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Theorem tmdmulg 18045
Description: In a topological monoid, the n-times group multiple function is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tgpmulg.j  |-  J  =  ( TopOpen `  G )
tgpmulg.t  |-  .x.  =  (.g
`  G )
tgpmulg.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
Assertion
Ref Expression
tmdmulg  |-  ( ( G  e. TopMnd  /\  N  e. 
NN0 )  ->  (
x  e.  B  |->  ( N  .x.  x ) )  e.  ( J  Cn  J ) )
Distinct variable groups:    x, B    x, G    x, J    x,  .x.    x, N

Proof of Theorem tmdmulg
Dummy variables  k  n  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 6029 . . . . . . 7  |-  ( n  =  0  ->  (
n  .x.  x )  =  ( 0  .x.  x ) )
2 tgpmulg.b . . . . . . . 8  |-  B  =  ( Base `  G
)
3 eqid 2389 . . . . . . . 8  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
4 tgpmulg.t . . . . . . . 8  |-  .x.  =  (.g
`  G )
52, 3, 4mulg0 14824 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  B  ->  (
0  .x.  x )  =  ( 0g `  G ) )
61, 5sylan9eq 2441 . . . . . 6  |-  ( ( n  =  0  /\  x  e.  B )  ->  ( n  .x.  x )  =  ( 0g `  G ) )
76mpteq2dva 4238 . . . . 5  |-  ( n  =  0  ->  (
x  e.  B  |->  ( n  .x.  x ) )  =  ( x  e.  B  |->  ( 0g
`  G ) ) )
87eleq1d 2455 . . . 4  |-  ( n  =  0  ->  (
( x  e.  B  |->  ( n  .x.  x
) )  e.  ( J  Cn  J )  <-> 
( x  e.  B  |->  ( 0g `  G
) )  e.  ( J  Cn  J ) ) )
98imbi2d 308 . . 3  |-  ( n  =  0  ->  (
( G  e. TopMnd  ->  ( x  e.  B  |->  ( n  .x.  x ) )  e.  ( J  Cn  J ) )  <-> 
( G  e. TopMnd  ->  ( x  e.  B  |->  ( 0g `  G ) )  e.  ( J  Cn  J ) ) ) )
10 oveq1 6029 . . . . . 6  |-  ( n  =  k  ->  (
n  .x.  x )  =  ( k  .x.  x ) )
1110mpteq2dv 4239 . . . . 5  |-  ( n  =  k  ->  (
x  e.  B  |->  ( n  .x.  x ) )  =  ( x  e.  B  |->  ( k 
.x.  x ) ) )
1211eleq1d 2455 . . . 4  |-  ( n  =  k  ->  (
( x  e.  B  |->  ( n  .x.  x
) )  e.  ( J  Cn  J )  <-> 
( x  e.  B  |->  ( k  .x.  x
) )  e.  ( J  Cn  J ) ) )
1312imbi2d 308 . . 3  |-  ( n  =  k  ->  (
( G  e. TopMnd  ->  ( x  e.  B  |->  ( n  .x.  x ) )  e.  ( J  Cn  J ) )  <-> 
( G  e. TopMnd  ->  ( x  e.  B  |->  ( k  .x.  x ) )  e.  ( J  Cn  J ) ) ) )
14 oveq1 6029 . . . . . 6  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  (
n  .x.  x )  =  ( ( k  +  1 )  .x.  x ) )
1514mpteq2dv 4239 . . . . 5  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  (
x  e.  B  |->  ( n  .x.  x ) )  =  ( x  e.  B  |->  ( ( k  +  1 ) 
.x.  x ) ) )
1615eleq1d 2455 . . . 4  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  (
( x  e.  B  |->  ( n  .x.  x
) )  e.  ( J  Cn  J )  <-> 
( x  e.  B  |->  ( ( k  +  1 )  .x.  x
) )  e.  ( J  Cn  J ) ) )
1716imbi2d 308 . . 3  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  (
( G  e. TopMnd  ->  ( x  e.  B  |->  ( n  .x.  x ) )  e.  ( J  Cn  J ) )  <-> 
( G  e. TopMnd  ->  ( x  e.  B  |->  ( ( k  +  1 )  .x.  x ) )  e.  ( J  Cn  J ) ) ) )
18 oveq1 6029 . . . . . 6  |-  ( n  =  N  ->  (
n  .x.  x )  =  ( N  .x.  x ) )
1918mpteq2dv 4239 . . . . 5  |-  ( n  =  N  ->  (
x  e.  B  |->  ( n  .x.  x ) )  =  ( x  e.  B  |->  ( N 
.x.  x ) ) )
2019eleq1d 2455 . . . 4  |-  ( n  =  N  ->  (
( x  e.  B  |->  ( n  .x.  x
) )  e.  ( J  Cn  J )  <-> 
( x  e.  B  |->  ( N  .x.  x
) )  e.  ( J  Cn  J ) ) )
2120imbi2d 308 . . 3  |-  ( n  =  N  ->  (
( G  e. TopMnd  ->  ( x  e.  B  |->  ( n  .x.  x ) )  e.  ( J  Cn  J ) )  <-> 
( G  e. TopMnd  ->  ( x  e.  B  |->  ( N  .x.  x ) )  e.  ( J  Cn  J ) ) ) )
22 tgpmulg.j . . . . 5  |-  J  =  ( TopOpen `  G )
2322, 2tmdtopon 18034 . . . 4  |-  ( G  e. TopMnd  ->  J  e.  (TopOn `  B ) )
24 tmdmnd 18028 . . . . 5  |-  ( G  e. TopMnd  ->  G  e.  Mnd )
252, 3mndidcl 14643 . . . . 5  |-  ( G  e.  Mnd  ->  ( 0g `  G )  e.  B )
2624, 25syl 16 . . . 4  |-  ( G  e. TopMnd  ->  ( 0g `  G )  e.  B
)
2723, 23, 26cnmptc 17617 . . 3  |-  ( G  e. TopMnd  ->  ( x  e.  B  |->  ( 0g `  G ) )  e.  ( J  Cn  J
) )
28 oveq2 6030 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  (
( k  +  1 )  .x.  x )  =  ( ( k  +  1 )  .x.  y ) )
2928cbvmptv 4243 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  B  |->  ( ( k  +  1 ) 
.x.  x ) )  =  ( y  e.  B  |->  ( ( k  +  1 )  .x.  y ) )
30 eqid 2389 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
312, 4, 30mulgnn0p1 14830 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  k  e.  NN0  /\  y  e.  B )  ->  (
( k  +  1 )  .x.  y )  =  ( ( k 
.x.  y ) ( +g  `  G ) y ) )
3224, 31syl3an1 1217 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e. TopMnd  /\  k  e.  NN0  /\  y  e.  B )  ->  (
( k  +  1 )  .x.  y )  =  ( ( k 
.x.  y ) ( +g  `  G ) y ) )
33323expa 1153 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e. TopMnd  /\  k  e.  NN0 )  /\  y  e.  B )  ->  (
( k  +  1 )  .x.  y )  =  ( ( k 
.x.  y ) ( +g  `  G ) y ) )
3433adantlr 696 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( G  e. TopMnd  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( x  e.  B  |->  ( k  .x.  x ) )  e.  ( J  Cn  J
) )  /\  y  e.  B )  ->  (
( k  +  1 )  .x.  y )  =  ( ( k 
.x.  y ) ( +g  `  G ) y ) )
3534mpteq2dva 4238 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e. TopMnd  /\  k  e.  NN0 )  /\  (
x  e.  B  |->  ( k  .x.  x ) )  e.  ( J  Cn  J ) )  ->  ( y  e.  B  |->  ( ( k  +  1 )  .x.  y ) )  =  ( y  e.  B  |->  ( ( k  .x.  y ) ( +g  `  G ) y ) ) )
3629, 35syl5eq 2433 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e. TopMnd  /\  k  e.  NN0 )  /\  (
x  e.  B  |->  ( k  .x.  x ) )  e.  ( J  Cn  J ) )  ->  ( x  e.  B  |->  ( ( k  +  1 )  .x.  x ) )  =  ( y  e.  B  |->  ( ( k  .x.  y ) ( +g  `  G ) y ) ) )
37 simpll 731 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e. TopMnd  /\  k  e.  NN0 )  /\  (
x  e.  B  |->  ( k  .x.  x ) )  e.  ( J  Cn  J ) )  ->  G  e. TopMnd )
3837, 23syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e. TopMnd  /\  k  e.  NN0 )  /\  (
x  e.  B  |->  ( k  .x.  x ) )  e.  ( J  Cn  J ) )  ->  J  e.  (TopOn `  B ) )
39 oveq2 6030 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  (
k  .x.  x )  =  ( k  .x.  y ) )
4039cbvmptv 4243 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  B  |->  ( k 
.x.  x ) )  =  ( y  e.  B  |->  ( k  .x.  y ) )
41 simpr 448 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e. TopMnd  /\  k  e.  NN0 )  /\  (
x  e.  B  |->  ( k  .x.  x ) )  e.  ( J  Cn  J ) )  ->  ( x  e.  B  |->  ( k  .x.  x ) )  e.  ( J  Cn  J
) )
4240, 41syl5eqelr 2474 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e. TopMnd  /\  k  e.  NN0 )  /\  (
x  e.  B  |->  ( k  .x.  x ) )  e.  ( J  Cn  J ) )  ->  ( y  e.  B  |->  ( k  .x.  y ) )  e.  ( J  Cn  J
) )
4338cnmptid 17616 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e. TopMnd  /\  k  e.  NN0 )  /\  (
x  e.  B  |->  ( k  .x.  x ) )  e.  ( J  Cn  J ) )  ->  ( y  e.  B  |->  y )  e.  ( J  Cn  J
) )
4422, 30, 37, 38, 42, 43cnmpt1plusg 18040 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e. TopMnd  /\  k  e.  NN0 )  /\  (
x  e.  B  |->  ( k  .x.  x ) )  e.  ( J  Cn  J ) )  ->  ( y  e.  B  |->  ( ( k 
.x.  y ) ( +g  `  G ) y ) )  e.  ( J  Cn  J
) )
4536, 44eqeltrd 2463 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e. TopMnd  /\  k  e.  NN0 )  /\  (
x  e.  B  |->  ( k  .x.  x ) )  e.  ( J  Cn  J ) )  ->  ( x  e.  B  |->  ( ( k  +  1 )  .x.  x ) )  e.  ( J  Cn  J
) )
4645ex 424 . . . . 5  |-  ( ( G  e. TopMnd  /\  k  e.  NN0 )  ->  (
( x  e.  B  |->  ( k  .x.  x
) )  e.  ( J  Cn  J )  ->  ( x  e.  B  |->  ( ( k  +  1 )  .x.  x ) )  e.  ( J  Cn  J
) ) )
4746expcom 425 . . . 4  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( G  e. TopMnd  ->  ( ( x  e.  B  |->  ( k 
.x.  x ) )  e.  ( J  Cn  J )  ->  (
x  e.  B  |->  ( ( k  +  1 )  .x.  x ) )  e.  ( J  Cn  J ) ) ) )
4847a2d 24 . . 3  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( G  e. TopMnd  ->  ( x  e.  B  |->  ( k 
.x.  x ) )  e.  ( J  Cn  J ) )  -> 
( G  e. TopMnd  ->  ( x  e.  B  |->  ( ( k  +  1 )  .x.  x ) )  e.  ( J  Cn  J ) ) ) )
499, 13, 17, 21, 27, 48nn0ind 10300 . 2  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( G  e. TopMnd  ->  ( x  e.  B  |->  ( N  .x.  x ) )  e.  ( J  Cn  J
) ) )
5049impcom 420 1  |-  ( ( G  e. TopMnd  /\  N  e. 
NN0 )  ->  (
x  e.  B  |->  ( N  .x.  x ) )  e.  ( J  Cn  J ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717    e. cmpt 4209   ` cfv 5396  (class class class)co 6022   0cc0 8925   1c1 8926    + caddc 8928   NN0cn0 10155   Basecbs 13398   +g cplusg 13458   TopOpenctopn 13578   0gc0g 13652   Mndcmnd 14613  .gcmg 14618  TopOnctopon 16884    Cn ccn 17212  TopMndctmd 18023
This theorem is referenced by:  tgpmulg  18046
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2370  ax-rep 4263  ax-sep 4273  ax-nul 4281  ax-pow 4320  ax-pr 4346  ax-un 4643  ax-inf2 7531  ax-cnex 8981  ax-resscn 8982  ax-1cn 8983  ax-icn 8984  ax-addcl 8985  ax-addrcl 8986  ax-mulcl 8987  ax-mulrcl 8988  ax-mulcom 8989  ax-addass 8990  ax-mulass 8991  ax-distr 8992  ax-i2m1 8993  ax-1ne0 8994  ax-1rid 8995  ax-rnegex 8996  ax-rrecex 8997  ax-cnre 8998  ax-pre-lttri 8999  ax-pre-lttrn 9000  ax-pre-ltadd 9001  ax-pre-mulgt0 9002
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2376  df-cleq 2382  df-clel 2385  df-nfc 2514  df-ne 2554  df-nel 2555  df-ral 2656  df-rex 2657  df-reu 2658  df-rmo 2659  df-rab 2660  df-v 2903  df-sbc 3107  df-csb 3197  df-dif 3268  df-un 3270  df-in 3272  df-ss 3279  df-pss 3281  df-nul 3574  df-if 3685  df-pw 3746  df-sn 3765  df-pr 3766  df-tp 3767  df-op 3768  df-uni 3960  df-iun 4039  df-br 4156  df-opab 4210  df-mpt 4211  df-tr 4246  df-eprel 4437  df-id 4441  df-po 4446  df-so 4447  df-fr 4484  df-we 4486  df-ord 4527  df-on 4528  df-lim 4529  df-suc 4530  df-om 4788  df-xp 4826  df-rel 4827  df-cnv 4828  df-co 4829  df-dm 4830  df-rn 4831  df-res 4832  df-ima 4833  df-iota 5360  df-fun 5398  df-fn 5399  df-f 5400  df-f1 5401  df-fo 5402  df-f1o 5403  df-fv 5404  df-ov 6025  df-oprab 6026  df-mpt2 6027  df-1st 6290  df-2nd 6291  df-riota 6487  df-recs 6571  df-rdg 6606  df-er 6843  df-map 6958  df-en 7048  df-dom 7049  df-sdom 7050  df-pnf 9057  df-mnf 9058  df-xr 9059  df-ltxr 9060  df-le 9061  df-sub 9227  df-neg 9228  df-nn 9935  df-n0 10156  df-z 10217  df-uz 10423  df-seq 11253  df-topgen 13596  df-0g 13656  df-mnd 14619  df-plusf 14620  df-mulg 14744  df-top 16888  df-bases 16890  df-topon 16891  df-topsp 16892  df-cn 17215  df-cnp 17216  df-tx 17517  df-tmd 18025
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