MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tnglem Unicode version

Theorem tnglem 18156
Description: Lemma for tngbas 18157 and similar theorems. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tngbas.t  |-  T  =  ( G toNrmGrp  N )
tnglem.2  |-  E  = Slot 
K
tnglem.3  |-  K  e.  NN
tnglem.4  |-  K  <  9
Assertion
Ref Expression
tnglem  |-  ( N  e.  V  ->  ( E `  G )  =  ( E `  T ) )

Proof of Theorem tnglem
StepHypRef Expression
1 tngbas.t . . . . 5  |-  T  =  ( G toNrmGrp  N )
2 eqid 2283 . . . . 5  |-  ( -g `  G )  =  (
-g `  G )
3 eqid 2283 . . . . 5  |-  ( N  o.  ( -g `  G
) )  =  ( N  o.  ( -g `  G ) )
4 eqid 2283 . . . . 5  |-  ( MetOpen `  ( N  o.  ( -g `  G ) ) )  =  ( MetOpen `  ( N  o.  ( -g `  G ) ) )
51, 2, 3, 4tngval 18155 . . . 4  |-  ( ( G  e.  _V  /\  N  e.  V )  ->  T  =  ( ( G sSet  <. ( dist `  ndx ) ,  ( N  o.  ( -g `  G
) ) >. ) sSet  <.
(TopSet `  ndx ) ,  ( MetOpen `  ( N  o.  ( -g `  G
) ) ) >.
) )
65fveq2d 5529 . . 3  |-  ( ( G  e.  _V  /\  N  e.  V )  ->  ( E `  T
)  =  ( E `
 ( ( G sSet  <. ( dist `  ndx ) ,  ( N  o.  ( -g `  G
) ) >. ) sSet  <.
(TopSet `  ndx ) ,  ( MetOpen `  ( N  o.  ( -g `  G
) ) ) >.
) ) )
7 tnglem.2 . . . . . 6  |-  E  = Slot 
K
8 tnglem.3 . . . . . 6  |-  K  e.  NN
97, 8ndxid 13169 . . . . 5  |-  E  = Slot  ( E `  ndx )
107, 8ndxarg 13168 . . . . . . . 8  |-  ( E `
 ndx )  =  K
118nnrei 9755 . . . . . . . 8  |-  K  e.  RR
1210, 11eqeltri 2353 . . . . . . 7  |-  ( E `
 ndx )  e.  RR
13 tnglem.4 . . . . . . . . 9  |-  K  <  9
1410, 13eqbrtri 4042 . . . . . . . 8  |-  ( E `
 ndx )  <  9
15 1nn 9757 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  NN
16 2nn0 9982 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  NN0
17 9nn0 9989 . . . . . . . . 9  |-  9  e.  NN0
18 9lt10 9922 . . . . . . . . 9  |-  9  <  10
1915, 16, 17, 18declti 10149 . . . . . . . 8  |-  9  < ; 1
2
20 9re 9825 . . . . . . . . 9  |-  9  e.  RR
21 1nn0 9981 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  NN0
2221, 16deccl 10138 . . . . . . . . . 10  |- ; 1 2  e.  NN0
2322nn0rei 9976 . . . . . . . . 9  |- ; 1 2  e.  RR
2412, 20, 23lttri 8945 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( E `  ndx )  <  9  /\  9  < ; 1
2 )  ->  ( E `  ndx )  < ; 1 2 )
2514, 19, 24mp2an 653 . . . . . . 7  |-  ( E `
 ndx )  < ; 1 2
2612, 25ltneii 8931 . . . . . 6  |-  ( E `
 ndx )  =/= ; 1 2
27 dsndx 13309 . . . . . 6  |-  ( dist `  ndx )  = ; 1 2
2826, 27neeqtrri 2469 . . . . 5  |-  ( E `
 ndx )  =/=  ( dist `  ndx )
299, 28setsnid 13188 . . . 4  |-  ( E `
 G )  =  ( E `  ( G sSet  <. ( dist `  ndx ) ,  ( N  o.  ( -g `  G
) ) >. )
)
3012, 14ltneii 8931 . . . . . 6  |-  ( E `
 ndx )  =/=  9
31 tsetndx 13293 . . . . . 6  |-  (TopSet `  ndx )  =  9
3230, 31neeqtrri 2469 . . . . 5  |-  ( E `
 ndx )  =/=  (TopSet `  ndx )
339, 32setsnid 13188 . . . 4  |-  ( E `
 ( G sSet  <. (
dist `  ndx ) ,  ( N  o.  ( -g `  G ) )
>. ) )  =  ( E `  ( ( G sSet  <. ( dist `  ndx ) ,  ( N  o.  ( -g `  G
) ) >. ) sSet  <.
(TopSet `  ndx ) ,  ( MetOpen `  ( N  o.  ( -g `  G
) ) ) >.
) )
3429, 33eqtri 2303 . . 3  |-  ( E `
 G )  =  ( E `  (
( G sSet  <. ( dist `  ndx ) ,  ( N  o.  ( -g `  G ) ) >.
) sSet  <. (TopSet `  ndx ) ,  ( MetOpen `  ( N  o.  ( -g `  G ) ) ) >. ) )
356, 34syl6reqr 2334 . 2  |-  ( ( G  e.  _V  /\  N  e.  V )  ->  ( E `  G
)  =  ( E `
 T ) )
367str0 13184 . . 3  |-  (/)  =  ( E `  (/) )
37 fvprc 5519 . . . 4  |-  ( -.  G  e.  _V  ->  ( E `  G )  =  (/) )
3837adantr 451 . . 3  |-  ( ( -.  G  e.  _V  /\  N  e.  V )  ->  ( E `  G )  =  (/) )
39 reldmtng 18154 . . . . . . 7  |-  Rel  dom toNrmGrp
4039ovprc1 5886 . . . . . 6  |-  ( -.  G  e.  _V  ->  ( G toNrmGrp  N )  =  (/) )
4140adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( -.  G  e.  _V  /\  N  e.  V )  ->  ( G toNrmGrp  N )  =  (/) )
421, 41syl5eq 2327 . . . 4  |-  ( ( -.  G  e.  _V  /\  N  e.  V )  ->  T  =  (/) )
4342fveq2d 5529 . . 3  |-  ( ( -.  G  e.  _V  /\  N  e.  V )  ->  ( E `  T )  =  ( E `  (/) ) )
4436, 38, 433eqtr4a 2341 . 2  |-  ( ( -.  G  e.  _V  /\  N  e.  V )  ->  ( E `  G )  =  ( E `  T ) )
4535, 44pm2.61ian 765 1  |-  ( N  e.  V  ->  ( E `  G )  =  ( E `  T ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   _Vcvv 2788   (/)c0 3455   <.cop 3643   class class class wbr 4023    o. ccom 4693   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   RRcr 8736   1c1 8738    < clt 8867   NNcn 9746   2c2 9795   9c9 9802  ;cdc 10124   ndxcnx 13145   sSet csts 13146  Slot cslot 13147  TopSetcts 13214   distcds 13217   -gcsg 14365   MetOpencmopn 16372   toNrmGrp ctng 18101
This theorem is referenced by:  tngbas  18157  tngplusg  18158  tngmulr  18160  tngsca  18161  tngvsca  18162  tngip  18163
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-sets 13154  df-tset 13227  df-ds 13230  df-tng 18107
  Copyright terms: Public domain W3C validator