Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tngnm Unicode version

Theorem tngnm 18631
 Description: The topology generated by a normed structure. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tngnm.t toNrmGrp
tngnm.x
tngnm.a
Assertion
Ref Expression
tngnm

Proof of Theorem tngnm
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 448 . . 3
21feqmptd 5732 . 2
3 tngnm.x . . . . . . . 8
4 eqid 2401 . . . . . . . 8
53, 4grpsubf 14809 . . . . . . 7
65ad2antrr 707 . . . . . 6
7 simpr 448 . . . . . . 7
8 eqid 2401 . . . . . . . . 9
93, 8grpidcl 14774 . . . . . . . 8
109ad2antrr 707 . . . . . . 7
11 opelxpi 4864 . . . . . . 7
127, 10, 11syl2anc 643 . . . . . 6
13 fvco3 5753 . . . . . 6
146, 12, 13syl2anc 643 . . . . 5
15 df-ov 6037 . . . . 5
16 df-ov 6037 . . . . . 6
1716fveq2i 5685 . . . . 5
1814, 15, 173eqtr4g 2458 . . . 4
193, 8, 4grpsubid1 14815 . . . . . 6
2019adantlr 696 . . . . 5
2120fveq2d 5686 . . . 4
2218, 21eqtr2d 2434 . . 3
2322mpteq2dva 4250 . 2
24 fvex 5696 . . . . . . . 8
253, 24eqeltri 2471 . . . . . . 7
26 tngnm.a . . . . . . 7
27 fex2 5557 . . . . . . 7
2825, 26, 27mp3an23 1271 . . . . . 6
2928adantl 453 . . . . 5
30 tngnm.t . . . . . 6 toNrmGrp
3130, 3tngbas 18621 . . . . 5
3229, 31syl 16 . . . 4
3330, 4tngds 18628 . . . . . 6
3429, 33syl 16 . . . . 5
35 eqidd 2402 . . . . 5
3630, 8tng0 18623 . . . . . 6
3729, 36syl 16 . . . . 5
3834, 35, 37oveq123d 6055 . . . 4
3932, 38mpteq12dv 4242 . . 3
40 eqid 2401 . . . 4
41 eqid 2401 . . . 4
42 eqid 2401 . . . 4
43 eqid 2401 . . . 4
4440, 41, 42, 43nmfval 18575 . . 3
4539, 44syl6eqr 2451 . 2
462, 23, 453eqtrd 2437 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 359   wceq 1649   wcel 1721  cvv 2913  cop 3774   cmpt 4221   cxp 4830   ccom 4836  wf 5404  cfv 5408  (class class class)co 6034  cbs 13410  cds 13479  c0g 13664  cgrp 14626  csg 14629  cnm 18563   toNrmGrp ctng 18565 This theorem is referenced by:  tngngp2  18632  tngngp  18634  tngnrg  18649  tchnmfval  19125  tchcph  19133 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2382  ax-rep 4275  ax-sep 4285  ax-nul 4293  ax-pow 4332  ax-pr 4358  ax-un 4655  ax-cnex 8993  ax-resscn 8994  ax-1cn 8995  ax-icn 8996  ax-addcl 8997  ax-addrcl 8998  ax-mulcl 8999  ax-mulrcl 9000  ax-mulcom 9001  ax-addass 9002  ax-mulass 9003  ax-distr 9004  ax-i2m1 9005  ax-1ne0 9006  ax-1rid 9007  ax-rnegex 9008  ax-rrecex 9009  ax-cnre 9010  ax-pre-lttri 9011  ax-pre-lttrn 9012  ax-pre-ltadd 9013  ax-pre-mulgt0 9014 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2526  df-ne 2566  df-nel 2567  df-ral 2668  df-rex 2669  df-reu 2670  df-rmo 2671  df-rab 2672  df-v 2915  df-sbc 3119  df-csb 3209  df-dif 3280  df-un 3282  df-in 3284  df-ss 3291  df-pss 3293  df-nul 3586  df-if 3697  df-pw 3758  df-sn 3777  df-pr 3778  df-tp 3779  df-op 3780  df-uni 3972  df-iun 4051  df-br 4168  df-opab 4222  df-mpt 4223  df-tr 4258  df-eprel 4449  df-id 4453  df-po 4458  df-so 4459  df-fr 4496  df-we 4498  df-ord 4539  df-on 4540  df-lim 4541  df-suc 4542  df-om 4800  df-xp 4838  df-rel 4839  df-cnv 4840  df-co 4841  df-dm 4842  df-rn 4843  df-res 4844  df-ima 4845  df-iota 5372  df-fun 5410  df-fn 5411  df-f 5412  df-f1 5413  df-fo 5414  df-f1o 5415  df-fv 5416  df-ov 6037  df-oprab 6038  df-mpt2 6039  df-1st 6302  df-2nd 6303  df-riota 6499  df-recs 6583  df-rdg 6618  df-er 6855  df-en 7060  df-dom 7061  df-sdom 7062  df-pnf 9069  df-mnf 9070  df-xr 9071  df-ltxr 9072  df-le 9073  df-sub 9239  df-neg 9240  df-nn 9947  df-2 10004  df-3 10005  df-4 10006  df-5 10007  df-6 10008  df-7 10009  df-8 10010  df-9 10011  df-10 10012  df-n0 10168  df-z 10229  df-dec 10329  df-ndx 13413  df-slot 13414  df-base 13415  df-sets 13416  df-plusg 13483  df-tset 13489  df-ds 13492  df-0g 13668  df-mnd 14631  df-grp 14753  df-minusg 14754  df-sbg 14755  df-nm 18569  df-tng 18571
 Copyright terms: Public domain W3C validator