MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tngds Unicode version

Theorem tngds 18180
Description: The metric function of a structure augmented with a norm. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tngbas.t  |-  T  =  ( G toNrmGrp  N )
tngds.2  |-  .-  =  ( -g `  G )
Assertion
Ref Expression
tngds  |-  ( N  e.  V  ->  ( N  o.  .-  )  =  ( dist `  T
) )

Proof of Theorem tngds
StepHypRef Expression
1 dsid 13326 . . . 4  |-  dist  = Slot  ( dist `  ndx )
2 9re 9841 . . . . . 6  |-  9  e.  RR
3 1nn 9773 . . . . . . 7  |-  1  e.  NN
4 2nn0 9998 . . . . . . 7  |-  2  e.  NN0
5 9nn0 10005 . . . . . . 7  |-  9  e.  NN0
6 9lt10 9938 . . . . . . 7  |-  9  <  10
73, 4, 5, 6declti 10165 . . . . . 6  |-  9  < ; 1
2
82, 7gtneii 8946 . . . . 5  |- ; 1 2  =/=  9
9 dsndx 13325 . . . . . 6  |-  ( dist `  ndx )  = ; 1 2
10 tsetndx 13309 . . . . . 6  |-  (TopSet `  ndx )  =  9
119, 10neeq12i 2471 . . . . 5  |-  ( (
dist `  ndx )  =/=  (TopSet `  ndx )  <-> ; 1 2  =/=  9
)
128, 11mpbir 200 . . . 4  |-  ( dist `  ndx )  =/=  (TopSet ` 
ndx )
131, 12setsnid 13204 . . 3  |-  ( dist `  ( G sSet  <. ( dist `  ndx ) ,  ( N  o.  .-  ) >. ) )  =  ( dist `  (
( G sSet  <. ( dist `  ndx ) ,  ( N  o.  .-  ) >. ) sSet  <. (TopSet `  ndx ) ,  ( MetOpen `  ( N  o.  .-  )
) >. ) )
14 tngds.2 . . . . . 6  |-  .-  =  ( -g `  G )
15 fvex 5555 . . . . . 6  |-  ( -g `  G )  e.  _V
1614, 15eqeltri 2366 . . . . 5  |-  .-  e.  _V
17 coexg 5231 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  V  /\  .-  e.  _V )  -> 
( N  o.  .-  )  e.  _V )
1816, 17mpan2 652 . . . 4  |-  ( N  e.  V  ->  ( N  o.  .-  )  e. 
_V )
191setsid 13203 . . . 4  |-  ( ( G  e.  _V  /\  ( N  o.  .-  )  e.  _V )  ->  ( N  o.  .-  )  =  ( dist `  ( G sSet  <. ( dist `  ndx ) ,  ( N  o.  .-  ) >. )
) )
2018, 19sylan2 460 . . 3  |-  ( ( G  e.  _V  /\  N  e.  V )  ->  ( N  o.  .-  )  =  ( dist `  ( G sSet  <. ( dist `  ndx ) ,  ( N  o.  .-  ) >. ) ) )
21 tngbas.t . . . . 5  |-  T  =  ( G toNrmGrp  N )
22 eqid 2296 . . . . 5  |-  ( N  o.  .-  )  =  ( N  o.  .-  )
23 eqid 2296 . . . . 5  |-  ( MetOpen `  ( N  o.  .-  )
)  =  ( MetOpen `  ( N  o.  .-  )
)
2421, 14, 22, 23tngval 18171 . . . 4  |-  ( ( G  e.  _V  /\  N  e.  V )  ->  T  =  ( ( G sSet  <. ( dist `  ndx ) ,  ( N  o.  .-  ) >. ) sSet  <.
(TopSet `  ndx ) ,  ( MetOpen `  ( N  o.  .-  ) ) >.
) )
2524fveq2d 5545 . . 3  |-  ( ( G  e.  _V  /\  N  e.  V )  ->  ( dist `  T
)  =  ( dist `  ( ( G sSet  <. (
dist `  ndx ) ,  ( N  o.  .-  ) >. ) sSet  <. (TopSet ` 
ndx ) ,  (
MetOpen `  ( N  o.  .-  ) ) >. )
) )
2613, 20, 253eqtr4a 2354 . 2  |-  ( ( G  e.  _V  /\  N  e.  V )  ->  ( N  o.  .-  )  =  ( dist `  T ) )
27 co02 5202 . . . . 5  |-  ( N  o.  (/) )  =  (/)
28 df-ds 13246 . . . . . 6  |-  dist  = Slot ; 1 2
2928str0 13200 . . . . 5  |-  (/)  =  (
dist `  (/) )
3027, 29eqtri 2316 . . . 4  |-  ( N  o.  (/) )  =  (
dist `  (/) )
31 fvprc 5535 . . . . . 6  |-  ( -.  G  e.  _V  ->  (
-g `  G )  =  (/) )
3214, 31syl5eq 2340 . . . . 5  |-  ( -.  G  e.  _V  ->  .-  =  (/) )
3332coeq2d 4862 . . . 4  |-  ( -.  G  e.  _V  ->  ( N  o.  .-  )  =  ( N  o.  (/) ) )
34 reldmtng 18170 . . . . . . 7  |-  Rel  dom toNrmGrp
3534ovprc1 5902 . . . . . 6  |-  ( -.  G  e.  _V  ->  ( G toNrmGrp  N )  =  (/) )
3621, 35syl5eq 2340 . . . . 5  |-  ( -.  G  e.  _V  ->  T  =  (/) )
3736fveq2d 5545 . . . 4  |-  ( -.  G  e.  _V  ->  (
dist `  T )  =  ( dist `  (/) ) )
3830, 33, 373eqtr4a 2354 . . 3  |-  ( -.  G  e.  _V  ->  ( N  o.  .-  )  =  ( dist `  T
) )
3938adantr 451 . 2  |-  ( ( -.  G  e.  _V  /\  N  e.  V )  ->  ( N  o.  .-  )  =  ( dist `  T ) )
4026, 39pm2.61ian 765 1  |-  ( N  e.  V  ->  ( N  o.  .-  )  =  ( dist `  T
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   _Vcvv 2801   (/)c0 3468   <.cop 3656    o. ccom 4709   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   1c1 8754   2c2 9811   9c9 9818  ;cdc 10140   ndxcnx 13161   sSet csts 13162  TopSetcts 13230   distcds 13233   -gcsg 14381   MetOpencmopn 16388   toNrmGrp ctng 18117
This theorem is referenced by:  tngtset  18181  tngtopn  18182  tngnm  18183  tngngp2  18184  tngngpd  18185  tngnrg  18201
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-dec 10141  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-sets 13170  df-tset 13243  df-ds 13246  df-tng 18123
  Copyright terms: Public domain W3C validator