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Theorem tmdmulg 18114
Description: In a topological monoid, the n-times group multiple function is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tgpmulg.j  |-  J  =  ( TopOpen `  G )
tgpmulg.t  |-  .x.  =  (.g
`  G )
tgpmulg.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
Assertion
Ref Expression
tmdmulg  |-  ( ( G  e. TopMnd  /\  N  e. 
NN0 )  ->  (
x  e.  B  |->  ( N  .x.  x ) )  e.  ( J  Cn  J ) )
Distinct variable groups:    x, B    x, G    x, J    x,  .x.    x, N

Proof of Theorem tmdmulg
Dummy variables  k  n  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 6080 . . . . . . 7  |-  ( n  =  0  ->  (
n  .x.  x )  =  ( 0  .x.  x ) )
2 tgpmulg.b . . . . . . . 8  |-  B  =  ( Base `  G
)
3 eqid 2435 . . . . . . . 8  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
4 tgpmulg.t . . . . . . . 8  |-  .x.  =  (.g
`  G )
52, 3, 4mulg0 14887 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  B  ->  (
0  .x.  x )  =  ( 0g `  G ) )
61, 5sylan9eq 2487 . . . . . 6  |-  ( ( n  =  0  /\  x  e.  B )  ->  ( n  .x.  x )  =  ( 0g `  G ) )
76mpteq2dva 4287 . . . . 5  |-  ( n  =  0  ->  (
x  e.  B  |->  ( n  .x.  x ) )  =  ( x  e.  B  |->  ( 0g
`  G ) ) )
87eleq1d 2501 . . . 4  |-  ( n  =  0  ->  (
( x  e.  B  |->  ( n  .x.  x
) )  e.  ( J  Cn  J )  <-> 
( x  e.  B  |->  ( 0g `  G
) )  e.  ( J  Cn  J ) ) )
98imbi2d 308 . . 3  |-  ( n  =  0  ->  (
( G  e. TopMnd  ->  ( x  e.  B  |->  ( n  .x.  x ) )  e.  ( J  Cn  J ) )  <-> 
( G  e. TopMnd  ->  ( x  e.  B  |->  ( 0g `  G ) )  e.  ( J  Cn  J ) ) ) )
10 oveq1 6080 . . . . . 6  |-  ( n  =  k  ->  (
n  .x.  x )  =  ( k  .x.  x ) )
1110mpteq2dv 4288 . . . . 5  |-  ( n  =  k  ->  (
x  e.  B  |->  ( n  .x.  x ) )  =  ( x  e.  B  |->  ( k 
.x.  x ) ) )
1211eleq1d 2501 . . . 4  |-  ( n  =  k  ->  (
( x  e.  B  |->  ( n  .x.  x
) )  e.  ( J  Cn  J )  <-> 
( x  e.  B  |->  ( k  .x.  x
) )  e.  ( J  Cn  J ) ) )
1312imbi2d 308 . . 3  |-  ( n  =  k  ->  (
( G  e. TopMnd  ->  ( x  e.  B  |->  ( n  .x.  x ) )  e.  ( J  Cn  J ) )  <-> 
( G  e. TopMnd  ->  ( x  e.  B  |->  ( k  .x.  x ) )  e.  ( J  Cn  J ) ) ) )
14 oveq1 6080 . . . . . 6  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  (
n  .x.  x )  =  ( ( k  +  1 )  .x.  x ) )
1514mpteq2dv 4288 . . . . 5  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  (
x  e.  B  |->  ( n  .x.  x ) )  =  ( x  e.  B  |->  ( ( k  +  1 ) 
.x.  x ) ) )
1615eleq1d 2501 . . . 4  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  (
( x  e.  B  |->  ( n  .x.  x
) )  e.  ( J  Cn  J )  <-> 
( x  e.  B  |->  ( ( k  +  1 )  .x.  x
) )  e.  ( J  Cn  J ) ) )
1716imbi2d 308 . . 3  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  (
( G  e. TopMnd  ->  ( x  e.  B  |->  ( n  .x.  x ) )  e.  ( J  Cn  J ) )  <-> 
( G  e. TopMnd  ->  ( x  e.  B  |->  ( ( k  +  1 )  .x.  x ) )  e.  ( J  Cn  J ) ) ) )
18 oveq1 6080 . . . . . 6  |-  ( n  =  N  ->  (
n  .x.  x )  =  ( N  .x.  x ) )
1918mpteq2dv 4288 . . . . 5  |-  ( n  =  N  ->  (
x  e.  B  |->  ( n  .x.  x ) )  =  ( x  e.  B  |->  ( N 
.x.  x ) ) )
2019eleq1d 2501 . . . 4  |-  ( n  =  N  ->  (
( x  e.  B  |->  ( n  .x.  x
) )  e.  ( J  Cn  J )  <-> 
( x  e.  B  |->  ( N  .x.  x
) )  e.  ( J  Cn  J ) ) )
2120imbi2d 308 . . 3  |-  ( n  =  N  ->  (
( G  e. TopMnd  ->  ( x  e.  B  |->  ( n  .x.  x ) )  e.  ( J  Cn  J ) )  <-> 
( G  e. TopMnd  ->  ( x  e.  B  |->  ( N  .x.  x ) )  e.  ( J  Cn  J ) ) ) )
22 tgpmulg.j . . . . 5  |-  J  =  ( TopOpen `  G )
2322, 2tmdtopon 18103 . . . 4  |-  ( G  e. TopMnd  ->  J  e.  (TopOn `  B ) )
24 tmdmnd 18097 . . . . 5  |-  ( G  e. TopMnd  ->  G  e.  Mnd )
252, 3mndidcl 14706 . . . . 5  |-  ( G  e.  Mnd  ->  ( 0g `  G )  e.  B )
2624, 25syl 16 . . . 4  |-  ( G  e. TopMnd  ->  ( 0g `  G )  e.  B
)
2723, 23, 26cnmptc 17686 . . 3  |-  ( G  e. TopMnd  ->  ( x  e.  B  |->  ( 0g `  G ) )  e.  ( J  Cn  J
) )
28 oveq2 6081 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  (
( k  +  1 )  .x.  x )  =  ( ( k  +  1 )  .x.  y ) )
2928cbvmptv 4292 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  B  |->  ( ( k  +  1 ) 
.x.  x ) )  =  ( y  e.  B  |->  ( ( k  +  1 )  .x.  y ) )
30 eqid 2435 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
312, 4, 30mulgnn0p1 14893 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  k  e.  NN0  /\  y  e.  B )  ->  (
( k  +  1 )  .x.  y )  =  ( ( k 
.x.  y ) ( +g  `  G ) y ) )
3224, 31syl3an1 1217 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e. TopMnd  /\  k  e.  NN0  /\  y  e.  B )  ->  (
( k  +  1 )  .x.  y )  =  ( ( k 
.x.  y ) ( +g  `  G ) y ) )
33323expa 1153 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e. TopMnd  /\  k  e.  NN0 )  /\  y  e.  B )  ->  (
( k  +  1 )  .x.  y )  =  ( ( k 
.x.  y ) ( +g  `  G ) y ) )
3433adantlr 696 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( G  e. TopMnd  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( x  e.  B  |->  ( k  .x.  x ) )  e.  ( J  Cn  J
) )  /\  y  e.  B )  ->  (
( k  +  1 )  .x.  y )  =  ( ( k 
.x.  y ) ( +g  `  G ) y ) )
3534mpteq2dva 4287 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e. TopMnd  /\  k  e.  NN0 )  /\  (
x  e.  B  |->  ( k  .x.  x ) )  e.  ( J  Cn  J ) )  ->  ( y  e.  B  |->  ( ( k  +  1 )  .x.  y ) )  =  ( y  e.  B  |->  ( ( k  .x.  y ) ( +g  `  G ) y ) ) )
3629, 35syl5eq 2479 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e. TopMnd  /\  k  e.  NN0 )  /\  (
x  e.  B  |->  ( k  .x.  x ) )  e.  ( J  Cn  J ) )  ->  ( x  e.  B  |->  ( ( k  +  1 )  .x.  x ) )  =  ( y  e.  B  |->  ( ( k  .x.  y ) ( +g  `  G ) y ) ) )
37 simpll 731 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e. TopMnd  /\  k  e.  NN0 )  /\  (
x  e.  B  |->  ( k  .x.  x ) )  e.  ( J  Cn  J ) )  ->  G  e. TopMnd )
3837, 23syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e. TopMnd  /\  k  e.  NN0 )  /\  (
x  e.  B  |->  ( k  .x.  x ) )  e.  ( J  Cn  J ) )  ->  J  e.  (TopOn `  B ) )
39 oveq2 6081 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  (
k  .x.  x )  =  ( k  .x.  y ) )
4039cbvmptv 4292 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  B  |->  ( k 
.x.  x ) )  =  ( y  e.  B  |->  ( k  .x.  y ) )
41 simpr 448 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e. TopMnd  /\  k  e.  NN0 )  /\  (
x  e.  B  |->  ( k  .x.  x ) )  e.  ( J  Cn  J ) )  ->  ( x  e.  B  |->  ( k  .x.  x ) )  e.  ( J  Cn  J
) )
4240, 41syl5eqelr 2520 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e. TopMnd  /\  k  e.  NN0 )  /\  (
x  e.  B  |->  ( k  .x.  x ) )  e.  ( J  Cn  J ) )  ->  ( y  e.  B  |->  ( k  .x.  y ) )  e.  ( J  Cn  J
) )
4338cnmptid 17685 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e. TopMnd  /\  k  e.  NN0 )  /\  (
x  e.  B  |->  ( k  .x.  x ) )  e.  ( J  Cn  J ) )  ->  ( y  e.  B  |->  y )  e.  ( J  Cn  J
) )
4422, 30, 37, 38, 42, 43cnmpt1plusg 18109 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e. TopMnd  /\  k  e.  NN0 )  /\  (
x  e.  B  |->  ( k  .x.  x ) )  e.  ( J  Cn  J ) )  ->  ( y  e.  B  |->  ( ( k 
.x.  y ) ( +g  `  G ) y ) )  e.  ( J  Cn  J
) )
4536, 44eqeltrd 2509 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e. TopMnd  /\  k  e.  NN0 )  /\  (
x  e.  B  |->  ( k  .x.  x ) )  e.  ( J  Cn  J ) )  ->  ( x  e.  B  |->  ( ( k  +  1 )  .x.  x ) )  e.  ( J  Cn  J
) )
4645ex 424 . . . . 5  |-  ( ( G  e. TopMnd  /\  k  e.  NN0 )  ->  (
( x  e.  B  |->  ( k  .x.  x
) )  e.  ( J  Cn  J )  ->  ( x  e.  B  |->  ( ( k  +  1 )  .x.  x ) )  e.  ( J  Cn  J
) ) )
4746expcom 425 . . . 4  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( G  e. TopMnd  ->  ( ( x  e.  B  |->  ( k 
.x.  x ) )  e.  ( J  Cn  J )  ->  (
x  e.  B  |->  ( ( k  +  1 )  .x.  x ) )  e.  ( J  Cn  J ) ) ) )
4847a2d 24 . . 3  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( G  e. TopMnd  ->  ( x  e.  B  |->  ( k 
.x.  x ) )  e.  ( J  Cn  J ) )  -> 
( G  e. TopMnd  ->  ( x  e.  B  |->  ( ( k  +  1 )  .x.  x ) )  e.  ( J  Cn  J ) ) ) )
499, 13, 17, 21, 27, 48nn0ind 10358 . 2  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( G  e. TopMnd  ->  ( x  e.  B  |->  ( N  .x.  x ) )  e.  ( J  Cn  J
) ) )
5049impcom 420 1  |-  ( ( G  e. TopMnd  /\  N  e. 
NN0 )  ->  (
x  e.  B  |->  ( N  .x.  x ) )  e.  ( J  Cn  J ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    e. cmpt 4258   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   0cc0 8982   1c1 8983    + caddc 8985   NN0cn0 10213   Basecbs 13461   +g cplusg 13521   TopOpenctopn 13641   0gc0g 13715   Mndcmnd 14676  .gcmg 14681  TopOnctopon 16951    Cn ccn 17280  TopMndctmd 18092
This theorem is referenced by:  tgpmulg  18115
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7588  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-er 6897  df-map 7012  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-nn 9993  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-seq 11316  df-topgen 13659  df-0g 13719  df-mnd 14682  df-plusf 14683  df-mulg 14807  df-top 16955  df-bases 16957  df-topon 16958  df-topsp 16959  df-cn 17283  df-cnp 17284  df-tx 17586  df-tmd 18094
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