MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tmsxpsval2 Unicode version

Theorem tmsxpsval2 18459
Description: Value of the product of two metrics. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tmsxps.p  |-  P  =  ( dist `  (
(toMetSp `  M )  X.s  (toMetSp `  N ) ) )
tmsxps.1  |-  ( ph  ->  M  e.  ( * Met `  X ) )
tmsxps.2  |-  ( ph  ->  N  e.  ( * Met `  Y ) )
tmsxpsval.a  |-  ( ph  ->  A  e.  X )
tmsxpsval.b  |-  ( ph  ->  B  e.  Y )
tmsxpsval.c  |-  ( ph  ->  C  e.  X )
tmsxpsval.d  |-  ( ph  ->  D  e.  Y )
Assertion
Ref Expression
tmsxpsval2  |-  ( ph  ->  ( <. A ,  B >. P <. C ,  D >. )  =  if ( ( A M C )  <_  ( B N D ) ,  ( B N D ) ,  ( A M C ) ) )

Proof of Theorem tmsxpsval2
StepHypRef Expression
1 tmsxps.p . . 3  |-  P  =  ( dist `  (
(toMetSp `  M )  X.s  (toMetSp `  N ) ) )
2 tmsxps.1 . . 3  |-  ( ph  ->  M  e.  ( * Met `  X ) )
3 tmsxps.2 . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  ( * Met `  Y ) )
4 tmsxpsval.a . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  X )
5 tmsxpsval.b . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  Y )
6 tmsxpsval.c . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  X )
7 tmsxpsval.d . . 3  |-  ( ph  ->  D  e.  Y )
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7tmsxpsval 18458 . 2  |-  ( ph  ->  ( <. A ,  B >. P <. C ,  D >. )  =  sup ( { ( A M C ) ,  ( B N D ) } ,  RR* ,  <  ) )
9 xrltso 10666 . . . 4  |-  <  Or  RR*
109a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  <  Or  RR* )
11 xmetcl 18270 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ( * Met `  X )  /\  A  e.  X  /\  C  e.  X
)  ->  ( A M C )  e.  RR* )
122, 4, 6, 11syl3anc 1184 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A M C )  e.  RR* )
13 xmetcl 18270 . . . 4  |-  ( ( N  e.  ( * Met `  Y )  /\  B  e.  Y  /\  D  e.  Y
)  ->  ( B N D )  e.  RR* )
143, 5, 7, 13syl3anc 1184 . . 3  |-  ( ph  ->  ( B N D )  e.  RR* )
15 suppr 7406 . . 3  |-  ( (  <  Or  RR*  /\  ( A M C )  e. 
RR*  /\  ( B N D )  e.  RR* )  ->  sup ( { ( A M C ) ,  ( B N D ) } ,  RR* ,  <  )  =  if ( ( B N D )  < 
( A M C ) ,  ( A M C ) ,  ( B N D ) ) )
1610, 12, 14, 15syl3anc 1184 . 2  |-  ( ph  ->  sup ( { ( A M C ) ,  ( B N D ) } ,  RR* ,  <  )  =  if ( ( B N D )  < 
( A M C ) ,  ( A M C ) ,  ( B N D ) ) )
17 xrltnle 9077 . . . . 5  |-  ( ( ( B N D )  e.  RR*  /\  ( A M C )  e. 
RR* )  ->  (
( B N D )  <  ( A M C )  <->  -.  ( A M C )  <_ 
( B N D ) ) )
1814, 12, 17syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( B N D )  <  ( A M C )  <->  -.  ( A M C )  <_ 
( B N D ) ) )
1918ifbid 3700 . . 3  |-  ( ph  ->  if ( ( B N D )  < 
( A M C ) ,  ( A M C ) ,  ( B N D ) )  =  if ( -.  ( A M C )  <_ 
( B N D ) ,  ( A M C ) ,  ( B N D ) ) )
20 ifnot 3720 . . 3  |-  if ( -.  ( A M C )  <_  ( B N D ) ,  ( A M C ) ,  ( B N D ) )  =  if ( ( A M C )  <_  ( B N D ) ,  ( B N D ) ,  ( A M C ) )
2119, 20syl6eq 2435 . 2  |-  ( ph  ->  if ( ( B N D )  < 
( A M C ) ,  ( A M C ) ,  ( B N D ) )  =  if ( ( A M C )  <_  ( B N D ) ,  ( B N D ) ,  ( A M C ) ) )
228, 16, 213eqtrd 2423 1  |-  ( ph  ->  ( <. A ,  B >. P <. C ,  D >. )  =  if ( ( A M C )  <_  ( B N D ) ,  ( B N D ) ,  ( A M C ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    = wceq 1649    e. wcel 1717   ifcif 3682   {cpr 3758   <.cop 3760   class class class wbr 4153    Or wor 4443   ` cfv 5394  (class class class)co 6020   supcsup 7380   RR*cxr 9052    < clt 9053    <_ cle 9054   distcds 13465    X.s cxps 13659   * Metcxmt 16612  toMetSpctmt 18258
This theorem is referenced by:  txmetcnp  18467
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-rep 4261  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641  ax-inf2 7529  ax-cnex 8979  ax-resscn 8980  ax-1cn 8981  ax-icn 8982  ax-addcl 8983  ax-addrcl 8984  ax-mulcl 8985  ax-mulrcl 8986  ax-mulcom 8987  ax-addass 8988  ax-mulass 8989  ax-distr 8990  ax-i2m1 8991  ax-1ne0 8992  ax-1rid 8993  ax-rnegex 8994  ax-rrecex 8995  ax-cnre 8996  ax-pre-lttri 8997  ax-pre-lttrn 8998  ax-pre-ltadd 8999  ax-pre-mulgt0 9000  ax-pre-sup 9001
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-nel 2553  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rmo 2657  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-pss 3279  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-tp 3765  df-op 3766  df-uni 3958  df-int 3993  df-iun 4037  df-iin 4038  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-tr 4244  df-eprel 4435  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-fr 4482  df-se 4483  df-we 4484  df-ord 4525  df-on 4526  df-lim 4527  df-suc 4528  df-om 4786  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-isom 5403  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-of 6244  df-1st 6288  df-2nd 6289  df-riota 6485  df-recs 6569  df-rdg 6604  df-1o 6660  df-2o 6661  df-oadd 6664  df-er 6841  df-map 6956  df-ixp 7000  df-en 7046  df-dom 7047  df-sdom 7048  df-fin 7049  df-sup 7381  df-oi 7412  df-card 7759  df-cda 7981  df-pnf 9055  df-mnf 9056  df-xr 9057  df-ltxr 9058  df-le 9059  df-sub 9225  df-neg 9226  df-div 9610  df-nn 9933  df-2 9990  df-3 9991  df-4 9992  df-5 9993  df-6 9994  df-7 9995  df-8 9996  df-9 9997  df-10 9998  df-n0 10154  df-z 10215  df-dec 10315  df-uz 10421  df-q 10507  df-rp 10545  df-xneg 10642  df-xadd 10643  df-xmul 10644  df-icc 10855  df-fz 10976  df-fzo 11066  df-seq 11251  df-hash 11546  df-struct 13398  df-ndx 13399  df-slot 13400  df-base 13401  df-sets 13402  df-ress 13403  df-plusg 13469  df-mulr 13470  df-sca 13472  df-vsca 13473  df-tset 13475  df-ple 13476  df-ds 13478  df-hom 13480  df-cco 13481  df-rest 13577  df-topn 13578  df-topgen 13594  df-prds 13598  df-xrs 13653  df-0g 13654  df-gsum 13655  df-imas 13661  df-xps 13663  df-mre 13738  df-mrc 13739  df-acs 13741  df-mnd 14617  df-submnd 14666  df-mulg 14742  df-cntz 15043  df-cmn 15341  df-xmet 16619  df-bl 16621  df-mopn 16622  df-top 16886  df-bases 16888  df-topon 16889  df-topsp 16890  df-xms 18259  df-tms 18261
  Copyright terms: Public domain W3C validator