MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tngngpd Unicode version

Theorem tngngpd 18221
Description: Derive the axioms for a normed group from the axioms for a metric space. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tngngp.t  |-  T  =  ( G toNrmGrp  N )
tngngp.x  |-  X  =  ( Base `  G
)
tngngp.m  |-  .-  =  ( -g `  G )
tngngp.z  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
tngngpd.1  |-  ( ph  ->  G  e.  Grp )
tngngpd.2  |-  ( ph  ->  N : X --> RR )
tngngpd.3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
( N `  x
)  =  0  <->  x  =  .0.  ) )
tngngpd.4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( N `  (
x  .-  y )
)  <_  ( ( N `  x )  +  ( N `  y ) ) )
Assertion
Ref Expression
tngngpd  |-  ( ph  ->  T  e. NrmGrp )
Distinct variable groups:    x, y,  .-    x, N, y    x, T, y    x, X, y    ph, x, y    x,  .0. , y
Allowed substitution hints:    G( x, y)

Proof of Theorem tngngpd
StepHypRef Expression
1 tngngpd.1 . 2  |-  ( ph  ->  G  e.  Grp )
2 tngngpd.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  N : X --> RR )
3 tngngp.x . . . . . 6  |-  X  =  ( Base `  G
)
4 fvex 5577 . . . . . 6  |-  ( Base `  G )  e.  _V
53, 4eqeltri 2386 . . . . 5  |-  X  e. 
_V
6 reex 8873 . . . . 5  |-  RR  e.  _V
7 fex2 5439 . . . . 5  |-  ( ( N : X --> RR  /\  X  e.  _V  /\  RR  e.  _V )  ->  N  e.  _V )
85, 6, 7mp3an23 1269 . . . 4  |-  ( N : X --> RR  ->  N  e.  _V )
9 tngngp.t . . . . 5  |-  T  =  ( G toNrmGrp  N )
10 tngngp.m . . . . 5  |-  .-  =  ( -g `  G )
119, 10tngds 18216 . . . 4  |-  ( N  e.  _V  ->  ( N  o.  .-  )  =  ( dist `  T
) )
122, 8, 113syl 18 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N  o.  .-  )  =  ( dist `  T ) )
13 tngngp.z . . . 4  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
14 tngngpd.3 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
( N `  x
)  =  0  <->  x  =  .0.  ) )
15 tngngpd.4 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( N `  (
x  .-  y )
)  <_  ( ( N `  x )  +  ( N `  y ) ) )
163, 10, 13, 1, 2, 14, 15nrmmetd 18149 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N  o.  .-  )  e.  ( Met `  X ) )
1712, 16eqeltrrd 2391 . 2  |-  ( ph  ->  ( dist `  T
)  e.  ( Met `  X ) )
18 eqid 2316 . . . 4  |-  ( dist `  T )  =  (
dist `  T )
199, 3, 18tngngp2 18220 . . 3  |-  ( N : X --> RR  ->  ( T  e. NrmGrp  <->  ( G  e. 
Grp  /\  ( dist `  T )  e.  ( Met `  X ) ) ) )
202, 19syl 15 . 2  |-  ( ph  ->  ( T  e. NrmGrp  <->  ( G  e.  Grp  /\  ( dist `  T )  e.  ( Met `  X ) ) ) )
211, 17, 20mpbir2and 888 1  |-  ( ph  ->  T  e. NrmGrp )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1633    e. wcel 1701   _Vcvv 2822   class class class wbr 4060    o. ccom 4730   -->wf 5288   ` cfv 5292  (class class class)co 5900   RRcr 8781   0cc0 8782    + caddc 8785    <_ cle 8913   Basecbs 13195   distcds 13264   0gc0g 13449   Grpcgrp 14411   -gcsg 14414   Metcme 16419  NrmGrpcngp 18152   toNrmGrp ctng 18153
This theorem is referenced by:  tngngp  18222  tchcph  18720
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1537  ax-5 1548  ax-17 1607  ax-9 1645  ax-8 1666  ax-13 1703  ax-14 1705  ax-6 1720  ax-7 1725  ax-11 1732  ax-12 1897  ax-ext 2297  ax-rep 4168  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4225  ax-pr 4251  ax-un 4549  ax-cnex 8838  ax-resscn 8839  ax-1cn 8840  ax-icn 8841  ax-addcl 8842  ax-addrcl 8843  ax-mulcl 8844  ax-mulrcl 8845  ax-mulcom 8846  ax-addass 8847  ax-mulass 8848  ax-distr 8849  ax-i2m1 8850  ax-1ne0 8851  ax-1rid 8852  ax-rnegex 8853  ax-rrecex 8854  ax-cnre 8855  ax-pre-lttri 8856  ax-pre-lttrn 8857  ax-pre-ltadd 8858  ax-pre-mulgt0 8859  ax-pre-sup 8860
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1533  df-nf 1536  df-sb 1640  df-eu 2180  df-mo 2181  df-clab 2303  df-cleq 2309  df-clel 2312  df-nfc 2441  df-ne 2481  df-nel 2482  df-ral 2582  df-rex 2583  df-reu 2584  df-rmo 2585  df-rab 2586  df-v 2824  df-sbc 3026  df-csb 3116  df-dif 3189  df-un 3191  df-in 3193  df-ss 3200  df-pss 3202  df-nul 3490  df-if 3600  df-pw 3661  df-sn 3680  df-pr 3681  df-tp 3682  df-op 3683  df-uni 3865  df-iun 3944  df-br 4061  df-opab 4115  df-mpt 4116  df-tr 4151  df-eprel 4342  df-id 4346  df-po 4351  df-so 4352  df-fr 4389  df-we 4391  df-ord 4432  df-on 4433  df-lim 4434  df-suc 4435  df-om 4694  df-xp 4732  df-rel 4733  df-cnv 4734  df-co 4735  df-dm 4736  df-rn 4737  df-res 4738  df-ima 4739  df-iota 5256  df-fun 5294  df-fn 5295  df-f 5296  df-f1 5297  df-fo 5298  df-f1o 5299  df-fv 5300  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpt2 5905  df-1st 6164  df-2nd 6165  df-riota 6346  df-recs 6430  df-rdg 6465  df-er 6702  df-map 6817  df-en 6907  df-dom 6908  df-sdom 6909  df-sup 7239  df-pnf 8914  df-mnf 8915  df-xr 8916  df-ltxr 8917  df-le 8918  df-sub 9084  df-neg 9085  df-div 9469  df-nn 9792  df-2 9849  df-3 9850  df-4 9851  df-5 9852  df-6 9853  df-7 9854  df-8 9855  df-9 9856  df-10 9857  df-n0 10013  df-z 10072  df-dec 10172  df-uz 10278  df-q 10364  df-rp 10402  df-xneg 10499  df-xadd 10500  df-xmul 10501  df-ndx 13198  df-slot 13199  df-base 13200  df-sets 13201  df-plusg 13268  df-tset 13274  df-ds 13277  df-rest 13376  df-topn 13377  df-topgen 13393  df-0g 13453  df-mnd 14416  df-grp 14538  df-minusg 14539  df-sbg 14540  df-xmet 16425  df-met 16426  df-bl 16427  df-mopn 16428  df-top 16692  df-bases 16694  df-topon 16695  df-topsp 16696  df-xms 17937  df-ms 17938  df-nm 18157  df-ngp 18158  df-tng 18159
  Copyright terms: Public domain W3C validator