MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tngngpd Unicode version

Theorem tngngpd 18169
Description: Derive the axioms for a normed group from the axioms for a metric space. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tngngp.t  |-  T  =  ( G toNrmGrp  N )
tngngp.x  |-  X  =  ( Base `  G
)
tngngp.m  |-  .-  =  ( -g `  G )
tngngp.z  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
tngngpd.1  |-  ( ph  ->  G  e.  Grp )
tngngpd.2  |-  ( ph  ->  N : X --> RR )
tngngpd.3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
( N `  x
)  =  0  <->  x  =  .0.  ) )
tngngpd.4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( N `  (
x  .-  y )
)  <_  ( ( N `  x )  +  ( N `  y ) ) )
Assertion
Ref Expression
tngngpd  |-  ( ph  ->  T  e. NrmGrp )
Distinct variable groups:    x, y,  .-    x, N, y    x, T, y    x, X, y    ph, x, y    x,  .0. , y
Allowed substitution hints:    G( x, y)

Proof of Theorem tngngpd
StepHypRef Expression
1 tngngpd.1 . 2  |-  ( ph  ->  G  e.  Grp )
2 tngngpd.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  N : X --> RR )
3 tngngp.x . . . . . 6  |-  X  =  ( Base `  G
)
4 fvex 5539 . . . . . 6  |-  ( Base `  G )  e.  _V
53, 4eqeltri 2353 . . . . 5  |-  X  e. 
_V
6 reex 8828 . . . . 5  |-  RR  e.  _V
7 fex2 5401 . . . . 5  |-  ( ( N : X --> RR  /\  X  e.  _V  /\  RR  e.  _V )  ->  N  e.  _V )
85, 6, 7mp3an23 1269 . . . 4  |-  ( N : X --> RR  ->  N  e.  _V )
9 tngngp.t . . . . 5  |-  T  =  ( G toNrmGrp  N )
10 tngngp.m . . . . 5  |-  .-  =  ( -g `  G )
119, 10tngds 18164 . . . 4  |-  ( N  e.  _V  ->  ( N  o.  .-  )  =  ( dist `  T
) )
122, 8, 113syl 18 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N  o.  .-  )  =  ( dist `  T ) )
13 tngngp.z . . . 4  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
14 tngngpd.3 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
( N `  x
)  =  0  <->  x  =  .0.  ) )
15 tngngpd.4 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( N `  (
x  .-  y )
)  <_  ( ( N `  x )  +  ( N `  y ) ) )
163, 10, 13, 1, 2, 14, 15nrmmetd 18097 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N  o.  .-  )  e.  ( Met `  X ) )
1712, 16eqeltrrd 2358 . 2  |-  ( ph  ->  ( dist `  T
)  e.  ( Met `  X ) )
18 eqid 2283 . . . 4  |-  ( dist `  T )  =  (
dist `  T )
199, 3, 18tngngp2 18168 . . 3  |-  ( N : X --> RR  ->  ( T  e. NrmGrp  <->  ( G  e. 
Grp  /\  ( dist `  T )  e.  ( Met `  X ) ) ) )
202, 19syl 15 . 2  |-  ( ph  ->  ( T  e. NrmGrp  <->  ( G  e.  Grp  /\  ( dist `  T )  e.  ( Met `  X ) ) ) )
211, 17, 20mpbir2and 888 1  |-  ( ph  ->  T  e. NrmGrp )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   _Vcvv 2788   class class class wbr 4023    o. ccom 4693   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   RRcr 8736   0cc0 8737    + caddc 8740    <_ cle 8868   Basecbs 13148   distcds 13217   0gc0g 13400   Grpcgrp 14362   -gcsg 14365   Metcme 16370  NrmGrpcngp 18100   toNrmGrp ctng 18101
This theorem is referenced by:  tngngp  18170  tchcph  18667
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-sup 7194  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-plusg 13221  df-tset 13227  df-ds 13230  df-rest 13327  df-topn 13328  df-topgen 13344  df-0g 13404  df-mnd 14367  df-grp 14489  df-minusg 14490  df-sbg 14491  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-topsp 16640  df-xms 17885  df-ms 17886  df-nm 18105  df-ngp 18106  df-tng 18107
  Copyright terms: Public domain W3C validator