MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tmsms Structured version   Unicode version

Theorem tmsms 18509
Description: The constructed metric space is a metric space given a metric. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
tmsbas.k  |-  K  =  (toMetSp `  D )
Assertion
Ref Expression
tmsms  |-  ( D  e.  ( Met `  X
)  ->  K  e.  MetSp
)

Proof of Theorem tmsms
StepHypRef Expression
1 metxmet 18356 . . 3  |-  ( D  e.  ( Met `  X
)  ->  D  e.  ( * Met `  X
) )
2 tmsbas.k . . . 4  |-  K  =  (toMetSp `  D )
32tmsxms 18508 . . 3  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  K  e.  * MetSp )
41, 3syl 16 . 2  |-  ( D  e.  ( Met `  X
)  ->  K  e.  *
MetSp )
52tmsds 18506 . . . . . 6  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  D  =  ( dist `  K
) )
61, 5syl 16 . . . . 5  |-  ( D  e.  ( Met `  X
)  ->  D  =  ( dist `  K )
)
72tmsbas 18505 . . . . . . 7  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  X  =  ( Base `  K
) )
81, 7syl 16 . . . . . 6  |-  ( D  e.  ( Met `  X
)  ->  X  =  ( Base `  K )
)
98fveq2d 5724 . . . . 5  |-  ( D  e.  ( Met `  X
)  ->  ( Met `  X )  =  ( Met `  ( Base `  K ) ) )
106, 9eleq12d 2503 . . . 4  |-  ( D  e.  ( Met `  X
)  ->  ( D  e.  ( Met `  X
)  <->  ( dist `  K
)  e.  ( Met `  ( Base `  K
) ) ) )
1110ibi 233 . . 3  |-  ( D  e.  ( Met `  X
)  ->  ( dist `  K )  e.  ( Met `  ( Base `  K ) ) )
12 ssid 3359 . . 3  |-  ( Base `  K )  C_  ( Base `  K )
13 metres2 18385 . . 3  |-  ( ( ( dist `  K
)  e.  ( Met `  ( Base `  K
) )  /\  ( Base `  K )  C_  ( Base `  K )
)  ->  ( ( dist `  K )  |`  ( ( Base `  K
)  X.  ( Base `  K ) ) )  e.  ( Met `  ( Base `  K ) ) )
1411, 12, 13sylancl 644 . 2  |-  ( D  e.  ( Met `  X
)  ->  ( ( dist `  K )  |`  ( ( Base `  K
)  X.  ( Base `  K ) ) )  e.  ( Met `  ( Base `  K ) ) )
15 eqid 2435 . . 3  |-  ( TopOpen `  K )  =  (
TopOpen `  K )
16 eqid 2435 . . 3  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
17 eqid 2435 . . 3  |-  ( (
dist `  K )  |`  ( ( Base `  K
)  X.  ( Base `  K ) ) )  =  ( ( dist `  K )  |`  (
( Base `  K )  X.  ( Base `  K
) ) )
1815, 16, 17isms 18471 . 2  |-  ( K  e.  MetSp 
<->  ( K  e.  * MetSp  /\  ( ( dist `  K )  |`  (
( Base `  K )  X.  ( Base `  K
) ) )  e.  ( Met `  ( Base `  K ) ) ) )
194, 14, 18sylanbrc 646 1  |-  ( D  e.  ( Met `  X
)  ->  K  e.  MetSp
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1652    e. wcel 1725    C_ wss 3312    X. cxp 4868    |` cres 4872   ` cfv 5446   Basecbs 13461   distcds 13530   TopOpenctopn 13641   * Metcxmt 16678   Metcme 16679   *
MetSpcxme 18339   MetSpcmt 18340  toMetSpctmt 18341
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-sup 7438  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-4 10052  df-5 10053  df-6 10054  df-7 10055  df-8 10056  df-9 10057  df-10 10058  df-n0 10214  df-z 10275  df-dec 10375  df-uz 10481  df-q 10567  df-rp 10605  df-xneg 10702  df-xadd 10703  df-xmul 10704  df-fz 11036  df-struct 13463  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-sets 13467  df-tset 13540  df-ds 13543  df-rest 13642  df-topn 13643  df-topgen 13659  df-psmet 16686  df-xmet 16687  df-met 16688  df-bl 16689  df-mopn 16690  df-top 16955  df-bases 16957  df-topon 16958  df-topsp 16959  df-xms 18342  df-ms 18343  df-tms 18344
  Copyright terms: Public domain W3C validator