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Theorem tngngp 18186
Description: Derive the axioms for a normed group from the axioms for a metric space. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tngngp.t  |-  T  =  ( G toNrmGrp  N )
tngngp.x  |-  X  =  ( Base `  G
)
tngngp.m  |-  .-  =  ( -g `  G )
tngngp.z  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
Assertion
Ref Expression
tngngp  |-  ( N : X --> RR  ->  ( T  e. NrmGrp  <->  ( G  e. 
Grp  /\  A. x  e.  X  ( (
( N `  x
)  =  0  <->  x  =  .0.  )  /\  A. y  e.  X  ( N `  ( x  .-  y ) )  <_ 
( ( N `  x )  +  ( N `  y ) ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, y,  .-    x, N, y    x, T, y    x, X, y   
x,  .0. , y
Allowed substitution hints:    G( x, y)

Proof of Theorem tngngp
Dummy variables  a 
b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tngngp.t . . . . 5  |-  T  =  ( G toNrmGrp  N )
2 tngngp.x . . . . 5  |-  X  =  ( Base `  G
)
3 eqid 2296 . . . . 5  |-  ( dist `  T )  =  (
dist `  T )
41, 2, 3tngngp2 18184 . . . 4  |-  ( N : X --> RR  ->  ( T  e. NrmGrp  <->  ( G  e. 
Grp  /\  ( dist `  T )  e.  ( Met `  X ) ) ) )
54simprbda 606 . . 3  |-  ( ( N : X --> RR  /\  T  e. NrmGrp )  ->  G  e.  Grp )
6 simplr 731 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N : X --> RR  /\  T  e. NrmGrp )  /\  x  e.  X
)  ->  T  e. NrmGrp )
7 simpr 447 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N : X --> RR  /\  T  e. NrmGrp )  /\  x  e.  X
)  ->  x  e.  X )
8 fvex 5555 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Base `  G )  e.  _V
92, 8eqeltri 2366 . . . . . . . . . . 11  |-  X  e. 
_V
10 reex 8844 . . . . . . . . . . 11  |-  RR  e.  _V
11 fex2 5417 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N : X --> RR  /\  X  e.  _V  /\  RR  e.  _V )  ->  N  e.  _V )
129, 10, 11mp3an23 1269 . . . . . . . . . 10  |-  ( N : X --> RR  ->  N  e.  _V )
1312ad2antrr 706 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N : X --> RR  /\  T  e. NrmGrp )  /\  x  e.  X
)  ->  N  e.  _V )
141, 2tngbas 18173 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  _V  ->  X  =  ( Base `  T
) )
1513, 14syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N : X --> RR  /\  T  e. NrmGrp )  /\  x  e.  X
)  ->  X  =  ( Base `  T )
)
167, 15eleqtrd 2372 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N : X --> RR  /\  T  e. NrmGrp )  /\  x  e.  X
)  ->  x  e.  ( Base `  T )
)
17 eqid 2296 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  T )  =  (
Base `  T )
18 eqid 2296 . . . . . . . 8  |-  ( norm `  T )  =  (
norm `  T )
19 eqid 2296 . . . . . . . 8  |-  ( 0g
`  T )  =  ( 0g `  T
)
2017, 18, 19nmeq0 18155 . . . . . . 7  |-  ( ( T  e. NrmGrp  /\  x  e.  ( Base `  T
) )  ->  (
( ( norm `  T
) `  x )  =  0  <->  x  =  ( 0g `  T ) ) )
216, 16, 20syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( ( N : X --> RR  /\  T  e. NrmGrp )  /\  x  e.  X
)  ->  ( (
( norm `  T ) `  x )  =  0  <-> 
x  =  ( 0g
`  T ) ) )
225adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N : X --> RR  /\  T  e. NrmGrp )  /\  x  e.  X
)  ->  G  e.  Grp )
23 simpll 730 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N : X --> RR  /\  T  e. NrmGrp )  /\  x  e.  X
)  ->  N : X
--> RR )
241, 2, 10tngnm 18183 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  N : X --> RR )  ->  N  =  (
norm `  T )
)
2522, 23, 24syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N : X --> RR  /\  T  e. NrmGrp )  /\  x  e.  X
)  ->  N  =  ( norm `  T )
)
2625fveq1d 5543 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N : X --> RR  /\  T  e. NrmGrp )  /\  x  e.  X
)  ->  ( N `  x )  =  ( ( norm `  T
) `  x )
)
2726eqeq1d 2304 . . . . . 6  |-  ( ( ( N : X --> RR  /\  T  e. NrmGrp )  /\  x  e.  X
)  ->  ( ( N `  x )  =  0  <->  ( ( norm `  T ) `  x )  =  0 ) )
28 tngngp.z . . . . . . . . 9  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
291, 28tng0 18175 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  _V  ->  .0.  =  ( 0g `  T ) )
3013, 29syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N : X --> RR  /\  T  e. NrmGrp )  /\  x  e.  X
)  ->  .0.  =  ( 0g `  T ) )
3130eqeq2d 2307 . . . . . 6  |-  ( ( ( N : X --> RR  /\  T  e. NrmGrp )  /\  x  e.  X
)  ->  ( x  =  .0.  <->  x  =  ( 0g `  T ) ) )
3221, 27, 313bitr4d 276 . . . . 5  |-  ( ( ( N : X --> RR  /\  T  e. NrmGrp )  /\  x  e.  X
)  ->  ( ( N `  x )  =  0  <->  x  =  .0.  ) )
33 simpllr 735 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N : X
--> RR  /\  T  e. NrmGrp
)  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  X )  ->  T  e. NrmGrp )
3416adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N : X
--> RR  /\  T  e. NrmGrp
)  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  X )  ->  x  e.  ( Base `  T
) )
3515eleq2d 2363 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N : X --> RR  /\  T  e. NrmGrp )  /\  x  e.  X
)  ->  ( y  e.  X  <->  y  e.  (
Base `  T )
) )
3635biimpa 470 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N : X
--> RR  /\  T  e. NrmGrp
)  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  X )  ->  y  e.  ( Base `  T
) )
37 eqid 2296 . . . . . . . . 9  |-  ( -g `  T )  =  (
-g `  T )
3817, 18, 37nmmtri 18159 . . . . . . . 8  |-  ( ( T  e. NrmGrp  /\  x  e.  ( Base `  T
)  /\  y  e.  ( Base `  T )
)  ->  ( ( norm `  T ) `  ( x ( -g `  T ) y ) )  <_  ( (
( norm `  T ) `  x )  +  ( ( norm `  T
) `  y )
) )
3933, 34, 36, 38syl3anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N : X
--> RR  /\  T  e. NrmGrp
)  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  X )  ->  (
( norm `  T ) `  ( x ( -g `  T ) y ) )  <_  ( (
( norm `  T ) `  x )  +  ( ( norm `  T
) `  y )
) )
40 tngngp.m . . . . . . . . . . 11  |-  .-  =  ( -g `  G )
412, 15syl5eqr 2342 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N : X --> RR  /\  T  e. NrmGrp )  /\  x  e.  X
)  ->  ( Base `  G )  =  (
Base `  T )
)
42 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
431, 42tngplusg 18174 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  _V  ->  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  T
) )
4413, 43syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N : X --> RR  /\  T  e. NrmGrp )  /\  x  e.  X
)  ->  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  T ) )
4541, 44grpsubpropd 14582 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N : X --> RR  /\  T  e. NrmGrp )  /\  x  e.  X
)  ->  ( -g `  G )  =  (
-g `  T )
)
4640, 45syl5eq 2340 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N : X --> RR  /\  T  e. NrmGrp )  /\  x  e.  X
)  ->  .-  =  (
-g `  T )
)
4746oveqd 5891 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N : X --> RR  /\  T  e. NrmGrp )  /\  x  e.  X
)  ->  ( x  .-  y )  =  ( x ( -g `  T
) y ) )
4825, 47fveq12d 5547 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N : X --> RR  /\  T  e. NrmGrp )  /\  x  e.  X
)  ->  ( N `  ( x  .-  y
) )  =  ( ( norm `  T
) `  ( x
( -g `  T ) y ) ) )
4948adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N : X
--> RR  /\  T  e. NrmGrp
)  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  X )  ->  ( N `  ( x  .-  y ) )  =  ( ( norm `  T
) `  ( x
( -g `  T ) y ) ) )
5025fveq1d 5543 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N : X --> RR  /\  T  e. NrmGrp )  /\  x  e.  X
)  ->  ( N `  y )  =  ( ( norm `  T
) `  y )
)
5126, 50oveq12d 5892 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N : X --> RR  /\  T  e. NrmGrp )  /\  x  e.  X
)  ->  ( ( N `  x )  +  ( N `  y ) )  =  ( ( ( norm `  T ) `  x
)  +  ( (
norm `  T ) `  y ) ) )
5251adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N : X
--> RR  /\  T  e. NrmGrp
)  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  X )  ->  (
( N `  x
)  +  ( N `
 y ) )  =  ( ( (
norm `  T ) `  x )  +  ( ( norm `  T
) `  y )
) )
5339, 49, 523brtr4d 4069 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( N : X
--> RR  /\  T  e. NrmGrp
)  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  X )  ->  ( N `  ( x  .-  y ) )  <_ 
( ( N `  x )  +  ( N `  y ) ) )
5453ralrimiva 2639 . . . . 5  |-  ( ( ( N : X --> RR  /\  T  e. NrmGrp )  /\  x  e.  X
)  ->  A. y  e.  X  ( N `  ( x  .-  y
) )  <_  (
( N `  x
)  +  ( N `
 y ) ) )
5532, 54jca 518 . . . 4  |-  ( ( ( N : X --> RR  /\  T  e. NrmGrp )  /\  x  e.  X
)  ->  ( (
( N `  x
)  =  0  <->  x  =  .0.  )  /\  A. y  e.  X  ( N `  ( x  .-  y ) )  <_ 
( ( N `  x )  +  ( N `  y ) ) ) )
5655ralrimiva 2639 . . 3  |-  ( ( N : X --> RR  /\  T  e. NrmGrp )  ->  A. x  e.  X  ( ( ( N `  x )  =  0  <-> 
x  =  .0.  )  /\  A. y  e.  X  ( N `  ( x 
.-  y ) )  <_  ( ( N `
 x )  +  ( N `  y
) ) ) )
575, 56jca 518 . 2  |-  ( ( N : X --> RR  /\  T  e. NrmGrp )  ->  ( G  e.  Grp  /\  A. x  e.  X  ( ( ( N `  x )  =  0  <-> 
x  =  .0.  )  /\  A. y  e.  X  ( N `  ( x 
.-  y ) )  <_  ( ( N `
 x )  +  ( N `  y
) ) ) ) )
58 simprl 732 . . 3  |-  ( ( N : X --> RR  /\  ( G  e.  Grp  /\ 
A. x  e.  X  ( ( ( N `
 x )  =  0  <->  x  =  .0.  )  /\  A. y  e.  X  ( N `  ( x  .-  y ) )  <_  ( ( N `  x )  +  ( N `  y ) ) ) ) )  ->  G  e.  Grp )
59 simpl 443 . . 3  |-  ( ( N : X --> RR  /\  ( G  e.  Grp  /\ 
A. x  e.  X  ( ( ( N `
 x )  =  0  <->  x  =  .0.  )  /\  A. y  e.  X  ( N `  ( x  .-  y ) )  <_  ( ( N `  x )  +  ( N `  y ) ) ) ) )  ->  N : X --> RR )
60 simpl 443 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( N `  x )  =  0  <-> 
x  =  .0.  )  /\  A. y  e.  X  ( N `  ( x 
.-  y ) )  <_  ( ( N `
 x )  +  ( N `  y
) ) )  -> 
( ( N `  x )  =  0  <-> 
x  =  .0.  )
)
6160ralimi 2631 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  X  (
( ( N `  x )  =  0  <-> 
x  =  .0.  )  /\  A. y  e.  X  ( N `  ( x 
.-  y ) )  <_  ( ( N `
 x )  +  ( N `  y
) ) )  ->  A. x  e.  X  ( ( N `  x )  =  0  <-> 
x  =  .0.  )
)
6261ad2antll 709 . . . 4  |-  ( ( N : X --> RR  /\  ( G  e.  Grp  /\ 
A. x  e.  X  ( ( ( N `
 x )  =  0  <->  x  =  .0.  )  /\  A. y  e.  X  ( N `  ( x  .-  y ) )  <_  ( ( N `  x )  +  ( N `  y ) ) ) ) )  ->  A. x  e.  X  ( ( N `  x )  =  0  <->  x  =  .0.  ) )
63 fveq2 5541 . . . . . . 7  |-  ( x  =  a  ->  ( N `  x )  =  ( N `  a ) )
6463eqeq1d 2304 . . . . . 6  |-  ( x  =  a  ->  (
( N `  x
)  =  0  <->  ( N `  a )  =  0 ) )
65 eqeq1 2302 . . . . . 6  |-  ( x  =  a  ->  (
x  =  .0.  <->  a  =  .0.  ) )
6664, 65bibi12d 312 . . . . 5  |-  ( x  =  a  ->  (
( ( N `  x )  =  0  <-> 
x  =  .0.  )  <->  ( ( N `  a
)  =  0  <->  a  =  .0.  ) ) )
6766rspccva 2896 . . . 4  |-  ( ( A. x  e.  X  ( ( N `  x )  =  0  <-> 
x  =  .0.  )  /\  a  e.  X
)  ->  ( ( N `  a )  =  0  <->  a  =  .0.  ) )
6862, 67sylan 457 . . 3  |-  ( ( ( N : X --> RR  /\  ( G  e. 
Grp  /\  A. x  e.  X  ( (
( N `  x
)  =  0  <->  x  =  .0.  )  /\  A. y  e.  X  ( N `  ( x  .-  y ) )  <_ 
( ( N `  x )  +  ( N `  y ) ) ) ) )  /\  a  e.  X
)  ->  ( ( N `  a )  =  0  <->  a  =  .0.  ) )
69 simpr 447 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( N `  x )  =  0  <-> 
x  =  .0.  )  /\  A. y  e.  X  ( N `  ( x 
.-  y ) )  <_  ( ( N `
 x )  +  ( N `  y
) ) )  ->  A. y  e.  X  ( N `  ( x 
.-  y ) )  <_  ( ( N `
 x )  +  ( N `  y
) ) )
7069ralimi 2631 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  X  (
( ( N `  x )  =  0  <-> 
x  =  .0.  )  /\  A. y  e.  X  ( N `  ( x 
.-  y ) )  <_  ( ( N `
 x )  +  ( N `  y
) ) )  ->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( N `  ( x 
.-  y ) )  <_  ( ( N `
 x )  +  ( N `  y
) ) )
7170ad2antll 709 . . . 4  |-  ( ( N : X --> RR  /\  ( G  e.  Grp  /\ 
A. x  e.  X  ( ( ( N `
 x )  =  0  <->  x  =  .0.  )  /\  A. y  e.  X  ( N `  ( x  .-  y ) )  <_  ( ( N `  x )  +  ( N `  y ) ) ) ) )  ->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( N `  ( x  .-  y
) )  <_  (
( N `  x
)  +  ( N `
 y ) ) )
72 oveq1 5881 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  a  ->  (
x  .-  y )  =  ( a  .-  y ) )
7372fveq2d 5545 . . . . . . 7  |-  ( x  =  a  ->  ( N `  ( x  .-  y ) )  =  ( N `  (
a  .-  y )
) )
7463oveq1d 5889 . . . . . . 7  |-  ( x  =  a  ->  (
( N `  x
)  +  ( N `
 y ) )  =  ( ( N `
 a )  +  ( N `  y
) ) )
7573, 74breq12d 4052 . . . . . 6  |-  ( x  =  a  ->  (
( N `  (
x  .-  y )
)  <_  ( ( N `  x )  +  ( N `  y ) )  <->  ( N `  ( a  .-  y
) )  <_  (
( N `  a
)  +  ( N `
 y ) ) ) )
76 oveq2 5882 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  b  ->  (
a  .-  y )  =  ( a  .-  b ) )
7776fveq2d 5545 . . . . . . 7  |-  ( y  =  b  ->  ( N `  ( a  .-  y ) )  =  ( N `  (
a  .-  b )
) )
78 fveq2 5541 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  b  ->  ( N `  y )  =  ( N `  b ) )
7978oveq2d 5890 . . . . . . 7  |-  ( y  =  b  ->  (
( N `  a
)  +  ( N `
 y ) )  =  ( ( N `
 a )  +  ( N `  b
) ) )
8077, 79breq12d 4052 . . . . . 6  |-  ( y  =  b  ->  (
( N `  (
a  .-  y )
)  <_  ( ( N `  a )  +  ( N `  y ) )  <->  ( N `  ( a  .-  b
) )  <_  (
( N `  a
)  +  ( N `
 b ) ) ) )
8175, 80rspc2va 2904 . . . . 5  |-  ( ( ( a  e.  X  /\  b  e.  X
)  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( N `  ( x  .-  y
) )  <_  (
( N `  x
)  +  ( N `
 y ) ) )  ->  ( N `  ( a  .-  b
) )  <_  (
( N `  a
)  +  ( N `
 b ) ) )
8281ancoms 439 . . . 4  |-  ( ( A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( N `  ( x 
.-  y ) )  <_  ( ( N `
 x )  +  ( N `  y
) )  /\  (
a  e.  X  /\  b  e.  X )
)  ->  ( N `  ( a  .-  b
) )  <_  (
( N `  a
)  +  ( N `
 b ) ) )
8371, 82sylan 457 . . 3  |-  ( ( ( N : X --> RR  /\  ( G  e. 
Grp  /\  A. x  e.  X  ( (
( N `  x
)  =  0  <->  x  =  .0.  )  /\  A. y  e.  X  ( N `  ( x  .-  y ) )  <_ 
( ( N `  x )  +  ( N `  y ) ) ) ) )  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X ) )  -> 
( N `  (
a  .-  b )
)  <_  ( ( N `  a )  +  ( N `  b ) ) )
841, 2, 40, 28, 58, 59, 68, 83tngngpd 18185 . 2  |-  ( ( N : X --> RR  /\  ( G  e.  Grp  /\ 
A. x  e.  X  ( ( ( N `
 x )  =  0  <->  x  =  .0.  )  /\  A. y  e.  X  ( N `  ( x  .-  y ) )  <_  ( ( N `  x )  +  ( N `  y ) ) ) ) )  ->  T  e. NrmGrp )
8557, 84impbida 805 1  |-  ( N : X --> RR  ->  ( T  e. NrmGrp  <->  ( G  e. 
Grp  /\  A. x  e.  X  ( (
( N `  x
)  =  0  <->  x  =  .0.  )  /\  A. y  e.  X  ( N `  ( x  .-  y ) )  <_ 
( ( N `  x )  +  ( N `  y ) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   _Vcvv 2801   class class class wbr 4039   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   RRcr 8752   0cc0 8753    + caddc 8756    <_ cle 8884   Basecbs 13164   +g cplusg 13224   distcds 13233   0gc0g 13416   Grpcgrp 14378   -gcsg 14381   Metcme 16386   normcnm 18115  NrmGrpcngp 18116   toNrmGrp ctng 18117
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-sup 7210  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-dec 10141  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-xneg 10468  df-xadd 10469  df-xmul 10470  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-plusg 13237  df-tset 13243  df-ds 13246  df-rest 13343  df-topn 13344  df-topgen 13360  df-0g 13420  df-mnd 14383  df-grp 14505  df-minusg 14506  df-sbg 14507  df-xmet 16389  df-met 16390  df-bl 16391  df-mopn 16392  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-topsp 16656  df-xms 17901  df-ms 17902  df-nm 18121  df-ngp 18122  df-tng 18123
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