MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tmsms Unicode version

Theorem tmsms 18401
Description: The constructed metric space is a metric space given a metric. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
tmsbas.k  |-  K  =  (toMetSp `  D )
Assertion
Ref Expression
tmsms  |-  ( D  e.  ( Met `  X
)  ->  K  e.  MetSp
)

Proof of Theorem tmsms
StepHypRef Expression
1 metxmet 18267 . . 3  |-  ( D  e.  ( Met `  X
)  ->  D  e.  ( * Met `  X
) )
2 tmsbas.k . . . 4  |-  K  =  (toMetSp `  D )
32tmsxms 18400 . . 3  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  K  e.  * MetSp )
41, 3syl 16 . 2  |-  ( D  e.  ( Met `  X
)  ->  K  e.  *
MetSp )
52tmsds 18398 . . . . . 6  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  D  =  ( dist `  K
) )
61, 5syl 16 . . . . 5  |-  ( D  e.  ( Met `  X
)  ->  D  =  ( dist `  K )
)
72tmsbas 18397 . . . . . . 7  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  X  =  ( Base `  K
) )
81, 7syl 16 . . . . . 6  |-  ( D  e.  ( Met `  X
)  ->  X  =  ( Base `  K )
)
98fveq2d 5666 . . . . 5  |-  ( D  e.  ( Met `  X
)  ->  ( Met `  X )  =  ( Met `  ( Base `  K ) ) )
106, 9eleq12d 2449 . . . 4  |-  ( D  e.  ( Met `  X
)  ->  ( D  e.  ( Met `  X
)  <->  ( dist `  K
)  e.  ( Met `  ( Base `  K
) ) ) )
1110ibi 233 . . 3  |-  ( D  e.  ( Met `  X
)  ->  ( dist `  K )  e.  ( Met `  ( Base `  K ) ) )
12 ssid 3304 . . 3  |-  ( Base `  K )  C_  ( Base `  K )
13 metres2 18295 . . 3  |-  ( ( ( dist `  K
)  e.  ( Met `  ( Base `  K
) )  /\  ( Base `  K )  C_  ( Base `  K )
)  ->  ( ( dist `  K )  |`  ( ( Base `  K
)  X.  ( Base `  K ) ) )  e.  ( Met `  ( Base `  K ) ) )
1411, 12, 13sylancl 644 . 2  |-  ( D  e.  ( Met `  X
)  ->  ( ( dist `  K )  |`  ( ( Base `  K
)  X.  ( Base `  K ) ) )  e.  ( Met `  ( Base `  K ) ) )
15 eqid 2381 . . 3  |-  ( TopOpen `  K )  =  (
TopOpen `  K )
16 eqid 2381 . . 3  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
17 eqid 2381 . . 3  |-  ( (
dist `  K )  |`  ( ( Base `  K
)  X.  ( Base `  K ) ) )  =  ( ( dist `  K )  |`  (
( Base `  K )  X.  ( Base `  K
) ) )
1815, 16, 17isms 18363 . 2  |-  ( K  e.  MetSp 
<->  ( K  e.  * MetSp  /\  ( ( dist `  K )  |`  (
( Base `  K )  X.  ( Base `  K
) ) )  e.  ( Met `  ( Base `  K ) ) ) )
194, 14, 18sylanbrc 646 1  |-  ( D  e.  ( Met `  X
)  ->  K  e.  MetSp
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1649    e. wcel 1717    C_ wss 3257    X. cxp 4810    |` cres 4814   ` cfv 5388   Basecbs 13390   distcds 13459   TopOpenctopn 13570   * Metcxmt 16606   Metcme 16607   *
MetSpcxme 18250   MetSpcmt 18251  toMetSpctmt 18252
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2362  ax-rep 4255  ax-sep 4265  ax-nul 4273  ax-pow 4312  ax-pr 4338  ax-un 4635  ax-cnex 8973  ax-resscn 8974  ax-1cn 8975  ax-icn 8976  ax-addcl 8977  ax-addrcl 8978  ax-mulcl 8979  ax-mulrcl 8980  ax-mulcom 8981  ax-addass 8982  ax-mulass 8983  ax-distr 8984  ax-i2m1 8985  ax-1ne0 8986  ax-1rid 8987  ax-rnegex 8988  ax-rrecex 8989  ax-cnre 8990  ax-pre-lttri 8991  ax-pre-lttrn 8992  ax-pre-ltadd 8993  ax-pre-mulgt0 8994  ax-pre-sup 8995
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2236  df-mo 2237  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2506  df-ne 2546  df-nel 2547  df-ral 2648  df-rex 2649  df-reu 2650  df-rmo 2651  df-rab 2652  df-v 2895  df-sbc 3099  df-csb 3189  df-dif 3260  df-un 3262  df-in 3264  df-ss 3271  df-pss 3273  df-nul 3566  df-if 3677  df-pw 3738  df-sn 3757  df-pr 3758  df-tp 3759  df-op 3760  df-uni 3952  df-int 3987  df-iun 4031  df-br 4148  df-opab 4202  df-mpt 4203  df-tr 4238  df-eprel 4429  df-id 4433  df-po 4438  df-so 4439  df-fr 4476  df-we 4478  df-ord 4519  df-on 4520  df-lim 4521  df-suc 4522  df-om 4780  df-xp 4818  df-rel 4819  df-cnv 4820  df-co 4821  df-dm 4822  df-rn 4823  df-res 4824  df-ima 4825  df-iota 5352  df-fun 5390  df-fn 5391  df-f 5392  df-f1 5393  df-fo 5394  df-f1o 5395  df-fv 5396  df-ov 6017  df-oprab 6018  df-mpt2 6019  df-1st 6282  df-2nd 6283  df-riota 6479  df-recs 6563  df-rdg 6598  df-1o 6654  df-oadd 6658  df-er 6835  df-map 6950  df-en 7040  df-dom 7041  df-sdom 7042  df-fin 7043  df-sup 7375  df-pnf 9049  df-mnf 9050  df-xr 9051  df-ltxr 9052  df-le 9053  df-sub 9219  df-neg 9220  df-div 9604  df-nn 9927  df-2 9984  df-3 9985  df-4 9986  df-5 9987  df-6 9988  df-7 9989  df-8 9990  df-9 9991  df-10 9992  df-n0 10148  df-z 10209  df-dec 10309  df-uz 10415  df-q 10501  df-rp 10539  df-xneg 10636  df-xadd 10637  df-xmul 10638  df-fz 10970  df-struct 13392  df-ndx 13393  df-slot 13394  df-base 13395  df-sets 13396  df-tset 13469  df-ds 13472  df-rest 13571  df-topn 13572  df-topgen 13588  df-xmet 16613  df-met 16614  df-bl 16615  df-mopn 16616  df-top 16880  df-bases 16882  df-topon 16883  df-topsp 16884  df-xms 18253  df-ms 18254  df-tms 18255
  Copyright terms: Public domain W3C validator