MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tngds Unicode version

Theorem tngds 18560
Description: The metric function of a structure augmented with a norm. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tngbas.t  |-  T  =  ( G toNrmGrp  N )
tngds.2  |-  .-  =  ( -g `  G )
Assertion
Ref Expression
tngds  |-  ( N  e.  V  ->  ( N  o.  .-  )  =  ( dist `  T
) )

Proof of Theorem tngds
StepHypRef Expression
1 dsid 13558 . . . 4  |-  dist  = Slot  ( dist `  ndx )
2 9re 10011 . . . . . 6  |-  9  e.  RR
3 1nn 9943 . . . . . . 7  |-  1  e.  NN
4 2nn0 10170 . . . . . . 7  |-  2  e.  NN0
5 9nn0 10177 . . . . . . 7  |-  9  e.  NN0
6 9lt10 10110 . . . . . . 7  |-  9  <  10
73, 4, 5, 6declti 10339 . . . . . 6  |-  9  < ; 1
2
82, 7gtneii 9116 . . . . 5  |- ; 1 2  =/=  9
9 dsndx 13557 . . . . . 6  |-  ( dist `  ndx )  = ; 1 2
10 tsetndx 13541 . . . . . 6  |-  (TopSet `  ndx )  =  9
119, 10neeq12i 2562 . . . . 5  |-  ( (
dist `  ndx )  =/=  (TopSet `  ndx )  <-> ; 1 2  =/=  9
)
128, 11mpbir 201 . . . 4  |-  ( dist `  ndx )  =/=  (TopSet ` 
ndx )
131, 12setsnid 13436 . . 3  |-  ( dist `  ( G sSet  <. ( dist `  ndx ) ,  ( N  o.  .-  ) >. ) )  =  ( dist `  (
( G sSet  <. ( dist `  ndx ) ,  ( N  o.  .-  ) >. ) sSet  <. (TopSet `  ndx ) ,  ( MetOpen `  ( N  o.  .-  )
) >. ) )
14 tngds.2 . . . . . 6  |-  .-  =  ( -g `  G )
15 fvex 5682 . . . . . 6  |-  ( -g `  G )  e.  _V
1614, 15eqeltri 2457 . . . . 5  |-  .-  e.  _V
17 coexg 5352 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  V  /\  .-  e.  _V )  -> 
( N  o.  .-  )  e.  _V )
1816, 17mpan2 653 . . . 4  |-  ( N  e.  V  ->  ( N  o.  .-  )  e. 
_V )
191setsid 13435 . . . 4  |-  ( ( G  e.  _V  /\  ( N  o.  .-  )  e.  _V )  ->  ( N  o.  .-  )  =  ( dist `  ( G sSet  <. ( dist `  ndx ) ,  ( N  o.  .-  ) >. )
) )
2018, 19sylan2 461 . . 3  |-  ( ( G  e.  _V  /\  N  e.  V )  ->  ( N  o.  .-  )  =  ( dist `  ( G sSet  <. ( dist `  ndx ) ,  ( N  o.  .-  ) >. ) ) )
21 tngbas.t . . . . 5  |-  T  =  ( G toNrmGrp  N )
22 eqid 2387 . . . . 5  |-  ( N  o.  .-  )  =  ( N  o.  .-  )
23 eqid 2387 . . . . 5  |-  ( MetOpen `  ( N  o.  .-  )
)  =  ( MetOpen `  ( N  o.  .-  )
)
2421, 14, 22, 23tngval 18551 . . . 4  |-  ( ( G  e.  _V  /\  N  e.  V )  ->  T  =  ( ( G sSet  <. ( dist `  ndx ) ,  ( N  o.  .-  ) >. ) sSet  <.
(TopSet `  ndx ) ,  ( MetOpen `  ( N  o.  .-  ) ) >.
) )
2524fveq2d 5672 . . 3  |-  ( ( G  e.  _V  /\  N  e.  V )  ->  ( dist `  T
)  =  ( dist `  ( ( G sSet  <. (
dist `  ndx ) ,  ( N  o.  .-  ) >. ) sSet  <. (TopSet ` 
ndx ) ,  (
MetOpen `  ( N  o.  .-  ) ) >. )
) )
2613, 20, 253eqtr4a 2445 . 2  |-  ( ( G  e.  _V  /\  N  e.  V )  ->  ( N  o.  .-  )  =  ( dist `  T ) )
27 co02 5323 . . . . 5  |-  ( N  o.  (/) )  =  (/)
28 df-ds 13478 . . . . . 6  |-  dist  = Slot ; 1 2
2928str0 13432 . . . . 5  |-  (/)  =  (
dist `  (/) )
3027, 29eqtri 2407 . . . 4  |-  ( N  o.  (/) )  =  (
dist `  (/) )
31 fvprc 5662 . . . . . 6  |-  ( -.  G  e.  _V  ->  (
-g `  G )  =  (/) )
3214, 31syl5eq 2431 . . . . 5  |-  ( -.  G  e.  _V  ->  .-  =  (/) )
3332coeq2d 4975 . . . 4  |-  ( -.  G  e.  _V  ->  ( N  o.  .-  )  =  ( N  o.  (/) ) )
34 reldmtng 18550 . . . . . . 7  |-  Rel  dom toNrmGrp
3534ovprc1 6048 . . . . . 6  |-  ( -.  G  e.  _V  ->  ( G toNrmGrp  N )  =  (/) )
3621, 35syl5eq 2431 . . . . 5  |-  ( -.  G  e.  _V  ->  T  =  (/) )
3736fveq2d 5672 . . . 4  |-  ( -.  G  e.  _V  ->  (
dist `  T )  =  ( dist `  (/) ) )
3830, 33, 373eqtr4a 2445 . . 3  |-  ( -.  G  e.  _V  ->  ( N  o.  .-  )  =  ( dist `  T
) )
3938adantr 452 . 2  |-  ( ( -.  G  e.  _V  /\  N  e.  V )  ->  ( N  o.  .-  )  =  ( dist `  T ) )
4026, 39pm2.61ian 766 1  |-  ( N  e.  V  ->  ( N  o.  .-  )  =  ( dist `  T
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717    =/= wne 2550   _Vcvv 2899   (/)c0 3571   <.cop 3760    o. ccom 4822   ` cfv 5394  (class class class)co 6020   1c1 8924   2c2 9981   9c9 9988  ;cdc 10314   ndxcnx 13393   sSet csts 13394  TopSetcts 13462   distcds 13465   -gcsg 14615   MetOpencmopn 16617   toNrmGrp ctng 18497
This theorem is referenced by:  tngtset  18561  tngtopn  18562  tngnm  18563  tngngp2  18564  tngngpd  18565  tngnrg  18581
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641  ax-cnex 8979  ax-resscn 8980  ax-1cn 8981  ax-icn 8982  ax-addcl 8983  ax-addrcl 8984  ax-mulcl 8985  ax-mulrcl 8986  ax-mulcom 8987  ax-addass 8988  ax-mulass 8989  ax-distr 8990  ax-i2m1 8991  ax-1ne0 8992  ax-1rid 8993  ax-rnegex 8994  ax-rrecex 8995  ax-cnre 8996  ax-pre-lttri 8997  ax-pre-lttrn 8998  ax-pre-ltadd 8999  ax-pre-mulgt0 9000
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-nel 2553  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-pss 3279  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-tp 3765  df-op 3766  df-uni 3958  df-iun 4037  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-tr 4244  df-eprel 4435  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-fr 4482  df-we 4484  df-ord 4525  df-on 4526  df-lim 4527  df-suc 4528  df-om 4786  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-riota 6485  df-recs 6569  df-rdg 6604  df-er 6841  df-en 7046  df-dom 7047  df-sdom 7048  df-pnf 9055  df-mnf 9056  df-xr 9057  df-ltxr 9058  df-le 9059  df-sub 9225  df-neg 9226  df-nn 9933  df-2 9990  df-3 9991  df-4 9992  df-5 9993  df-6 9994  df-7 9995  df-8 9996  df-9 9997  df-10 9998  df-n0 10154  df-z 10215  df-dec 10315  df-ndx 13399  df-slot 13400  df-sets 13402  df-tset 13475  df-ds 13478  df-tng 18503
  Copyright terms: Public domain W3C validator