MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tngds Unicode version

Theorem tngds 18677
Description: The metric function of a structure augmented with a norm. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tngbas.t  |-  T  =  ( G toNrmGrp  N )
tngds.2  |-  .-  =  ( -g `  G )
Assertion
Ref Expression
tngds  |-  ( N  e.  V  ->  ( N  o.  .-  )  =  ( dist `  T
) )

Proof of Theorem tngds
StepHypRef Expression
1 dsid 13619 . . . 4  |-  dist  = Slot  ( dist `  ndx )
2 9re 10068 . . . . . 6  |-  9  e.  RR
3 1nn 10000 . . . . . . 7  |-  1  e.  NN
4 2nn0 10227 . . . . . . 7  |-  2  e.  NN0
5 9nn0 10234 . . . . . . 7  |-  9  e.  NN0
6 9lt10 10167 . . . . . . 7  |-  9  <  10
73, 4, 5, 6declti 10396 . . . . . 6  |-  9  < ; 1
2
82, 7gtneii 9174 . . . . 5  |- ; 1 2  =/=  9
9 dsndx 13618 . . . . . 6  |-  ( dist `  ndx )  = ; 1 2
10 tsetndx 13602 . . . . . 6  |-  (TopSet `  ndx )  =  9
119, 10neeq12i 2610 . . . . 5  |-  ( (
dist `  ndx )  =/=  (TopSet `  ndx )  <-> ; 1 2  =/=  9
)
128, 11mpbir 201 . . . 4  |-  ( dist `  ndx )  =/=  (TopSet ` 
ndx )
131, 12setsnid 13497 . . 3  |-  ( dist `  ( G sSet  <. ( dist `  ndx ) ,  ( N  o.  .-  ) >. ) )  =  ( dist `  (
( G sSet  <. ( dist `  ndx ) ,  ( N  o.  .-  ) >. ) sSet  <. (TopSet `  ndx ) ,  ( MetOpen `  ( N  o.  .-  )
) >. ) )
14 tngds.2 . . . . . 6  |-  .-  =  ( -g `  G )
15 fvex 5733 . . . . . 6  |-  ( -g `  G )  e.  _V
1614, 15eqeltri 2505 . . . . 5  |-  .-  e.  _V
17 coexg 5403 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  V  /\  .-  e.  _V )  -> 
( N  o.  .-  )  e.  _V )
1816, 17mpan2 653 . . . 4  |-  ( N  e.  V  ->  ( N  o.  .-  )  e. 
_V )
191setsid 13496 . . . 4  |-  ( ( G  e.  _V  /\  ( N  o.  .-  )  e.  _V )  ->  ( N  o.  .-  )  =  ( dist `  ( G sSet  <. ( dist `  ndx ) ,  ( N  o.  .-  ) >. )
) )
2018, 19sylan2 461 . . 3  |-  ( ( G  e.  _V  /\  N  e.  V )  ->  ( N  o.  .-  )  =  ( dist `  ( G sSet  <. ( dist `  ndx ) ,  ( N  o.  .-  ) >. ) ) )
21 tngbas.t . . . . 5  |-  T  =  ( G toNrmGrp  N )
22 eqid 2435 . . . . 5  |-  ( N  o.  .-  )  =  ( N  o.  .-  )
23 eqid 2435 . . . . 5  |-  ( MetOpen `  ( N  o.  .-  )
)  =  ( MetOpen `  ( N  o.  .-  )
)
2421, 14, 22, 23tngval 18668 . . . 4  |-  ( ( G  e.  _V  /\  N  e.  V )  ->  T  =  ( ( G sSet  <. ( dist `  ndx ) ,  ( N  o.  .-  ) >. ) sSet  <.
(TopSet `  ndx ) ,  ( MetOpen `  ( N  o.  .-  ) ) >.
) )
2524fveq2d 5723 . . 3  |-  ( ( G  e.  _V  /\  N  e.  V )  ->  ( dist `  T
)  =  ( dist `  ( ( G sSet  <. (
dist `  ndx ) ,  ( N  o.  .-  ) >. ) sSet  <. (TopSet ` 
ndx ) ,  (
MetOpen `  ( N  o.  .-  ) ) >. )
) )
2613, 20, 253eqtr4a 2493 . 2  |-  ( ( G  e.  _V  /\  N  e.  V )  ->  ( N  o.  .-  )  =  ( dist `  T ) )
27 co02 5374 . . . . 5  |-  ( N  o.  (/) )  =  (/)
28 df-ds 13539 . . . . . 6  |-  dist  = Slot ; 1 2
2928str0 13493 . . . . 5  |-  (/)  =  (
dist `  (/) )
3027, 29eqtri 2455 . . . 4  |-  ( N  o.  (/) )  =  (
dist `  (/) )
31 fvprc 5713 . . . . . 6  |-  ( -.  G  e.  _V  ->  (
-g `  G )  =  (/) )
3214, 31syl5eq 2479 . . . . 5  |-  ( -.  G  e.  _V  ->  .-  =  (/) )
3332coeq2d 5026 . . . 4  |-  ( -.  G  e.  _V  ->  ( N  o.  .-  )  =  ( N  o.  (/) ) )
34 reldmtng 18667 . . . . . . 7  |-  Rel  dom toNrmGrp
3534ovprc1 6100 . . . . . 6  |-  ( -.  G  e.  _V  ->  ( G toNrmGrp  N )  =  (/) )
3621, 35syl5eq 2479 . . . . 5  |-  ( -.  G  e.  _V  ->  T  =  (/) )
3736fveq2d 5723 . . . 4  |-  ( -.  G  e.  _V  ->  (
dist `  T )  =  ( dist `  (/) ) )
3830, 33, 373eqtr4a 2493 . . 3  |-  ( -.  G  e.  _V  ->  ( N  o.  .-  )  =  ( dist `  T
) )
3938adantr 452 . 2  |-  ( ( -.  G  e.  _V  /\  N  e.  V )  ->  ( N  o.  .-  )  =  ( dist `  T ) )
4026, 39pm2.61ian 766 1  |-  ( N  e.  V  ->  ( N  o.  .-  )  =  ( dist `  T
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2598   _Vcvv 2948   (/)c0 3620   <.cop 3809    o. ccom 4873   ` cfv 5445  (class class class)co 6072   1c1 8980   2c2 10038   9c9 10045  ;cdc 10371   ndxcnx 13454   sSet csts 13455  TopSetcts 13523   distcds 13526   -gcsg 14676   MetOpencmopn 16679   toNrmGrp ctng 18614
This theorem is referenced by:  tngtset  18678  tngtopn  18679  tngnm  18680  tngngp2  18681  tngngpd  18682  tngnrg  18698
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4692  ax-cnex 9035  ax-resscn 9036  ax-1cn 9037  ax-icn 9038  ax-addcl 9039  ax-addrcl 9040  ax-mulcl 9041  ax-mulrcl 9042  ax-mulcom 9043  ax-addass 9044  ax-mulass 9045  ax-distr 9046  ax-i2m1 9047  ax-1ne0 9048  ax-1rid 9049  ax-rnegex 9050  ax-rrecex 9051  ax-cnre 9052  ax-pre-lttri 9053  ax-pre-lttrn 9054  ax-pre-ltadd 9055  ax-pre-mulgt0 9056
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4837  df-xp 4875  df-rel 4876  df-cnv 4877  df-co 4878  df-dm 4879  df-rn 4880  df-res 4881  df-ima 4882  df-iota 5409  df-fun 5447  df-fn 5448  df-f 5449  df-f1 5450  df-fo 5451  df-f1o 5452  df-fv 5453  df-ov 6075  df-oprab 6076  df-mpt2 6077  df-riota 6540  df-recs 6624  df-rdg 6659  df-er 6896  df-en 7101  df-dom 7102  df-sdom 7103  df-pnf 9111  df-mnf 9112  df-xr 9113  df-ltxr 9114  df-le 9115  df-sub 9282  df-neg 9283  df-nn 9990  df-2 10047  df-3 10048  df-4 10049  df-5 10050  df-6 10051  df-7 10052  df-8 10053  df-9 10054  df-10 10055  df-n0 10211  df-z 10272  df-dec 10372  df-ndx 13460  df-slot 13461  df-sets 13463  df-tset 13536  df-ds 13539  df-tng 18620
  Copyright terms: Public domain W3C validator