MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tnglem Unicode version

Theorem tnglem 18669
Description: Lemma for tngbas 18670 and similar theorems. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tngbas.t  |-  T  =  ( G toNrmGrp  N )
tnglem.2  |-  E  = Slot 
K
tnglem.3  |-  K  e.  NN
tnglem.4  |-  K  <  9
Assertion
Ref Expression
tnglem  |-  ( N  e.  V  ->  ( E `  G )  =  ( E `  T ) )

Proof of Theorem tnglem
StepHypRef Expression
1 tngbas.t . . . . 5  |-  T  =  ( G toNrmGrp  N )
2 eqid 2435 . . . . 5  |-  ( -g `  G )  =  (
-g `  G )
3 eqid 2435 . . . . 5  |-  ( N  o.  ( -g `  G
) )  =  ( N  o.  ( -g `  G ) )
4 eqid 2435 . . . . 5  |-  ( MetOpen `  ( N  o.  ( -g `  G ) ) )  =  ( MetOpen `  ( N  o.  ( -g `  G ) ) )
51, 2, 3, 4tngval 18668 . . . 4  |-  ( ( G  e.  _V  /\  N  e.  V )  ->  T  =  ( ( G sSet  <. ( dist `  ndx ) ,  ( N  o.  ( -g `  G
) ) >. ) sSet  <.
(TopSet `  ndx ) ,  ( MetOpen `  ( N  o.  ( -g `  G
) ) ) >.
) )
65fveq2d 5723 . . 3  |-  ( ( G  e.  _V  /\  N  e.  V )  ->  ( E `  T
)  =  ( E `
 ( ( G sSet  <. ( dist `  ndx ) ,  ( N  o.  ( -g `  G
) ) >. ) sSet  <.
(TopSet `  ndx ) ,  ( MetOpen `  ( N  o.  ( -g `  G
) ) ) >.
) ) )
7 tnglem.2 . . . . . 6  |-  E  = Slot 
K
8 tnglem.3 . . . . . 6  |-  K  e.  NN
97, 8ndxid 13478 . . . . 5  |-  E  = Slot  ( E `  ndx )
107, 8ndxarg 13477 . . . . . . . 8  |-  ( E `
 ndx )  =  K
118nnrei 9998 . . . . . . . 8  |-  K  e.  RR
1210, 11eqeltri 2505 . . . . . . 7  |-  ( E `
 ndx )  e.  RR
13 tnglem.4 . . . . . . . . 9  |-  K  <  9
1410, 13eqbrtri 4223 . . . . . . . 8  |-  ( E `
 ndx )  <  9
15 1nn 10000 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  NN
16 2nn0 10227 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  NN0
17 9nn0 10234 . . . . . . . . 9  |-  9  e.  NN0
18 9lt10 10167 . . . . . . . . 9  |-  9  <  10
1915, 16, 17, 18declti 10396 . . . . . . . 8  |-  9  < ; 1
2
20 9re 10068 . . . . . . . . 9  |-  9  e.  RR
21 1nn0 10226 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  NN0
2221, 16deccl 10385 . . . . . . . . . 10  |- ; 1 2  e.  NN0
2322nn0rei 10221 . . . . . . . . 9  |- ; 1 2  e.  RR
2412, 20, 23lttri 9188 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( E `  ndx )  <  9  /\  9  < ; 1
2 )  ->  ( E `  ndx )  < ; 1 2 )
2514, 19, 24mp2an 654 . . . . . . 7  |-  ( E `
 ndx )  < ; 1 2
2612, 25ltneii 9175 . . . . . 6  |-  ( E `
 ndx )  =/= ; 1 2
27 dsndx 13618 . . . . . 6  |-  ( dist `  ndx )  = ; 1 2
2826, 27neeqtrri 2621 . . . . 5  |-  ( E `
 ndx )  =/=  ( dist `  ndx )
299, 28setsnid 13497 . . . 4  |-  ( E `
 G )  =  ( E `  ( G sSet  <. ( dist `  ndx ) ,  ( N  o.  ( -g `  G
) ) >. )
)
3012, 14ltneii 9175 . . . . . 6  |-  ( E `
 ndx )  =/=  9
31 tsetndx 13602 . . . . . 6  |-  (TopSet `  ndx )  =  9
3230, 31neeqtrri 2621 . . . . 5  |-  ( E `
 ndx )  =/=  (TopSet `  ndx )
339, 32setsnid 13497 . . . 4  |-  ( E `
 ( G sSet  <. (
dist `  ndx ) ,  ( N  o.  ( -g `  G ) )
>. ) )  =  ( E `  ( ( G sSet  <. ( dist `  ndx ) ,  ( N  o.  ( -g `  G
) ) >. ) sSet  <.
(TopSet `  ndx ) ,  ( MetOpen `  ( N  o.  ( -g `  G
) ) ) >.
) )
3429, 33eqtri 2455 . . 3  |-  ( E `
 G )  =  ( E `  (
( G sSet  <. ( dist `  ndx ) ,  ( N  o.  ( -g `  G ) ) >.
) sSet  <. (TopSet `  ndx ) ,  ( MetOpen `  ( N  o.  ( -g `  G ) ) ) >. ) )
356, 34syl6reqr 2486 . 2  |-  ( ( G  e.  _V  /\  N  e.  V )  ->  ( E `  G
)  =  ( E `
 T ) )
367str0 13493 . . 3  |-  (/)  =  ( E `  (/) )
37 fvprc 5713 . . . 4  |-  ( -.  G  e.  _V  ->  ( E `  G )  =  (/) )
3837adantr 452 . . 3  |-  ( ( -.  G  e.  _V  /\  N  e.  V )  ->  ( E `  G )  =  (/) )
39 reldmtng 18667 . . . . . . 7  |-  Rel  dom toNrmGrp
4039ovprc1 6100 . . . . . 6  |-  ( -.  G  e.  _V  ->  ( G toNrmGrp  N )  =  (/) )
4140adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( -.  G  e.  _V  /\  N  e.  V )  ->  ( G toNrmGrp  N )  =  (/) )
421, 41syl5eq 2479 . . . 4  |-  ( ( -.  G  e.  _V  /\  N  e.  V )  ->  T  =  (/) )
4342fveq2d 5723 . . 3  |-  ( ( -.  G  e.  _V  /\  N  e.  V )  ->  ( E `  T )  =  ( E `  (/) ) )
4436, 38, 433eqtr4a 2493 . 2  |-  ( ( -.  G  e.  _V  /\  N  e.  V )  ->  ( E `  G )  =  ( E `  T ) )
4535, 44pm2.61ian 766 1  |-  ( N  e.  V  ->  ( E `  G )  =  ( E `  T ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   _Vcvv 2948   (/)c0 3620   <.cop 3809   class class class wbr 4204    o. ccom 4873   ` cfv 5445  (class class class)co 6072   RRcr 8978   1c1 8980    < clt 9109   NNcn 9989   2c2 10038   9c9 10045  ;cdc 10371   ndxcnx 13454   sSet csts 13455  Slot cslot 13456  TopSetcts 13523   distcds 13526   -gcsg 14676   MetOpencmopn 16679   toNrmGrp ctng 18614
This theorem is referenced by:  tngbas  18670  tngplusg  18671  tngmulr  18673  tngsca  18674  tngvsca  18675  tngip  18676
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4692  ax-cnex 9035  ax-resscn 9036  ax-1cn 9037  ax-icn 9038  ax-addcl 9039  ax-addrcl 9040  ax-mulcl 9041  ax-mulrcl 9042  ax-mulcom 9043  ax-addass 9044  ax-mulass 9045  ax-distr 9046  ax-i2m1 9047  ax-1ne0 9048  ax-1rid 9049  ax-rnegex 9050  ax-rrecex 9051  ax-cnre 9052  ax-pre-lttri 9053  ax-pre-lttrn 9054  ax-pre-ltadd 9055  ax-pre-mulgt0 9056
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4837  df-xp 4875  df-rel 4876  df-cnv 4877  df-co 4878  df-dm 4879  df-rn 4880  df-res 4881  df-ima 4882  df-iota 5409  df-fun 5447  df-fn 5448  df-f 5449  df-f1 5450  df-fo 5451  df-f1o 5452  df-fv 5453  df-ov 6075  df-oprab 6076  df-mpt2 6077  df-riota 6540  df-recs 6624  df-rdg 6659  df-er 6896  df-en 7101  df-dom 7102  df-sdom 7103  df-pnf 9111  df-mnf 9112  df-xr 9113  df-ltxr 9114  df-le 9115  df-sub 9282  df-neg 9283  df-nn 9990  df-2 10047  df-3 10048  df-4 10049  df-5 10050  df-6 10051  df-7 10052  df-8 10053  df-9 10054  df-10 10055  df-n0 10211  df-z 10272  df-dec 10372  df-ndx 13460  df-slot 13461  df-sets 13463  df-tset 13536  df-ds 13539  df-tng 18620
  Copyright terms: Public domain W3C validator