Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tngngp2 Unicode version

Theorem tngngp2 18184
 Description: A norm turns a group into a normed group iff the generated metric is in fact a metric. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tngngp2.t toNrmGrp
tngngp2.x
tngngp2.d
Assertion
Ref Expression
tngngp2 NrmGrp

Proof of Theorem tngngp2
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ngpgrp 18137 . . . . 5 NrmGrp
2 tngngp2.x . . . . . . . 8
3 fvex 5555 . . . . . . . 8
42, 3eqeltri 2366 . . . . . . 7
5 reex 8844 . . . . . . 7
6 fex2 5417 . . . . . . 7
74, 5, 6mp3an23 1269 . . . . . 6
82a1i 10 . . . . . . 7
9 tngngp2.t . . . . . . . 8 toNrmGrp
109, 2tngbas 18173 . . . . . . 7
11 eqid 2296 . . . . . . . . 9
129, 11tngplusg 18174 . . . . . . . 8
1312proplem3 13609 . . . . . . 7
148, 10, 13grppropd 14516 . . . . . 6
157, 14syl 15 . . . . 5
161, 15syl5ibr 212 . . . 4 NrmGrp
1716imp 418 . . 3 NrmGrp
18 ngpms 18138 . . . . . 6 NrmGrp
1918adantl 452 . . . . 5 NrmGrp
20 eqid 2296 . . . . . 6
21 tngngp2.d . . . . . . 7
2221reseq1i 4967 . . . . . 6
2320, 22msmet 18019 . . . . 5
2419, 23syl 15 . . . 4 NrmGrp
25 eqid 2296 . . . . . . . . . . 11
262, 25grpsubf 14561 . . . . . . . . . 10
2717, 26syl 15 . . . . . . . . 9 NrmGrp
28 fco 5414 . . . . . . . . 9
2927, 28syldan 456 . . . . . . . 8 NrmGrp
307adantr 451 . . . . . . . . . . 11 NrmGrp
319, 25tngds 18180 . . . . . . . . . . 11
3230, 31syl 15 . . . . . . . . . 10 NrmGrp
3332, 21syl6reqr 2347 . . . . . . . . 9 NrmGrp
3433feq1d 5395 . . . . . . . 8 NrmGrp
3529, 34mpbird 223 . . . . . . 7 NrmGrp
36 ffn 5405 . . . . . . 7
37 fnresdm 5369 . . . . . . 7
3835, 36, 373syl 18 . . . . . 6 NrmGrp
3930, 10syl 15 . . . . . . . 8 NrmGrp
4039, 39xpeq12d 4730 . . . . . . 7 NrmGrp
4140reseq2d 4971 . . . . . 6 NrmGrp
4238, 41eqtr3d 2330 . . . . 5 NrmGrp
4339fveq2d 5545 . . . . 5 NrmGrp
4442, 43eleq12d 2364 . . . 4 NrmGrp
4524, 44mpbird 223 . . 3 NrmGrp
4617, 45jca 518 . 2 NrmGrp
4715biimpa 470 . . . 4
49 simprr 733 . . . . . . . 8
507adantr 451 . . . . . . . . . 10
5150, 10syl 15 . . . . . . . . 9
5251fveq2d 5545 . . . . . . . 8
5349, 52eleqtrd 2372 . . . . . . 7
54 metf 17911 . . . . . . 7
5553, 54syl 15 . . . . . 6
56 ffn 5405 . . . . . 6
57 fnresdm 5369 . . . . . 6
5855, 56, 573syl 18 . . . . 5
5958, 53eqeltrd 2370 . . . 4
6058fveq2d 5545 . . . . 5
61 simprl 732 . . . . . 6
62 eqid 2296 . . . . . . 7
639, 21, 62tngtopn 18182 . . . . . 6
6461, 50, 63syl2anc 642 . . . . 5
6560, 64eqtr2d 2329 . . . 4
66 eqid 2296 . . . . 5
6766, 20, 22isms2 18012 . . . 4
6859, 65, 67sylanbrc 645 . . 3
69 simpl 443 . . . . . . 7
709, 2, 5tngnm 18183 . . . . . . 7
7161, 69, 70syl2anc 642 . . . . . 6
728, 10eqtr3d 2330 . . . . . . . 8
7372, 12grpsubpropd 14582 . . . . . . 7
7450, 73syl 15 . . . . . 6
7571, 74coeq12d 4864 . . . . 5
7650, 31syl 15 . . . . 5
7775, 76eqtr3d 2330 . . . 4
78 eqimss 3243 . . . 4
7977, 78syl 15 . . 3
80 eqid 2296 . . . 4
81 eqid 2296 . . . 4
82 eqid 2296 . . . 4
8380, 81, 82isngp 18134 . . 3 NrmGrp
8448, 68, 79, 83syl3anbrc 1136 . 2 NrmGrp
8546, 84impbida 805 1 NrmGrp
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 176   wa 358   wceq 1632   wcel 1696  cvv 2801   wss 3165   cxp 4703   cres 4707   ccom 4709   wfn 5266  wf 5267  cfv 5271  (class class class)co 5874  cr 8752  cbs 13164   cplusg 13224  cds 13233  ctopn 13342  cgrp 14378  csg 14381  cme 16386  cmopn 16388  cmt 17899  cnm 18115  NrmGrpcngp 18116   toNrmGrp ctng 18117 This theorem is referenced by:  tngngpd  18185  tngngp  18186  tngnrg  18201 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-sup 7210  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-dec 10141  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-xneg 10468  df-xadd 10469  df-xmul 10470  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-plusg 13237  df-tset 13243  df-ds 13246  df-rest 13343  df-topn 13344  df-topgen 13360  df-0g 13420  df-mnd 14383  df-grp 14505  df-minusg 14506  df-sbg 14507  df-xmet 16389  df-met 16390  df-bl 16391  df-mopn 16392  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-topsp 16656  df-xms 17901  df-ms 17902  df-nm 18121  df-ngp 18122  df-tng 18123
 Copyright terms: Public domain W3C validator