MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tnglem Structured version   Unicode version

Theorem tnglem 18686
Description: Lemma for tngbas 18687 and similar theorems. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tngbas.t  |-  T  =  ( G toNrmGrp  N )
tnglem.2  |-  E  = Slot 
K
tnglem.3  |-  K  e.  NN
tnglem.4  |-  K  <  9
Assertion
Ref Expression
tnglem  |-  ( N  e.  V  ->  ( E `  G )  =  ( E `  T ) )

Proof of Theorem tnglem
StepHypRef Expression
1 tngbas.t . . . . 5  |-  T  =  ( G toNrmGrp  N )
2 eqid 2438 . . . . 5  |-  ( -g `  G )  =  (
-g `  G )
3 eqid 2438 . . . . 5  |-  ( N  o.  ( -g `  G
) )  =  ( N  o.  ( -g `  G ) )
4 eqid 2438 . . . . 5  |-  ( MetOpen `  ( N  o.  ( -g `  G ) ) )  =  ( MetOpen `  ( N  o.  ( -g `  G ) ) )
51, 2, 3, 4tngval 18685 . . . 4  |-  ( ( G  e.  _V  /\  N  e.  V )  ->  T  =  ( ( G sSet  <. ( dist `  ndx ) ,  ( N  o.  ( -g `  G
) ) >. ) sSet  <.
(TopSet `  ndx ) ,  ( MetOpen `  ( N  o.  ( -g `  G
) ) ) >.
) )
65fveq2d 5735 . . 3  |-  ( ( G  e.  _V  /\  N  e.  V )  ->  ( E `  T
)  =  ( E `
 ( ( G sSet  <. ( dist `  ndx ) ,  ( N  o.  ( -g `  G
) ) >. ) sSet  <.
(TopSet `  ndx ) ,  ( MetOpen `  ( N  o.  ( -g `  G
) ) ) >.
) ) )
7 tnglem.2 . . . . . 6  |-  E  = Slot 
K
8 tnglem.3 . . . . . 6  |-  K  e.  NN
97, 8ndxid 13495 . . . . 5  |-  E  = Slot  ( E `  ndx )
107, 8ndxarg 13494 . . . . . . . 8  |-  ( E `
 ndx )  =  K
118nnrei 10014 . . . . . . . 8  |-  K  e.  RR
1210, 11eqeltri 2508 . . . . . . 7  |-  ( E `
 ndx )  e.  RR
13 tnglem.4 . . . . . . . . 9  |-  K  <  9
1410, 13eqbrtri 4234 . . . . . . . 8  |-  ( E `
 ndx )  <  9
15 1nn 10016 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  NN
16 2nn0 10243 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  NN0
17 9nn0 10250 . . . . . . . . 9  |-  9  e.  NN0
18 9lt10 10183 . . . . . . . . 9  |-  9  <  10
1915, 16, 17, 18declti 10412 . . . . . . . 8  |-  9  < ; 1
2
20 9re 10084 . . . . . . . . 9  |-  9  e.  RR
21 1nn0 10242 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  NN0
2221, 16deccl 10401 . . . . . . . . . 10  |- ; 1 2  e.  NN0
2322nn0rei 10237 . . . . . . . . 9  |- ; 1 2  e.  RR
2412, 20, 23lttri 9204 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( E `  ndx )  <  9  /\  9  < ; 1
2 )  ->  ( E `  ndx )  < ; 1 2 )
2514, 19, 24mp2an 655 . . . . . . 7  |-  ( E `
 ndx )  < ; 1 2
2612, 25ltneii 9191 . . . . . 6  |-  ( E `
 ndx )  =/= ; 1 2
27 dsndx 13635 . . . . . 6  |-  ( dist `  ndx )  = ; 1 2
2826, 27neeqtrri 2626 . . . . 5  |-  ( E `
 ndx )  =/=  ( dist `  ndx )
299, 28setsnid 13514 . . . 4  |-  ( E `
 G )  =  ( E `  ( G sSet  <. ( dist `  ndx ) ,  ( N  o.  ( -g `  G
) ) >. )
)
3012, 14ltneii 9191 . . . . . 6  |-  ( E `
 ndx )  =/=  9
31 tsetndx 13619 . . . . . 6  |-  (TopSet `  ndx )  =  9
3230, 31neeqtrri 2626 . . . . 5  |-  ( E `
 ndx )  =/=  (TopSet `  ndx )
339, 32setsnid 13514 . . . 4  |-  ( E `
 ( G sSet  <. (
dist `  ndx ) ,  ( N  o.  ( -g `  G ) )
>. ) )  =  ( E `  ( ( G sSet  <. ( dist `  ndx ) ,  ( N  o.  ( -g `  G
) ) >. ) sSet  <.
(TopSet `  ndx ) ,  ( MetOpen `  ( N  o.  ( -g `  G
) ) ) >.
) )
3429, 33eqtri 2458 . . 3  |-  ( E `
 G )  =  ( E `  (
( G sSet  <. ( dist `  ndx ) ,  ( N  o.  ( -g `  G ) ) >.
) sSet  <. (TopSet `  ndx ) ,  ( MetOpen `  ( N  o.  ( -g `  G ) ) ) >. ) )
356, 34syl6reqr 2489 . 2  |-  ( ( G  e.  _V  /\  N  e.  V )  ->  ( E `  G
)  =  ( E `
 T ) )
367str0 13510 . . 3  |-  (/)  =  ( E `  (/) )
37 fvprc 5725 . . . 4  |-  ( -.  G  e.  _V  ->  ( E `  G )  =  (/) )
3837adantr 453 . . 3  |-  ( ( -.  G  e.  _V  /\  N  e.  V )  ->  ( E `  G )  =  (/) )
39 reldmtng 18684 . . . . . . 7  |-  Rel  dom toNrmGrp
4039ovprc1 6112 . . . . . 6  |-  ( -.  G  e.  _V  ->  ( G toNrmGrp  N )  =  (/) )
4140adantr 453 . . . . 5  |-  ( ( -.  G  e.  _V  /\  N  e.  V )  ->  ( G toNrmGrp  N )  =  (/) )
421, 41syl5eq 2482 . . . 4  |-  ( ( -.  G  e.  _V  /\  N  e.  V )  ->  T  =  (/) )
4342fveq2d 5735 . . 3  |-  ( ( -.  G  e.  _V  /\  N  e.  V )  ->  ( E `  T )  =  ( E `  (/) ) )
4436, 38, 433eqtr4a 2496 . 2  |-  ( ( -.  G  e.  _V  /\  N  e.  V )  ->  ( E `  G )  =  ( E `  T ) )
4535, 44pm2.61ian 767 1  |-  ( N  e.  V  ->  ( E `  G )  =  ( E `  T ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   _Vcvv 2958   (/)c0 3630   <.cop 3819   class class class wbr 4215    o. ccom 4885   ` cfv 5457  (class class class)co 6084   RRcr 8994   1c1 8996    < clt 9125   NNcn 10005   2c2 10054   9c9 10061  ;cdc 10387   ndxcnx 13471   sSet csts 13472  Slot cslot 13473  TopSetcts 13540   distcds 13543   -gcsg 14693   MetOpencmopn 16696   toNrmGrp ctng 18631
This theorem is referenced by:  tngbas  18687  tngplusg  18688  tngmulr  18690  tngsca  18691  tngvsca  18692  tngip  18693
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-er 6908  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-nn 10006  df-2 10063  df-3 10064  df-4 10065  df-5 10066  df-6 10067  df-7 10068  df-8 10069  df-9 10070  df-10 10071  df-n0 10227  df-z 10288  df-dec 10388  df-ndx 13477  df-slot 13478  df-sets 13480  df-tset 13553  df-ds 13556  df-tng 18637
  Copyright terms: Public domain W3C validator