MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tngngp Structured version   Unicode version

Theorem tngngp 18685
Description: Derive the axioms for a normed group from the axioms for a metric space. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tngngp.t  |-  T  =  ( G toNrmGrp  N )
tngngp.x  |-  X  =  ( Base `  G
)
tngngp.m  |-  .-  =  ( -g `  G )
tngngp.z  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
Assertion
Ref Expression
tngngp  |-  ( N : X --> RR  ->  ( T  e. NrmGrp  <->  ( G  e. 
Grp  /\  A. x  e.  X  ( (
( N `  x
)  =  0  <->  x  =  .0.  )  /\  A. y  e.  X  ( N `  ( x  .-  y ) )  <_ 
( ( N `  x )  +  ( N `  y ) ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, y,  .-    x, N, y    x, T, y    x, X, y   
x,  .0. , y
Allowed substitution hints:    G( x, y)

Proof of Theorem tngngp
Dummy variables  a 
b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tngngp.t . . . . 5  |-  T  =  ( G toNrmGrp  N )
2 tngngp.x . . . . 5  |-  X  =  ( Base `  G
)
3 eqid 2435 . . . . 5  |-  ( dist `  T )  =  (
dist `  T )
41, 2, 3tngngp2 18683 . . . 4  |-  ( N : X --> RR  ->  ( T  e. NrmGrp  <->  ( G  e. 
Grp  /\  ( dist `  T )  e.  ( Met `  X ) ) ) )
54simprbda 607 . . 3  |-  ( ( N : X --> RR  /\  T  e. NrmGrp )  ->  G  e.  Grp )
6 simplr 732 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N : X --> RR  /\  T  e. NrmGrp )  /\  x  e.  X
)  ->  T  e. NrmGrp )
7 simpr 448 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N : X --> RR  /\  T  e. NrmGrp )  /\  x  e.  X
)  ->  x  e.  X )
8 fvex 5734 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Base `  G )  e.  _V
92, 8eqeltri 2505 . . . . . . . . . . 11  |-  X  e. 
_V
10 reex 9071 . . . . . . . . . . 11  |-  RR  e.  _V
11 fex2 5595 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N : X --> RR  /\  X  e.  _V  /\  RR  e.  _V )  ->  N  e.  _V )
129, 10, 11mp3an23 1271 . . . . . . . . . 10  |-  ( N : X --> RR  ->  N  e.  _V )
1312ad2antrr 707 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N : X --> RR  /\  T  e. NrmGrp )  /\  x  e.  X
)  ->  N  e.  _V )
141, 2tngbas 18672 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  _V  ->  X  =  ( Base `  T
) )
1513, 14syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N : X --> RR  /\  T  e. NrmGrp )  /\  x  e.  X
)  ->  X  =  ( Base `  T )
)
167, 15eleqtrd 2511 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N : X --> RR  /\  T  e. NrmGrp )  /\  x  e.  X
)  ->  x  e.  ( Base `  T )
)
17 eqid 2435 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  T )  =  (
Base `  T )
18 eqid 2435 . . . . . . . 8  |-  ( norm `  T )  =  (
norm `  T )
19 eqid 2435 . . . . . . . 8  |-  ( 0g
`  T )  =  ( 0g `  T
)
2017, 18, 19nmeq0 18654 . . . . . . 7  |-  ( ( T  e. NrmGrp  /\  x  e.  ( Base `  T
) )  ->  (
( ( norm `  T
) `  x )  =  0  <->  x  =  ( 0g `  T ) ) )
216, 16, 20syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ( ( N : X --> RR  /\  T  e. NrmGrp )  /\  x  e.  X
)  ->  ( (
( norm `  T ) `  x )  =  0  <-> 
x  =  ( 0g
`  T ) ) )
225adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N : X --> RR  /\  T  e. NrmGrp )  /\  x  e.  X
)  ->  G  e.  Grp )
23 simpll 731 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N : X --> RR  /\  T  e. NrmGrp )  /\  x  e.  X
)  ->  N : X
--> RR )
241, 2, 10tngnm 18682 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  N : X --> RR )  ->  N  =  (
norm `  T )
)
2522, 23, 24syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N : X --> RR  /\  T  e. NrmGrp )  /\  x  e.  X
)  ->  N  =  ( norm `  T )
)
2625fveq1d 5722 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N : X --> RR  /\  T  e. NrmGrp )  /\  x  e.  X
)  ->  ( N `  x )  =  ( ( norm `  T
) `  x )
)
2726eqeq1d 2443 . . . . . 6  |-  ( ( ( N : X --> RR  /\  T  e. NrmGrp )  /\  x  e.  X
)  ->  ( ( N `  x )  =  0  <->  ( ( norm `  T ) `  x )  =  0 ) )
28 tngngp.z . . . . . . . . 9  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
291, 28tng0 18674 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  _V  ->  .0.  =  ( 0g `  T ) )
3013, 29syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N : X --> RR  /\  T  e. NrmGrp )  /\  x  e.  X
)  ->  .0.  =  ( 0g `  T ) )
3130eqeq2d 2446 . . . . . 6  |-  ( ( ( N : X --> RR  /\  T  e. NrmGrp )  /\  x  e.  X
)  ->  ( x  =  .0.  <->  x  =  ( 0g `  T ) ) )
3221, 27, 313bitr4d 277 . . . . 5  |-  ( ( ( N : X --> RR  /\  T  e. NrmGrp )  /\  x  e.  X
)  ->  ( ( N `  x )  =  0  <->  x  =  .0.  ) )
33 simpllr 736 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N : X
--> RR  /\  T  e. NrmGrp
)  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  X )  ->  T  e. NrmGrp )
3416adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N : X
--> RR  /\  T  e. NrmGrp
)  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  X )  ->  x  e.  ( Base `  T
) )
3515eleq2d 2502 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N : X --> RR  /\  T  e. NrmGrp )  /\  x  e.  X
)  ->  ( y  e.  X  <->  y  e.  (
Base `  T )
) )
3635biimpa 471 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N : X
--> RR  /\  T  e. NrmGrp
)  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  X )  ->  y  e.  ( Base `  T
) )
37 eqid 2435 . . . . . . . . 9  |-  ( -g `  T )  =  (
-g `  T )
3817, 18, 37nmmtri 18658 . . . . . . . 8  |-  ( ( T  e. NrmGrp  /\  x  e.  ( Base `  T
)  /\  y  e.  ( Base `  T )
)  ->  ( ( norm `  T ) `  ( x ( -g `  T ) y ) )  <_  ( (
( norm `  T ) `  x )  +  ( ( norm `  T
) `  y )
) )
3933, 34, 36, 38syl3anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N : X
--> RR  /\  T  e. NrmGrp
)  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  X )  ->  (
( norm `  T ) `  ( x ( -g `  T ) y ) )  <_  ( (
( norm `  T ) `  x )  +  ( ( norm `  T
) `  y )
) )
40 tngngp.m . . . . . . . . . . 11  |-  .-  =  ( -g `  G )
412, 15syl5eqr 2481 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N : X --> RR  /\  T  e. NrmGrp )  /\  x  e.  X
)  ->  ( Base `  G )  =  (
Base `  T )
)
42 eqid 2435 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
431, 42tngplusg 18673 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  _V  ->  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  T
) )
4413, 43syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N : X --> RR  /\  T  e. NrmGrp )  /\  x  e.  X
)  ->  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  T ) )
4541, 44grpsubpropd 14879 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N : X --> RR  /\  T  e. NrmGrp )  /\  x  e.  X
)  ->  ( -g `  G )  =  (
-g `  T )
)
4640, 45syl5eq 2479 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N : X --> RR  /\  T  e. NrmGrp )  /\  x  e.  X
)  ->  .-  =  (
-g `  T )
)
4746oveqd 6090 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N : X --> RR  /\  T  e. NrmGrp )  /\  x  e.  X
)  ->  ( x  .-  y )  =  ( x ( -g `  T
) y ) )
4825, 47fveq12d 5726 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N : X --> RR  /\  T  e. NrmGrp )  /\  x  e.  X
)  ->  ( N `  ( x  .-  y
) )  =  ( ( norm `  T
) `  ( x
( -g `  T ) y ) ) )
4948adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N : X
--> RR  /\  T  e. NrmGrp
)  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  X )  ->  ( N `  ( x  .-  y ) )  =  ( ( norm `  T
) `  ( x
( -g `  T ) y ) ) )
5025fveq1d 5722 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N : X --> RR  /\  T  e. NrmGrp )  /\  x  e.  X
)  ->  ( N `  y )  =  ( ( norm `  T
) `  y )
)
5126, 50oveq12d 6091 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N : X --> RR  /\  T  e. NrmGrp )  /\  x  e.  X
)  ->  ( ( N `  x )  +  ( N `  y ) )  =  ( ( ( norm `  T ) `  x
)  +  ( (
norm `  T ) `  y ) ) )
5251adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N : X
--> RR  /\  T  e. NrmGrp
)  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  X )  ->  (
( N `  x
)  +  ( N `
 y ) )  =  ( ( (
norm `  T ) `  x )  +  ( ( norm `  T
) `  y )
) )
5339, 49, 523brtr4d 4234 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( N : X
--> RR  /\  T  e. NrmGrp
)  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  X )  ->  ( N `  ( x  .-  y ) )  <_ 
( ( N `  x )  +  ( N `  y ) ) )
5453ralrimiva 2781 . . . . 5  |-  ( ( ( N : X --> RR  /\  T  e. NrmGrp )  /\  x  e.  X
)  ->  A. y  e.  X  ( N `  ( x  .-  y
) )  <_  (
( N `  x
)  +  ( N `
 y ) ) )
5532, 54jca 519 . . . 4  |-  ( ( ( N : X --> RR  /\  T  e. NrmGrp )  /\  x  e.  X
)  ->  ( (
( N `  x
)  =  0  <->  x  =  .0.  )  /\  A. y  e.  X  ( N `  ( x  .-  y ) )  <_ 
( ( N `  x )  +  ( N `  y ) ) ) )
5655ralrimiva 2781 . . 3  |-  ( ( N : X --> RR  /\  T  e. NrmGrp )  ->  A. x  e.  X  ( ( ( N `  x )  =  0  <-> 
x  =  .0.  )  /\  A. y  e.  X  ( N `  ( x 
.-  y ) )  <_  ( ( N `
 x )  +  ( N `  y
) ) ) )
575, 56jca 519 . 2  |-  ( ( N : X --> RR  /\  T  e. NrmGrp )  ->  ( G  e.  Grp  /\  A. x  e.  X  ( ( ( N `  x )  =  0  <-> 
x  =  .0.  )  /\  A. y  e.  X  ( N `  ( x 
.-  y ) )  <_  ( ( N `
 x )  +  ( N `  y
) ) ) ) )
58 simprl 733 . . 3  |-  ( ( N : X --> RR  /\  ( G  e.  Grp  /\ 
A. x  e.  X  ( ( ( N `
 x )  =  0  <->  x  =  .0.  )  /\  A. y  e.  X  ( N `  ( x  .-  y ) )  <_  ( ( N `  x )  +  ( N `  y ) ) ) ) )  ->  G  e.  Grp )
59 simpl 444 . . 3  |-  ( ( N : X --> RR  /\  ( G  e.  Grp  /\ 
A. x  e.  X  ( ( ( N `
 x )  =  0  <->  x  =  .0.  )  /\  A. y  e.  X  ( N `  ( x  .-  y ) )  <_  ( ( N `  x )  +  ( N `  y ) ) ) ) )  ->  N : X --> RR )
60 simpl 444 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( N `  x )  =  0  <-> 
x  =  .0.  )  /\  A. y  e.  X  ( N `  ( x 
.-  y ) )  <_  ( ( N `
 x )  +  ( N `  y
) ) )  -> 
( ( N `  x )  =  0  <-> 
x  =  .0.  )
)
6160ralimi 2773 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  X  (
( ( N `  x )  =  0  <-> 
x  =  .0.  )  /\  A. y  e.  X  ( N `  ( x 
.-  y ) )  <_  ( ( N `
 x )  +  ( N `  y
) ) )  ->  A. x  e.  X  ( ( N `  x )  =  0  <-> 
x  =  .0.  )
)
6261ad2antll 710 . . . 4  |-  ( ( N : X --> RR  /\  ( G  e.  Grp  /\ 
A. x  e.  X  ( ( ( N `
 x )  =  0  <->  x  =  .0.  )  /\  A. y  e.  X  ( N `  ( x  .-  y ) )  <_  ( ( N `  x )  +  ( N `  y ) ) ) ) )  ->  A. x  e.  X  ( ( N `  x )  =  0  <->  x  =  .0.  ) )
63 fveq2 5720 . . . . . . 7  |-  ( x  =  a  ->  ( N `  x )  =  ( N `  a ) )
6463eqeq1d 2443 . . . . . 6  |-  ( x  =  a  ->  (
( N `  x
)  =  0  <->  ( N `  a )  =  0 ) )
65 eqeq1 2441 . . . . . 6  |-  ( x  =  a  ->  (
x  =  .0.  <->  a  =  .0.  ) )
6664, 65bibi12d 313 . . . . 5  |-  ( x  =  a  ->  (
( ( N `  x )  =  0  <-> 
x  =  .0.  )  <->  ( ( N `  a
)  =  0  <->  a  =  .0.  ) ) )
6766rspccva 3043 . . . 4  |-  ( ( A. x  e.  X  ( ( N `  x )  =  0  <-> 
x  =  .0.  )  /\  a  e.  X
)  ->  ( ( N `  a )  =  0  <->  a  =  .0.  ) )
6862, 67sylan 458 . . 3  |-  ( ( ( N : X --> RR  /\  ( G  e. 
Grp  /\  A. x  e.  X  ( (
( N `  x
)  =  0  <->  x  =  .0.  )  /\  A. y  e.  X  ( N `  ( x  .-  y ) )  <_ 
( ( N `  x )  +  ( N `  y ) ) ) ) )  /\  a  e.  X
)  ->  ( ( N `  a )  =  0  <->  a  =  .0.  ) )
69 simpr 448 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( N `  x )  =  0  <-> 
x  =  .0.  )  /\  A. y  e.  X  ( N `  ( x 
.-  y ) )  <_  ( ( N `
 x )  +  ( N `  y
) ) )  ->  A. y  e.  X  ( N `  ( x 
.-  y ) )  <_  ( ( N `
 x )  +  ( N `  y
) ) )
7069ralimi 2773 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  X  (
( ( N `  x )  =  0  <-> 
x  =  .0.  )  /\  A. y  e.  X  ( N `  ( x 
.-  y ) )  <_  ( ( N `
 x )  +  ( N `  y
) ) )  ->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( N `  ( x 
.-  y ) )  <_  ( ( N `
 x )  +  ( N `  y
) ) )
7170ad2antll 710 . . . 4  |-  ( ( N : X --> RR  /\  ( G  e.  Grp  /\ 
A. x  e.  X  ( ( ( N `
 x )  =  0  <->  x  =  .0.  )  /\  A. y  e.  X  ( N `  ( x  .-  y ) )  <_  ( ( N `  x )  +  ( N `  y ) ) ) ) )  ->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( N `  ( x  .-  y
) )  <_  (
( N `  x
)  +  ( N `
 y ) ) )
72 oveq1 6080 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  a  ->  (
x  .-  y )  =  ( a  .-  y ) )
7372fveq2d 5724 . . . . . . 7  |-  ( x  =  a  ->  ( N `  ( x  .-  y ) )  =  ( N `  (
a  .-  y )
) )
7463oveq1d 6088 . . . . . . 7  |-  ( x  =  a  ->  (
( N `  x
)  +  ( N `
 y ) )  =  ( ( N `
 a )  +  ( N `  y
) ) )
7573, 74breq12d 4217 . . . . . 6  |-  ( x  =  a  ->  (
( N `  (
x  .-  y )
)  <_  ( ( N `  x )  +  ( N `  y ) )  <->  ( N `  ( a  .-  y
) )  <_  (
( N `  a
)  +  ( N `
 y ) ) ) )
76 oveq2 6081 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  b  ->  (
a  .-  y )  =  ( a  .-  b ) )
7776fveq2d 5724 . . . . . . 7  |-  ( y  =  b  ->  ( N `  ( a  .-  y ) )  =  ( N `  (
a  .-  b )
) )
78 fveq2 5720 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  b  ->  ( N `  y )  =  ( N `  b ) )
7978oveq2d 6089 . . . . . . 7  |-  ( y  =  b  ->  (
( N `  a
)  +  ( N `
 y ) )  =  ( ( N `
 a )  +  ( N `  b
) ) )
8077, 79breq12d 4217 . . . . . 6  |-  ( y  =  b  ->  (
( N `  (
a  .-  y )
)  <_  ( ( N `  a )  +  ( N `  y ) )  <->  ( N `  ( a  .-  b
) )  <_  (
( N `  a
)  +  ( N `
 b ) ) ) )
8175, 80rspc2va 3051 . . . . 5  |-  ( ( ( a  e.  X  /\  b  e.  X
)  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( N `  ( x  .-  y
) )  <_  (
( N `  x
)  +  ( N `
 y ) ) )  ->  ( N `  ( a  .-  b
) )  <_  (
( N `  a
)  +  ( N `
 b ) ) )
8281ancoms 440 . . . 4  |-  ( ( A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( N `  ( x 
.-  y ) )  <_  ( ( N `
 x )  +  ( N `  y
) )  /\  (
a  e.  X  /\  b  e.  X )
)  ->  ( N `  ( a  .-  b
) )  <_  (
( N `  a
)  +  ( N `
 b ) ) )
8371, 82sylan 458 . . 3  |-  ( ( ( N : X --> RR  /\  ( G  e. 
Grp  /\  A. x  e.  X  ( (
( N `  x
)  =  0  <->  x  =  .0.  )  /\  A. y  e.  X  ( N `  ( x  .-  y ) )  <_ 
( ( N `  x )  +  ( N `  y ) ) ) ) )  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X ) )  -> 
( N `  (
a  .-  b )
)  <_  ( ( N `  a )  +  ( N `  b ) ) )
841, 2, 40, 28, 58, 59, 68, 83tngngpd 18684 . 2  |-  ( ( N : X --> RR  /\  ( G  e.  Grp  /\ 
A. x  e.  X  ( ( ( N `
 x )  =  0  <->  x  =  .0.  )  /\  A. y  e.  X  ( N `  ( x  .-  y ) )  <_  ( ( N `  x )  +  ( N `  y ) ) ) ) )  ->  T  e. NrmGrp )
8557, 84impbida 806 1  |-  ( N : X --> RR  ->  ( T  e. NrmGrp  <->  ( G  e. 
Grp  /\  A. x  e.  X  ( (
( N `  x
)  =  0  <->  x  =  .0.  )  /\  A. y  e.  X  ( N `  ( x  .-  y ) )  <_ 
( ( N `  x )  +  ( N `  y ) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2697   _Vcvv 2948   class class class wbr 4204   -->wf 5442   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   RRcr 8979   0cc0 8980    + caddc 8983    <_ cle 9111   Basecbs 13459   +g cplusg 13519   distcds 13528   0gc0g 13713   Grpcgrp 14675   -gcsg 14678   Metcme 16677   normcnm 18614  NrmGrpcngp 18615   toNrmGrp ctng 18616
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9036  ax-resscn 9037  ax-1cn 9038  ax-icn 9039  ax-addcl 9040  ax-addrcl 9041  ax-mulcl 9042  ax-mulrcl 9043  ax-mulcom 9044  ax-addass 9045  ax-mulass 9046  ax-distr 9047  ax-i2m1 9048  ax-1ne0 9049  ax-1rid 9050  ax-rnegex 9051  ax-rrecex 9052  ax-cnre 9053  ax-pre-lttri 9054  ax-pre-lttrn 9055  ax-pre-ltadd 9056  ax-pre-mulgt0 9057  ax-pre-sup 9058
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-er 6897  df-map 7012  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-sup 7438  df-pnf 9112  df-mnf 9113  df-xr 9114  df-ltxr 9115  df-le 9116  df-sub 9283  df-neg 9284  df-div 9668  df-nn 9991  df-2 10048  df-3 10049  df-4 10050  df-5 10051  df-6 10052  df-7 10053  df-8 10054  df-9 10055  df-10 10056  df-n0 10212  df-z 10273  df-dec 10373  df-uz 10479  df-q 10565  df-rp 10603  df-xneg 10700  df-xadd 10701  df-xmul 10702  df-ndx 13462  df-slot 13463  df-base 13464  df-sets 13465  df-plusg 13532  df-tset 13538  df-ds 13541  df-rest 13640  df-topn 13641  df-topgen 13657  df-0g 13717  df-mnd 14680  df-grp 14802  df-minusg 14803  df-sbg 14804  df-psmet 16684  df-xmet 16685  df-met 16686  df-bl 16687  df-mopn 16688  df-top 16953  df-bases 16955  df-topon 16956  df-topsp 16957  df-xms 18340  df-ms 18341  df-nm 18620  df-ngp 18621  df-tng 18622
  Copyright terms: Public domain W3C validator