MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tmslem Unicode version

Theorem tmslem 18028
Description: Lemma for tmsbas 18029, tmsds 18030, and tmstopn 18031. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tmsval.m  |-  M  =  { <. ( Base `  ndx ) ,  X >. , 
<. ( dist `  ndx ) ,  D >. }
tmsval.k  |-  K  =  (toMetSp `  D )
Assertion
Ref Expression
tmslem  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  ( X  =  ( Base `  K )  /\  D  =  ( dist `  K
)  /\  ( MetOpen `  D )  =  (
TopOpen `  K ) ) )

Proof of Theorem tmslem
StepHypRef Expression
1 elfvdm 5554 . . . 4  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  X  e.  dom  * Met )
2 tmsval.m . . . . 5  |-  M  =  { <. ( Base `  ndx ) ,  X >. , 
<. ( dist `  ndx ) ,  D >. }
3 df-ds 13230 . . . . 5  |-  dist  = Slot ; 1 2
4 1nn 9757 . . . . . 6  |-  1  e.  NN
5 2nn0 9982 . . . . . 6  |-  2  e.  NN0
6 1nn0 9981 . . . . . 6  |-  1  e.  NN0
7 1lt10 9930 . . . . . 6  |-  1  <  10
84, 5, 6, 7declti 10149 . . . . 5  |-  1  < ; 1
2
9 2nn 9877 . . . . . 6  |-  2  e.  NN
106, 9decnncl 10137 . . . . 5  |- ; 1 2  e.  NN
112, 3, 8, 102strbas 13245 . . . 4  |-  ( X  e.  dom  * Met  ->  X  =  ( Base `  M ) )
121, 11syl 15 . . 3  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  X  =  ( Base `  M
) )
13 xmetf 17894 . . . . 5  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  D : ( X  X.  X ) --> RR* )
14 ffn 5389 . . . . 5  |-  ( D : ( X  X.  X ) --> RR*  ->  D  Fn  ( X  X.  X ) )
15 fnresdm 5353 . . . . 5  |-  ( D  Fn  ( X  X.  X )  ->  ( D  |`  ( X  X.  X ) )  =  D )
1613, 14, 153syl 18 . . . 4  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  ( D  |`  ( X  X.  X ) )  =  D )
172, 3, 8, 102strop 13246 . . . . 5  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  D  =  ( dist `  M
) )
1817reseq1d 4954 . . . 4  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  ( D  |`  ( X  X.  X ) )  =  ( ( dist `  M
)  |`  ( X  X.  X ) ) )
1916, 18eqtr3d 2317 . . 3  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  D  =  ( ( dist `  M )  |`  ( X  X.  X ) ) )
20 tmsval.k . . . 4  |-  K  =  (toMetSp `  D )
212, 20tmsval 18027 . . 3  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  K  =  ( M sSet  <. (TopSet `  ndx ) ,  (
MetOpen `  D ) >.
) )
2212, 19, 21setsmsbas 18021 . 2  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  X  =  ( Base `  K
) )
2312, 19, 21setsmsds 18022 . . 3  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  ( dist `  M )  =  ( dist `  K
) )
2417, 23eqtrd 2315 . 2  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  D  =  ( dist `  K
) )
25 prex 4217 . . . . 5  |-  { <. (
Base `  ndx ) ,  X >. ,  <. ( dist `  ndx ) ,  D >. }  e.  _V
262, 25eqeltri 2353 . . . 4  |-  M  e. 
_V
2726a1i 10 . . 3  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  M  e.  _V )
2812, 19, 21, 27setsmstopn 18024 . 2  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  ( MetOpen
`  D )  =  ( TopOpen `  K )
)
2922, 24, 283jca 1132 1  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  ( X  =  ( Base `  K )  /\  D  =  ( dist `  K
)  /\  ( MetOpen `  D )  =  (
TopOpen `  K ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   _Vcvv 2788   {cpr 3641   <.cop 3643    X. cxp 4687   dom cdm 4689    |` cres 4691    Fn wfn 5250   -->wf 5251   ` cfv 5255   1c1 8738   RR*cxr 8866   2c2 9795  ;cdc 10124   ndxcnx 13145   Basecbs 13148   distcds 13217   TopOpenctopn 13326   * Metcxmt 16369   MetOpencmopn 16372  toMetSpctmt 17884
This theorem is referenced by:  tmsbas  18029  tmsds  18030  tmstopn  18031
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-sup 7194  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-fz 10783  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-tset 13227  df-ds 13230  df-rest 13327  df-topn 13328  df-topgen 13344  df-xmet 16373  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-tms 17887
  Copyright terms: Public domain W3C validator