A  X.  { X } ) )  e.  U ) )
4645elrab 2936 . . . . 5  |-  ( ( A  X.  { X } )  e.  {
f  e.  ( B  ^m  A )  |  ( G  gsumg  f )  e.  U } 
<->  ( ( A  X.  { X } )  e.  ( B  ^m  A
)  /\  ( G  gsumg  ( A  X.  { X } ) )  e.  U ) )
4733, 43, 46sylanbrc 645 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A  X.  { X } )  e.  {
f  e.  ( B  ^m  A )  |  ( G  gsumg  f )  e.  U } )
48 tg2 16719 . . . 4  |-  ( ( { f  e.  ( B  ^m  A )  |  ( G  gsumg  f )  e.  U }  e.  ( topGen `  { x  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( ( A  X.  { J }
) `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A 
\  z ) ( g `  y )  =  U. ( ( A  X.  { J } ) `  y
) )  /\  x  =  X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) } )  /\  ( A  X.  { X } )  e. 
{ f  e.  ( B  ^m  A )  |  ( G  gsumg  f )  e.  U } )  ->  E. t  e.  {
x  |  E. g
( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( ( A  X.  { J } ) `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( ( A  X.  { J } ) `  y ) )  /\  x  =  X_ y  e.  A  ( g `  y ) ) }  ( ( A  X.  { X } )  e.  t  /\  t  C_  { f  e.  ( B  ^m  A )  |  ( G  gsumg  f )  e.  U } ) )
4925, 47, 48syl2anc 642 . . 3  |-  ( ph  ->  E. t  e.  {
x  |  E. g
( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( ( A  X.  { J } ) `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( ( A  X.  { J } ) `  y ) )  /\  x  =  X_ y  e.  A  ( g `  y ) ) }  ( ( A  X.  { X } )  e.  t  /\  t  C_  { f  e.  ( B  ^m  A )  |  ( G  gsumg  f )  e.  U } ) )
50 eleq2 2357 . . . . 5  |-  ( t  =  x  ->  (
( A  X.  { X } )  e.  t  <-> 
( A  X.  { X } )  e.  x
) )
51 sseq1 3212 . . . . 5  |-  ( t  =  x  ->  (
t  C_  { f  e.  ( B  ^m  A
)  |  ( G 
gsumg  f )  e.  U } 
<->  x  C_  { f  e.  ( B  ^m  A
)  |  ( G 
gsumg  f )  e.  U } ) )
5250, 51anbi12d 691 . . . 4  |-  ( t  =  x  ->  (
( ( A  X.  { X } )  e.  t  /\  t  C_  { f  e.  ( B  ^m  A )  |  ( G  gsumg  f )  e.  U } )  <->  ( ( A  X.  { X }
)  e.  x  /\  x  C_  { f  e.  ( B  ^m  A
)  |  ( G 
gsumg  f )  e.  U } ) ) )
5352rexab2 2945 . . 3  |-  ( E. t  e.  { x  |  E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( ( A  X.  { J }
) `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A 
\  z ) ( g `  y )  =  U. ( ( A  X.  { J } ) `  y
) )  /\  x  =  X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) }  (
( A  X.  { X } )  e.  t  /\  t  C_  { f  e.  ( B  ^m  A )  |  ( G  gsumg  f )  e.  U } )  <->  E. x
( E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y
)  e.  ( ( A  X.  { J } ) `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( ( A  X.  { J } ) `  y ) )  /\  x  =  X_ y  e.  A  ( g `  y ) )  /\  ( ( A  X.  { X } )  e.  x  /\  x  C_  { f  e.  ( B  ^m  A )  |  ( G  gsumg  f )  e.  U } ) ) )
5449, 53sylib 188 . 2  |-  ( ph  ->  E. x ( E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  (
g `  y )  e.  ( ( A  X.  { J } ) `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( ( A  X.  { J } ) `  y ) )  /\  x  =  X_ y  e.  A  ( g `  y ) )  /\  ( ( A  X.  { X } )  e.  x  /\  x  C_  { f  e.  ( B  ^m  A )  |  ( G  gsumg  f )  e.  U } ) ) )
55 toponuni 16681 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( J  e.  (TopOn `  B
)  ->  B  =  U. J )
564, 14, 553syl 18 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  B  =  U. J
)
5756ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( ( A  X.  { J }
) `  y )
) )  /\  (
( A  X.  { X } )  e.  X_ y  e.  A  (
g `  y )  /\  X_ y  e.  A  ( g `  y
)  C_  { f  e.  ( B  ^m  A
)  |  ( G 
gsumg  f )  e.  U } ) )  ->  B  =  U. J )
5857ineq1d 3382 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( ( A  X.  { J }
) `  y )
) )  /\  (
( A  X.  { X } )  e.  X_ y  e.  A  (
g `  y )  /\  X_ y  e.  A  ( g `  y
)  C_  { f  e.  ( B  ^m  A
)  |  ( G 
gsumg  f )  e.  U } ) )  -> 
( B  i^i  |^| ran  g )  =  ( U. J  i^i  |^| ran  g ) )
5916ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( ( A  X.  { J }
) `  y )
) )  /\  (
( A  X.  { X } )  e.  X_ y  e.  A  (
g `  y )  /\  X_ y  e.  A  ( g `  y
)  C_  { f  e.  ( B  ^m  A
)  |  ( G 
gsumg  f )  e.  U } ) )  ->  J  e.  Top )
60 simplrl 736 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( ( A  X.  { J }
) `  y )
) )  /\  (
( A  X.  { X } )  e.  X_ y  e.  A  (
g `  y )  /\  X_ y  e.  A  ( g `  y
)  C_  { f  e.  ( B  ^m  A
)  |  ( G 
gsumg  f )  e.  U } ) )  -> 
g  Fn  A )
61 simplrr 737 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( ( A  X.  { J }
) `  y )
) )  /\  (
( A  X.  { X } )  e.  X_ y  e.  A  (
g `  y )  /\  X_ y  e.  A  ( g `  y
)  C_  { f  e.  ( B  ^m  A
)  |  ( G 
gsumg  f )  e.  U } ) )  ->  A. y  e.  A  ( g `  y
)  e.  ( ( A  X.  { J } ) `  y
) )
62 fvconst2g 5743 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( J  e.  Top  /\  y  e.  A )  ->  ( ( A  X.  { J } ) `  y )  =  J )
6362eleq2d 2363 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( J  e.  Top  /\  y  e.  A )  ->  ( ( g `  y )  e.  ( ( A  X.  { J } ) `  y
)  <->  ( g `  y )  e.  J
) )
6463ralbidva 2572 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( J  e.  Top  ->  ( A. y  e.  A  ( g `  y
)  e.  ( ( A  X.  { J } ) `  y
)  <->  A. y  e.  A  ( g `  y
)  e.  J ) )
6559, 64syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( ( A  X.  { J }
) `  y )
) )  /\  (
( A  X.  { X } )  e.  X_ y  e.  A  (
g `  y )  /\  X_ y  e.  A  ( g `  y
)  C_  { f  e.  ( B  ^m  A
)  |  ( G 
gsumg  f )  e.  U } ) )  -> 
( A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( ( A  X.  { J } ) `  y
)  <->  A. y  e.  A  ( g `  y
)  e.  J ) )
6661, 65mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( ( A  X.  { J }
) `  y )
) )  /\  (
( A  X.  { X } )  e.  X_ y  e.  A  (
g `  y )  /\  X_ y  e.  A  ( g `  y
)  C_  { f  e.  ( B  ^m  A
)  |  ( G 
gsumg  f )  e.  U } ) )  ->  A. y  e.  A  ( g `  y
)  e.  J )
67 ffnfv 5701 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( g : A --> J  <->  ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  J
) )
6860, 66, 67sylanbrc 645 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( ( A  X.  { J }
) `  y )
) )  /\  (
( A  X.  { X } )  e.  X_ y  e.  A  (
g `  y )  /\  X_ y  e.  A  ( g `  y
)  C_  { f  e.  ( B  ^m  A
)  |  ( G 
gsumg  f )  e.  U } ) )  -> 
g : A --> J )
69 frn 5411 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( g : A --> J  ->  ran  g  C_  J )
7068, 69syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( ( A  X.  { J }
) `  y )
) )  /\  (
( A  X.  { X } )  e.  X_ y  e.  A  (
g `  y )  /\  X_ y  e.  A  ( g `  y
)  C_  { f  e.  ( B  ^m  A
)  |  ( G 
gsumg  f )  e.  U } ) )  ->  ran  g  C_  J )
715ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( ( A  X.  { J }
) `  y )
) )  /\  (
( A  X.  { X } )  e.  X_ y  e.  A  (
g `  y )  /\  X_ y  e.  A  ( g `  y
)  C_  { f  e.  ( B  ^m  A
)  |  ( G 
gsumg  f )  e.  U } ) )  ->  A  e.  Fin )
72 dffn4 5473 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( g  Fn  A  <->  g : A -onto-> ran  g )
7360, 72sylib 188 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( ( A  X.  { J }
) `  y )
) )  /\  (
( A  X.  { X } )  e.  X_ y  e.  A  (
g `  y )  /\  X_ y  e.  A  ( g `  y
)  C_  { f  e.  ( B  ^m  A
)  |  ( G 
gsumg  f )  e.  U } ) )  -> 
g : A -onto-> ran  g )
74 fofi 7158 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  g : A -onto-> ran  g
)  ->  ran  g  e. 
Fin )
7571, 73, 74syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( ( A  X.  { J }
) `  y )
) )  /\  (
( A  X.  { X } )  e.  X_ y  e.  A  (
g `  y )  /\  X_ y  e.  A  ( g `  y
)  C_  { f  e.  ( B  ^m  A
)  |  ( G 
gsumg  f )  e.  U } ) )  ->  ran  g  e.  Fin )
76 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . 13  |-  U. J  =  U. J
7776rintopn 16671 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ran  g  C_  J  /\  ran  g  e.  Fin )  ->  ( U. J  i^i  |^| ran  g )  e.  J )
7859, 70, 75, 77syl3anc 1182 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( ( A  X.  { J }
) `  y )
) )  /\  (
( A  X.  { X } )  e.  X_ y  e.  A  (
g `  y )  /\  X_ y  e.  A  ( g `  y
)  C_  { f  e.  ( B  ^m  A
)  |  ( G 
gsumg  f )  e.  U } ) )  -> 
( U. J  i^i  |^|
ran  g )  e.  J )
7958, 78eqeltrd 2370 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( ( A  X.  { J }
) `  y )
) )  /\  (
( A  X.  { X } )  e.  X_ y  e.  A  (
g `  y )  /\  X_ y  e.  A  ( g `  y
)  C_  { f  e.  ( B  ^m  A
)  |  ( G 
gsumg  f )  e.  U } ) )  -> 
( B  i^i  |^| ran  g )  e.  J
)
8026ad2antrr 706 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( ( A  X.  { J }
) `  y )
) )  /\  (
( A  X.  { X } )  e.  X_ y  e.  A  (
g `  y )  /\  X_ y  e.  A  ( g `  y
)  C_  { f  e.  ( B  ^m  A
)  |  ( G 
gsumg  f )  e.  U } ) )  ->  X  e.  B )
81 fconstmpt 4748 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  X.  { X }
)  =  ( y  e.  A  |->  X )
82 simprl 732 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( ( A  X.  { J }
) `  y )
) )  /\  (
( A  X.  { X } )  e.  X_ y  e.  A  (
g `  y )  /\  X_ y  e.  A  ( g `  y
)  C_  { f  e.  ( B  ^m  A
)  |  ( G 
gsumg  f )  e.  U } ) )  -> 
( A  X.  { X } )  e.  X_ y  e.  A  (
g `  y )
)
8381, 82syl5eqelr 2381 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( ( A  X.  { J }
) `  y )
) )  /\  (
( A  X.  { X } )  e.  X_ y  e.  A  (
g `  y )  /\  X_ y  e.  A  ( g `  y
)  C_  { f  e.  ( B  ^m  A
)  |  ( G 
gsumg  f )  e.  U } ) )  -> 
( y  e.  A  |->  X )  e.  X_ y  e.  A  (
g `  y )
)
84 mptelixpg 6869 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  Fin  ->  (
( y  e.  A  |->  X )  e.  X_ y  e.  A  (
g `  y )  <->  A. y  e.  A  X  e.  ( g `  y
) ) )
8571, 84syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( ( A  X.  { J }
) `  y )
) )  /\  (
( A  X.  { X } )  e.  X_ y  e.  A  (
g `  y )  /\  X_ y  e.  A  ( g `  y
)  C_  { f  e.  ( B  ^m  A
)  |  ( G 
gsumg  f )  e.  U } ) )  -> 
( ( y  e.  A  |->  X )  e.  X_ y  e.  A  ( g `  y
)  <->  A. y  e.  A  X  e.  ( g `  y ) ) )
8683, 85mpbid 201 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( ( A  X.  { J }
) `  y )
) )  /\  (
( A  X.  { X } )  e.  X_ y  e.  A  (
g `  y )  /\  X_ y  e.  A  ( g `  y
)  C_  { f  e.  ( B  ^m  A
)  |  ( G 
gsumg  f )  e.  U } ) )  ->  A. y  e.  A  X  e.  ( g `  y ) )
87 eleq2 2357 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  ( g `  y )  ->  ( X  e.  z  <->  X  e.  ( g `  y
) ) )
8887ralrn 5684 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( g  Fn  A  ->  ( A. z  e.  ran  g  X  e.  z  <->  A. y  e.  A  X  e.  ( g `  y
) ) )
8960, 88syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( ( A  X.  { J }
) `  y )
) )  /\  (
( A  X.  { X } )  e.  X_ y  e.  A  (
g `  y )  /\  X_ y  e.  A  ( g `  y
)  C_  { f  e.  ( B  ^m  A
)  |  ( G 
gsumg  f )  e.  U } ) )  -> 
( A. z  e. 
ran  g  X  e.  z  <->  A. y  e.  A  X  e.  ( g `  y ) ) )
9086, 89mpbird 223 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( ( A  X.  { J }
) `  y )
) )  /\  (
( A  X.  { X } )  e.  X_ y  e.  A  (
g `  y )  /\  X_ y  e.  A  ( g `  y
)  C_  { f  e.  ( B  ^m  A
)  |  ( G 
gsumg  f )  e.  U } ) )  ->  A. z  e.  ran  g  X  e.  z
)
91 elrint 3919 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X  e.  ( B  i^i  |^|
ran  g )  <->  ( X  e.  B  /\  A. z  e.  ran  g  X  e.  z ) )
9280, 90, 91sylanbrc 645 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( ( A  X.  { J }
) `  y )
) )  /\  (
( A  X.  { X } )  e.  X_ y  e.  A  (
g `  y )  /\  X_ y  e.  A  ( g `  y
)  C_  { f  e.  ( B  ^m  A
)  |  ( G 
gsumg  f )  e.  U } ) )  ->  X  e.  ( B  i^i  |^| ran  g ) )
9330inex1 4171 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( B  i^i  |^| ran  g )  e.  _V
94 ixpconstg 6841 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  ( B  i^i  |^| ran  g )  e.  _V )  ->  X_ y  e.  A  ( B  i^i  |^| ran  g )  =  ( ( B  i^i  |^| ran  g )  ^m  A
) )
9571, 93, 94sylancl 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( ( A  X.  { J }
) `  y )
) )  /\  (
( A  X.  { X } )  e.  X_ y  e.  A  (
g `  y )  /\  X_ y  e.  A  ( g `  y
)  C_  { f  e.  ( B  ^m  A
)  |  ( G 
gsumg  f )  e.  U } ) )  ->  X_ y  e.  A  ( B  i^i  |^| ran  g )  =  ( ( B  i^i  |^| ran  g )  ^m  A
) )
96 inss2 3403 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( B  i^i  |^| ran  g ) 
C_  |^| ran  g
97 fnfvelrn 5678 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( g  Fn  A  /\  y  e.  A )  ->  ( g `  y
)  e.  ran  g
)
98 intss1 3893 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( g `  y )  e.  ran  g  ->  |^| ran  g  C_  (
g `  y )
)
9997, 98syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( g  Fn  A  /\  y  e.  A )  ->  |^| ran  g  C_  ( g `  y
) )
10096, 99syl5ss 3203 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( g  Fn  A  /\  y  e.  A )  ->  ( B  i^i  |^| ran  g )  C_  (
g `  y )
)
101100ralrimiva 2639 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( g  Fn  A  ->  A. y  e.  A  ( B  i^i  |^| ran  g ) 
C_  ( g `  y ) )
102 ss2ixp 6845 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. y  e.  A  ( B  i^i  |^| ran  g ) 
C_  ( g `  y )  ->  X_ y  e.  A  ( B  i^i  |^| ran  g ) 
C_  X_ y  e.  A  ( g `  y
) )
10360, 101, 1023syl 18 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( ( A  X.  { J }
) `  y )
) )  /\  (
( A  X.  { X } )  e.  X_ y  e.  A  (
g `  y )  /\  X_ y  e.  A  ( g `  y
)  C_  { f  e.  ( B  ^m  A
)  |  ( G 
gsumg  f )  e.  U } ) )  ->  X_ y  e.  A  ( B  i^i  |^| ran  g )  C_  X_ y  e.  A  ( g `  y ) )
10495, 103eqsstr3d 3226 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( ( A  X.  { J }
) `  y )
) )  /\  (
( A  X.  { X } )  e.  X_ y  e.  A  (
g `  y )  /\  X_ y  e.  A  ( g `  y
)  C_  { f  e.  ( B  ^m  A
)  |  ( G 
gsumg  f )  e.  U } ) )  -> 
( ( B  i^i  |^|
ran  g )  ^m  A )  C_  X_ y  e.  A  ( g `  y ) )
105 ssrab 3264 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( X_ y  e.  A  (
g `  y )  C_ 
{ f  e.  ( B  ^m  A )  |  ( G  gsumg  f )  e.  U }  <->  ( X_ y  e.  A  (
g `  y )  C_  ( B  ^m  A
)  /\  A. f  e.  X_  y  e.  A  ( g `  y
) ( G  gsumg  f )  e.  U ) )
106105simprbi 450 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( X_ y  e.  A  (
g `  y )  C_ 
{ f  e.  ( B  ^m  A )  |  ( G  gsumg  f )  e.  U }  ->  A. f  e.  X_  y  e.  A  ( g `  y ) ( G 
gsumg  f )  e.  U
)
107106ad2antll 709 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( ( A  X.  { J }
) `  y )
) )  /\  (
( A  X.  { X } )  e.  X_ y  e.  A  (
g `  y )  /\  X_ y  e.  A  ( g `  y
)  C_  { f  e.  ( B  ^m  A
)  |  ( G 
gsumg  f )  e.  U } ) )  ->  A. f  e.  X_  y  e.  A  ( g `  y ) ( G 
gsumg  f )  e.  U
)
108 ssralv 3250 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( B  i^i  |^| ran  g )  ^m  A
)  C_  X_ y  e.  A  ( g `  y )  ->  ( A. f  e.  X_  y  e.  A  ( g `  y ) ( G 
gsumg  f )  e.  U  ->  A. f  e.  ( ( B  i^i  |^| ran  g )  ^m  A
) ( G  gsumg  f )  e.  U ) )
109104, 107, 108sylc 56 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( ( A  X.  { J }
) `  y )
) )  /\  (
( A  X.  { X } )  e.  X_ y  e.  A  (
g `  y )  /\  X_ y  e.  A  ( g `  y
)  C_  { f  e.  ( B  ^m  A
)  |  ( G 
gsumg  f )  e.  U } ) )  ->  A. f  e.  (
( B  i^i  |^| ran  g )  ^m  A
) ( G  gsumg  f )  e.  U )
110 eleq2 2357 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  =  ( B  i^i  |^|
ran  g )  -> 
( X  e.  u  <->  X  e.  ( B  i^i  |^|
ran  g ) ) )
111 oveq1 5881 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  =  ( B  i^i  |^|
ran  g )  -> 
( u  ^m  A
)  =  ( ( B  i^i  |^| ran  g )  ^m  A
) )
112111raleqdv 2755 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  =  ( B  i^i  |^|
ran  g )  -> 
( A. f  e.  ( u  ^m  A
) ( G  gsumg  f )  e.  U  <->  A. f  e.  ( ( B  i^i  |^|
ran  g )  ^m  A ) ( G 
gsumg  f )  e.  U
) )
113110, 112anbi12d 691 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  =  ( B  i^i  |^|
ran  g )  -> 
( ( X  e.  u  /\  A. f  e.  ( u  ^m  A
) ( G  gsumg  f )  e.  U )  <->  ( X  e.  ( B  i^i  |^| ran  g )  /\  A. f  e.  ( ( B  i^i  |^| ran  g )  ^m  A ) ( G  gsumg  f )  e.  U
) ) )
114113rspcev 2897 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( B  i^i  |^| ran  g )  e.  J  /\  ( X  e.  ( B  i^i  |^| ran  g )  /\  A. f  e.  ( ( B  i^i  |^| ran  g )  ^m  A ) ( G  gsumg  f )  e.  U
) )  ->  E. u  e.  J  ( X  e.  u  /\  A. f  e.  ( u  ^m  A
) ( G  gsumg  f )  e.  U ) )
11579, 92, 109, 114syl12anc 1180 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( ( A  X.  { J }
) `  y )
) )  /\  (
( A  X.  { X } )  e.  X_ y  e.  A  (
g `  y )  /\  X_ y  e.  A  ( g `  y
)  C_  { f  e.  ( B  ^m  A
)  |  ( G 
gsumg  f )  e.  U } ) )  ->  E. u  e.  J  ( X  e.  u  /\  A. f  e.  ( u  ^m  A ) ( G  gsumg  f )  e.  U
) )
116115ex 423 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( ( A  X.  { J } ) `  y
) ) )  -> 
( ( ( A  X.  { X }
)  e.  X_ y  e.  A  ( g `  y )  /\  X_ y  e.  A  ( g `  y )  C_  { f  e.  ( B  ^m  A )  |  ( G  gsumg  f )  e.  U } )  ->  E. u  e.  J  ( X  e.  u  /\  A. f  e.  ( u  ^m  A
) ( G  gsumg  f )  e.  U ) ) )
1171163adantr3 1116 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( ( A  X.  { J } ) `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( ( A  X.  { J } ) `  y ) ) )  ->  ( ( ( A  X.  { X } )  e.  X_ y  e.  A  (
g `  y )  /\  X_ y  e.  A  ( g `  y
)  C_  { f  e.  ( B  ^m  A
)  |  ( G 
gsumg  f )  e.  U } )  ->  E. u  e.  J  ( X  e.  u  /\  A. f  e.  ( u  ^m  A
) ( G  gsumg  f )  e.  U ) ) )
118 eleq2 2357 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  X_ y  e.  A  ( g `  y
)  ->  ( ( A  X.  { X }
)  e.  x  <->  ( A  X.  { X } )  e.  X_ y  e.  A  ( g `  y
) ) )
119 sseq1 3212 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  X_ y  e.  A  ( g `  y
)  ->  ( x  C_ 
{ f  e.  ( B  ^m  A )  |  ( G  gsumg  f )  e.  U }  <->  X_ y  e.  A  ( g `  y )  C_  { f  e.  ( B  ^m  A )  |  ( G  gsumg  f )  e.  U } ) )
120118, 119anbi12d 691 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  X_ y  e.  A  ( g `  y
)  ->  ( (
( A  X.  { X } )  e.  x  /\  x  C_  { f  e.  ( B  ^m  A )  |  ( G  gsumg  f )  e.  U } )  <->  ( ( A  X.  { X }
)  e.  X_ y  e.  A  ( g `  y )  /\  X_ y  e.  A  ( g `  y )  C_  { f  e.  ( B  ^m  A )  |  ( G  gsumg  f )  e.  U } ) ) )
121120imbi1d 308 . . . . . . 7  |-  ( x  =  X_ y  e.  A  ( g `  y
)  ->  ( (
( ( A  X.  { X } )  e.  x  /\  x  C_  { f  e.  ( B  ^m  A )  |  ( G  gsumg  f )  e.  U } )  ->  E. u  e.  J  ( X  e.  u  /\  A. f  e.  ( u  ^m  A
) ( G  gsumg  f )  e.  U ) )  <-> 
( ( ( A  X.  { X }
)  e.  X_ y  e.  A  ( g `  y )  /\  X_ y  e.  A  ( g `  y )  C_  { f  e.  ( B  ^m  A )  |  ( G  gsumg  f )  e.  U } )  ->  E. u  e.  J  ( X  e.  u  /\  A. f  e.  ( u  ^m  A
) ( G  gsumg  f )  e.  U ) ) ) )
122117, 121syl5ibrcom 213 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( ( A  X.  { J } ) `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( ( A  X.  { J } ) `  y ) ) )  ->  ( x  = 
X_ y  e.  A  ( g `  y
)  ->  ( (
( A  X.  { X } )  e.  x  /\  x  C_  { f  e.  ( B  ^m  A )  |  ( G  gsumg  f )  e.  U } )  ->  E. u  e.  J  ( X  e.  u  /\  A. f  e.  ( u  ^m  A
) ( G  gsumg  f )  e.  U ) ) ) )
123122expimpd 586 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  (
g `  y )  e.  ( ( A  X.  { J } ) `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( ( A  X.  { J } ) `  y ) )  /\  x  =  X_ y  e.  A  ( g `  y ) )  -> 
( ( ( A  X.  { X }
)  e.  x  /\  x  C_  { f  e.  ( B  ^m  A
)  |  ( G 
gsumg  f )  e.  U } )  ->  E. u  e.  J  ( X  e.  u  /\  A. f  e.  ( u  ^m  A
) ( G  gsumg  f )  e.  U ) ) ) )
124123exlimdv 1626 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y
)  e.  ( ( A  X.  { J } ) `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( ( A  X.  { J } ) `  y ) )  /\  x  =  X_ y  e.  A  ( g `  y ) )  -> 
( ( ( A  X.  { X }
)  e.  x  /\  x  C_  { f  e.  ( B  ^m  A
)  |  ( G 
gsumg  f )  e.  U } )  ->  E. u  e.  J  ( X  e.  u  /\  A. f  e.  ( u  ^m  A
) ( G  gsumg  f )  e.  U ) ) ) )
125124imp3a 420 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( E. g
( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( ( A  X.  { J } ) `  y
)  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( ( A  X.  { J } ) `  y ) )  /\  x  =  X_ y  e.  A  ( g `  y ) )  /\  ( ( A  X.  { X } )  e.  x  /\  x  C_  { f  e.  ( B  ^m  A )  |  ( G  gsumg  f )  e.  U } ) )  ->  E. u  e.  J  ( X  e.  u  /\  A. f  e.  ( u  ^m  A ) ( G  gsumg  f )  e.  U
) ) )
126125exlimdv 1626 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. x ( E. g ( ( g  Fn  A  /\  A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( ( A  X.  { J }
) `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( A 
\  z ) ( g `  y )  =  U. ( ( A  X.  { J } ) `  y
) )  /\  x  =  X_ y  e.  A  ( g `  y
) )  /\  (
( A  X.  { X } )  e.  x  /\  x  C_  { f  e.  ( B  ^m  A )  |  ( G  gsumg  f )  e.  U } ) )  ->  E. u  e.  J  ( X  e.  u  /\  A. f  e.  ( u  ^m  A ) ( G  gsumg  f )  e.  U
) ) )
12754, 126mpd 14 1  |-  ( ph  ->  E. u  e.  J  ( X  e.  u  /\  A. f  e.  ( u  ^m  A ) ( G  gsumg  f )  e.  U
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934   E.wex 1531    = wceq 1632    e. wcel 1696   {cab 2282   A.wral 2556   E.wrex 2557   {crab 2560   _Vcvv 2801    \ cdif 3162    i^i cin 3164    C_ wss 3165   ~Pcpw 3638   {csn 3653   U.cuni 3843   |^|cint 3878    e. cmpt 4093    X. cxp 4703   `'ccnv 4704   ran crn 4706   "cima 4708    Fn wfn 5266   -->wf 5267   -onto->wfo 5269   ` cfv 5271  (class class class)co 5874    ^m cmap 6788   X_cixp 6833   Fincfn 6879   #chash 11353   Basecbs 13164   TopOpenctopn 13342   topGenctg 13358   Xt_cpt 13359    gsumg cgsu 13417   Mndcmnd 14377  .gcmg 14382  CMndccmn 15105   Topctop 16647  TopOnctopon 16648    Cn ccn 16970    ^ k o cxko 17272  TopMndctmd 17769
This theorem is referenced by:  tsmsxp  17853
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-ixp 6834  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-fi 7181  df-oi 7241  df-card 7588  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-2 9820  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-seq 11063  df-hash 11354  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-rest 13343  df-topgen 13360  df-pt 13361  df-0g 13420  df-gsum 13421  df-mre 13504  df-mrc 13505  df-acs 13507  df-mnd 14383  df-plusf 14384  df-submnd 14432  df-mulg 14508  df-cntz 14809  df-cmn 15107  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-topsp 16656  df-cn 16973  df-cnp 16974  df-cmp 17130  df-tx 17273  df-xko 17274  df-tmd 17771
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