Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tmsxpsval Structured version   Unicode version

Theorem tmsxpsval 18570
 Description: Value of the product of two metrics. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tmsxps.p toMetSp s toMetSp
tmsxps.1
tmsxps.2
tmsxpsval.a
tmsxpsval.b
tmsxpsval.c
tmsxpsval.d
Assertion
Ref Expression
tmsxpsval

Proof of Theorem tmsxpsval
StepHypRef Expression
1 eqid 2438 . . 3 toMetSp s toMetSp toMetSp s toMetSp
2 eqid 2438 . . 3 toMetSp toMetSp
3 eqid 2438 . . 3 toMetSp toMetSp
4 tmsxps.1 . . . 4
5 eqid 2438 . . . . 5 toMetSp toMetSp
65tmsxms 18518 . . . 4 toMetSp
74, 6syl 16 . . 3 toMetSp
8 tmsxps.2 . . . 4
9 eqid 2438 . . . . 5 toMetSp toMetSp
109tmsxms 18518 . . . 4 toMetSp
118, 10syl 16 . . 3 toMetSp
12 tmsxps.p . . 3 toMetSp s toMetSp
13 eqid 2438 . . 3 toMetSp toMetSp toMetSp toMetSp toMetSp toMetSp
14 eqid 2438 . . 3 toMetSp toMetSp toMetSp toMetSp toMetSp toMetSp
155tmsds 18516 . . . . . 6 toMetSp
164, 15syl 16 . . . . 5 toMetSp
175tmsbas 18515 . . . . . . 7 toMetSp
184, 17syl 16 . . . . . 6 toMetSp
1918fveq2d 5734 . . . . 5 toMetSp
204, 16, 193eltr3d 2518 . . . 4 toMetSp toMetSp
21 ssid 3369 . . . 4 toMetSp toMetSp
22 xmetres2 18393 . . . 4 toMetSp toMetSp toMetSp toMetSp toMetSp toMetSp toMetSp toMetSp
2320, 21, 22sylancl 645 . . 3 toMetSp toMetSp toMetSp toMetSp
249tmsds 18516 . . . . . 6 toMetSp
258, 24syl 16 . . . . 5 toMetSp
269tmsbas 18515 . . . . . . 7 toMetSp
278, 26syl 16 . . . . . 6 toMetSp
2827fveq2d 5734 . . . . 5 toMetSp
298, 25, 283eltr3d 2518 . . . 4 toMetSp toMetSp
30 ssid 3369 . . . 4 toMetSp toMetSp
31 xmetres2 18393 . . . 4 toMetSp toMetSp toMetSp toMetSp toMetSp toMetSp toMetSp toMetSp
3229, 30, 31sylancl 645 . . 3 toMetSp toMetSp toMetSp toMetSp
33 tmsxpsval.a . . . 4
3433, 18eleqtrd 2514 . . 3 toMetSp
35 tmsxpsval.b . . . 4
3635, 27eleqtrd 2514 . . 3 toMetSp
37 tmsxpsval.c . . . 4
3837, 18eleqtrd 2514 . . 3 toMetSp
39 tmsxpsval.d . . . 4
4039, 27eleqtrd 2514 . . 3 toMetSp
411, 2, 3, 7, 11, 12, 13, 14, 23, 32, 34, 36, 38, 40xpsdsval 18413 . 2 toMetSp toMetSp toMetSp toMetSp toMetSp toMetSp
4234, 38ovresd 6216 . . . . 5 toMetSp toMetSp toMetSp toMetSp
4316oveqd 6100 . . . . 5 toMetSp
4442, 43eqtr4d 2473 . . . 4 toMetSp toMetSp toMetSp
4536, 40ovresd 6216 . . . . 5 toMetSp toMetSp toMetSp toMetSp
4625oveqd 6100 . . . . 5 toMetSp
4745, 46eqtr4d 2473 . . . 4 toMetSp toMetSp toMetSp
4844, 47preq12d 3893 . . 3 toMetSp toMetSp toMetSp toMetSp toMetSp toMetSp
4948supeq1d 7453 . 2 toMetSp toMetSp toMetSp toMetSp toMetSp toMetSp
5041, 49eqtrd 2470 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wceq 1653   wcel 1726   wss 3322  cpr 3817  cop 3819   cxp 4878   cres 4882  cfv 5456  (class class class)co 6083  csup 7447  cxr 9121   clt 9122  cbs 13471  cds 13540   s cxps 13734  cxmt 16688  cxme 18349  toMetSpctmt 18351 This theorem is referenced by:  tmsxpsval2  18571 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-inf2 7598  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069  ax-pre-sup 9070 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-iin 4098  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-se 4544  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-isom 5465  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-of 6307  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-2o 6727  df-oadd 6730  df-er 6907  df-map 7022  df-ixp 7066  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-sup 7448  df-oi 7481  df-card 7828  df-cda 8050  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-div 9680  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-4 10062  df-5 10063  df-6 10064  df-7 10065  df-8 10066  df-9 10067  df-10 10068  df-n0 10224  df-z 10285  df-dec 10385  df-uz 10491  df-q 10577  df-rp 10615  df-xneg 10712  df-xadd 10713  df-xmul 10714  df-icc 10925  df-fz 11046  df-fzo 11138  df-seq 11326  df-hash 11621  df-struct 13473  df-ndx 13474  df-slot 13475  df-base 13476  df-sets 13477  df-ress 13478  df-plusg 13544  df-mulr 13545  df-sca 13547  df-vsca 13548  df-tset 13550  df-ple 13551  df-ds 13553  df-hom 13555  df-cco 13556  df-rest 13652  df-topn 13653  df-topgen 13669  df-prds 13673  df-xrs 13728  df-0g 13729  df-gsum 13730  df-imas 13736  df-xps 13738  df-mre 13813  df-mrc 13814  df-acs 13816  df-mnd 14692  df-submnd 14741  df-mulg 14817  df-cntz 15118  df-cmn 15416  df-psmet 16696  df-xmet 16697  df-bl 16699  df-mopn 16700  df-top 16965  df-bases 16967  df-topon 16968  df-topsp 16969  df-xms 18352  df-tms 18354
 Copyright terms: Public domain W3C validator