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Theorem tmdmulg 17775
Description: In a topological monoid, the n-times group multiple function is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tgpmulg.j  |-  J  =  ( TopOpen `  G )
tgpmulg.t  |-  .x.  =  (.g
`  G )
tgpmulg.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
Assertion
Ref Expression
tmdmulg  |-  ( ( G  e. TopMnd  /\  N  e. 
NN0 )  ->  (
x  e.  B  |->  ( N  .x.  x ) )  e.  ( J  Cn  J ) )
Distinct variable groups:    x, B    x, G    x, J    x,  .x.    x, N

Proof of Theorem tmdmulg
Dummy variables  k  n  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 5865 . . . . . . 7  |-  ( n  =  0  ->  (
n  .x.  x )  =  ( 0  .x.  x ) )
2 tgpmulg.b . . . . . . . 8  |-  B  =  ( Base `  G
)
3 eqid 2283 . . . . . . . 8  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
4 tgpmulg.t . . . . . . . 8  |-  .x.  =  (.g
`  G )
52, 3, 4mulg0 14572 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  B  ->  (
0  .x.  x )  =  ( 0g `  G ) )
61, 5sylan9eq 2335 . . . . . 6  |-  ( ( n  =  0  /\  x  e.  B )  ->  ( n  .x.  x )  =  ( 0g `  G ) )
76mpteq2dva 4106 . . . . 5  |-  ( n  =  0  ->  (
x  e.  B  |->  ( n  .x.  x ) )  =  ( x  e.  B  |->  ( 0g
`  G ) ) )
87eleq1d 2349 . . . 4  |-  ( n  =  0  ->  (
( x  e.  B  |->  ( n  .x.  x
) )  e.  ( J  Cn  J )  <-> 
( x  e.  B  |->  ( 0g `  G
) )  e.  ( J  Cn  J ) ) )
98imbi2d 307 . . 3  |-  ( n  =  0  ->  (
( G  e. TopMnd  ->  ( x  e.  B  |->  ( n  .x.  x ) )  e.  ( J  Cn  J ) )  <-> 
( G  e. TopMnd  ->  ( x  e.  B  |->  ( 0g `  G ) )  e.  ( J  Cn  J ) ) ) )
10 oveq1 5865 . . . . . 6  |-  ( n  =  k  ->  (
n  .x.  x )  =  ( k  .x.  x ) )
1110mpteq2dv 4107 . . . . 5  |-  ( n  =  k  ->  (
x  e.  B  |->  ( n  .x.  x ) )  =  ( x  e.  B  |->  ( k 
.x.  x ) ) )
1211eleq1d 2349 . . . 4  |-  ( n  =  k  ->  (
( x  e.  B  |->  ( n  .x.  x
) )  e.  ( J  Cn  J )  <-> 
( x  e.  B  |->  ( k  .x.  x
) )  e.  ( J  Cn  J ) ) )
1312imbi2d 307 . . 3  |-  ( n  =  k  ->  (
( G  e. TopMnd  ->  ( x  e.  B  |->  ( n  .x.  x ) )  e.  ( J  Cn  J ) )  <-> 
( G  e. TopMnd  ->  ( x  e.  B  |->  ( k  .x.  x ) )  e.  ( J  Cn  J ) ) ) )
14 oveq1 5865 . . . . . 6  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  (
n  .x.  x )  =  ( ( k  +  1 )  .x.  x ) )
1514mpteq2dv 4107 . . . . 5  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  (
x  e.  B  |->  ( n  .x.  x ) )  =  ( x  e.  B  |->  ( ( k  +  1 ) 
.x.  x ) ) )
1615eleq1d 2349 . . . 4  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  (
( x  e.  B  |->  ( n  .x.  x
) )  e.  ( J  Cn  J )  <-> 
( x  e.  B  |->  ( ( k  +  1 )  .x.  x
) )  e.  ( J  Cn  J ) ) )
1716imbi2d 307 . . 3  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  (
( G  e. TopMnd  ->  ( x  e.  B  |->  ( n  .x.  x ) )  e.  ( J  Cn  J ) )  <-> 
( G  e. TopMnd  ->  ( x  e.  B  |->  ( ( k  +  1 )  .x.  x ) )  e.  ( J  Cn  J ) ) ) )
18 oveq1 5865 . . . . . 6  |-  ( n  =  N  ->  (
n  .x.  x )  =  ( N  .x.  x ) )
1918mpteq2dv 4107 . . . . 5  |-  ( n  =  N  ->  (
x  e.  B  |->  ( n  .x.  x ) )  =  ( x  e.  B  |->  ( N 
.x.  x ) ) )
2019eleq1d 2349 . . . 4  |-  ( n  =  N  ->  (
( x  e.  B  |->  ( n  .x.  x
) )  e.  ( J  Cn  J )  <-> 
( x  e.  B  |->  ( N  .x.  x
) )  e.  ( J  Cn  J ) ) )
2120imbi2d 307 . . 3  |-  ( n  =  N  ->  (
( G  e. TopMnd  ->  ( x  e.  B  |->  ( n  .x.  x ) )  e.  ( J  Cn  J ) )  <-> 
( G  e. TopMnd  ->  ( x  e.  B  |->  ( N  .x.  x ) )  e.  ( J  Cn  J ) ) ) )
22 tgpmulg.j . . . . 5  |-  J  =  ( TopOpen `  G )
2322, 2tmdtopon 17764 . . . 4  |-  ( G  e. TopMnd  ->  J  e.  (TopOn `  B ) )
24 tmdmnd 17758 . . . . 5  |-  ( G  e. TopMnd  ->  G  e.  Mnd )
252, 3mndidcl 14391 . . . . 5  |-  ( G  e.  Mnd  ->  ( 0g `  G )  e.  B )
2624, 25syl 15 . . . 4  |-  ( G  e. TopMnd  ->  ( 0g `  G )  e.  B
)
2723, 23, 26cnmptc 17356 . . 3  |-  ( G  e. TopMnd  ->  ( x  e.  B  |->  ( 0g `  G ) )  e.  ( J  Cn  J
) )
28 oveq2 5866 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  (
( k  +  1 )  .x.  x )  =  ( ( k  +  1 )  .x.  y ) )
2928cbvmptv 4111 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  B  |->  ( ( k  +  1 ) 
.x.  x ) )  =  ( y  e.  B  |->  ( ( k  +  1 )  .x.  y ) )
30 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
312, 4, 30mulgnn0p1 14578 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  k  e.  NN0  /\  y  e.  B )  ->  (
( k  +  1 )  .x.  y )  =  ( ( k 
.x.  y ) ( +g  `  G ) y ) )
3224, 31syl3an1 1215 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e. TopMnd  /\  k  e.  NN0  /\  y  e.  B )  ->  (
( k  +  1 )  .x.  y )  =  ( ( k 
.x.  y ) ( +g  `  G ) y ) )
33323expa 1151 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e. TopMnd  /\  k  e.  NN0 )  /\  y  e.  B )  ->  (
( k  +  1 )  .x.  y )  =  ( ( k 
.x.  y ) ( +g  `  G ) y ) )
3433adantlr 695 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( G  e. TopMnd  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( x  e.  B  |->  ( k  .x.  x ) )  e.  ( J  Cn  J
) )  /\  y  e.  B )  ->  (
( k  +  1 )  .x.  y )  =  ( ( k 
.x.  y ) ( +g  `  G ) y ) )
3534mpteq2dva 4106 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e. TopMnd  /\  k  e.  NN0 )  /\  (
x  e.  B  |->  ( k  .x.  x ) )  e.  ( J  Cn  J ) )  ->  ( y  e.  B  |->  ( ( k  +  1 )  .x.  y ) )  =  ( y  e.  B  |->  ( ( k  .x.  y ) ( +g  `  G ) y ) ) )
3629, 35syl5eq 2327 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e. TopMnd  /\  k  e.  NN0 )  /\  (
x  e.  B  |->  ( k  .x.  x ) )  e.  ( J  Cn  J ) )  ->  ( x  e.  B  |->  ( ( k  +  1 )  .x.  x ) )  =  ( y  e.  B  |->  ( ( k  .x.  y ) ( +g  `  G ) y ) ) )
37 simpll 730 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e. TopMnd  /\  k  e.  NN0 )  /\  (
x  e.  B  |->  ( k  .x.  x ) )  e.  ( J  Cn  J ) )  ->  G  e. TopMnd )
3837, 23syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e. TopMnd  /\  k  e.  NN0 )  /\  (
x  e.  B  |->  ( k  .x.  x ) )  e.  ( J  Cn  J ) )  ->  J  e.  (TopOn `  B ) )
39 oveq2 5866 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  (
k  .x.  x )  =  ( k  .x.  y ) )
4039cbvmptv 4111 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  B  |->  ( k 
.x.  x ) )  =  ( y  e.  B  |->  ( k  .x.  y ) )
41 simpr 447 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e. TopMnd  /\  k  e.  NN0 )  /\  (
x  e.  B  |->  ( k  .x.  x ) )  e.  ( J  Cn  J ) )  ->  ( x  e.  B  |->  ( k  .x.  x ) )  e.  ( J  Cn  J
) )
4240, 41syl5eqelr 2368 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e. TopMnd  /\  k  e.  NN0 )  /\  (
x  e.  B  |->  ( k  .x.  x ) )  e.  ( J  Cn  J ) )  ->  ( y  e.  B  |->  ( k  .x.  y ) )  e.  ( J  Cn  J
) )
4338cnmptid 17355 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e. TopMnd  /\  k  e.  NN0 )  /\  (
x  e.  B  |->  ( k  .x.  x ) )  e.  ( J  Cn  J ) )  ->  ( y  e.  B  |->  y )  e.  ( J  Cn  J
) )
4422, 30, 37, 38, 42, 43cnmpt1plusg 17770 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e. TopMnd  /\  k  e.  NN0 )  /\  (
x  e.  B  |->  ( k  .x.  x ) )  e.  ( J  Cn  J ) )  ->  ( y  e.  B  |->  ( ( k 
.x.  y ) ( +g  `  G ) y ) )  e.  ( J  Cn  J
) )
4536, 44eqeltrd 2357 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e. TopMnd  /\  k  e.  NN0 )  /\  (
x  e.  B  |->  ( k  .x.  x ) )  e.  ( J  Cn  J ) )  ->  ( x  e.  B  |->  ( ( k  +  1 )  .x.  x ) )  e.  ( J  Cn  J
) )
4645ex 423 . . . . 5  |-  ( ( G  e. TopMnd  /\  k  e.  NN0 )  ->  (
( x  e.  B  |->  ( k  .x.  x
) )  e.  ( J  Cn  J )  ->  ( x  e.  B  |->  ( ( k  +  1 )  .x.  x ) )  e.  ( J  Cn  J
) ) )
4746expcom 424 . . . 4  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( G  e. TopMnd  ->  ( ( x  e.  B  |->  ( k 
.x.  x ) )  e.  ( J  Cn  J )  ->  (
x  e.  B  |->  ( ( k  +  1 )  .x.  x ) )  e.  ( J  Cn  J ) ) ) )
4847a2d 23 . . 3  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( G  e. TopMnd  ->  ( x  e.  B  |->  ( k 
.x.  x ) )  e.  ( J  Cn  J ) )  -> 
( G  e. TopMnd  ->  ( x  e.  B  |->  ( ( k  +  1 )  .x.  x ) )  e.  ( J  Cn  J ) ) ) )
499, 13, 17, 21, 27, 48nn0ind 10108 . 2  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( G  e. TopMnd  ->  ( x  e.  B  |->  ( N  .x.  x ) )  e.  ( J  Cn  J
) ) )
5049impcom 419 1  |-  ( ( G  e. TopMnd  /\  N  e. 
NN0 )  ->  (
x  e.  B  |->  ( N  .x.  x ) )  e.  ( J  Cn  J ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684    e. cmpt 4077   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   0cc0 8737   1c1 8738    + caddc 8740   NN0cn0 9965   Basecbs 13148   +g cplusg 13208   TopOpenctopn 13326   0gc0g 13400   Mndcmnd 14361  .gcmg 14366  TopOnctopon 16632    Cn ccn 16954  TopMndctmd 17753
This theorem is referenced by:  tgpmulg  17776
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-seq 11047  df-topgen 13344  df-0g 13404  df-mnd 14367  df-plusf 14368  df-mulg 14492  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-topsp 16640  df-cn 16957  df-cnp 16958  df-tx 17257  df-tmd 17755
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