Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tngnrg Structured version   Unicode version

Theorem tngnrg 18710
 Description: Given any absolute value over a ring, augmenting the ring with the absolute value produces a normed ring. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tngnrg.t toNrmGrp
tngnrg.a AbsVal
Assertion
Ref Expression
tngnrg NrmRing

Proof of Theorem tngnrg
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tngnrg.a . . . . 5 AbsVal
21abvrcl 15909 . . . 4
3 rnggrp 15669 . . . 4
42, 3syl 16 . . 3
5 tngnrg.t . . . . 5 toNrmGrp
6 eqid 2436 . . . . 5
75, 6tngds 18689 . . . 4
8 eqid 2436 . . . . 5
98, 1, 6abvmet 18623 . . . 4
107, 9eqeltrrd 2511 . . 3
111, 8abvf 15911 . . . 4
12 eqid 2436 . . . . 5
135, 8, 12tngngp2 18693 . . . 4 NrmGrp
1411, 13syl 16 . . 3 NrmGrp
154, 10, 14mpbir2and 889 . 2 NrmGrp
16 reex 9081 . . . . . 6
175, 8, 16tngnm 18692 . . . . 5
184, 11, 17syl2anc 643 . . . 4
19 eqidd 2437 . . . . . 6
205, 8tngbas 18682 . . . . . 6
21 eqid 2436 . . . . . . . 8
225, 21tngplusg 18683 . . . . . . 7
2322proplem3 13916 . . . . . 6
24 eqid 2436 . . . . . . . 8
255, 24tngmulr 18685 . . . . . . 7
2625proplem3 13916 . . . . . 6
2719, 20, 23, 26abvpropd 15930 . . . . 5 AbsVal AbsVal
281, 27syl5eq 2480 . . . 4 AbsVal
2918, 28eleq12d 2504 . . 3 AbsVal
3029ibi 233 . 2 AbsVal
31 eqid 2436 . . 3
32 eqid 2436 . . 3 AbsVal AbsVal
3331, 32isnrg 18696 . 2 NrmRing NrmGrp AbsVal
3415, 30, 33sylanbrc 646 1 NrmRing
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   wceq 1652   wcel 1725   ccom 4882  wf 5450  cfv 5454  (class class class)co 6081  cr 8989  cbs 13469   cplusg 13529  cmulr 13530  cds 13538  cgrp 14685  csg 14688  crg 15660  AbsValcabv 15904  cme 16687  cnm 18624  NrmGrpcngp 18625   toNrmGrp ctng 18626  NrmRingcnrg 18627 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-er 6905  df-map 7020  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-sup 7446  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-4 10060  df-5 10061  df-6 10062  df-7 10063  df-8 10064  df-9 10065  df-10 10066  df-n0 10222  df-z 10283  df-dec 10383  df-uz 10489  df-q 10575  df-rp 10613  df-xneg 10710  df-xadd 10711  df-xmul 10712  df-ico 10922  df-seq 11324  df-exp 11383  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-sets 13475  df-plusg 13542  df-mulr 13543  df-tset 13548  df-ds 13551  df-rest 13650  df-topn 13651  df-topgen 13667  df-0g 13727  df-mnd 14690  df-grp 14812  df-minusg 14813  df-sbg 14814  df-mgp 15649  df-rng 15663  df-ur 15665  df-abv 15905  df-psmet 16694  df-xmet 16695  df-met 16696  df-bl 16697  df-mopn 16698  df-top 16963  df-bases 16965  df-topon 16966  df-topsp 16967  df-xms 18350  df-ms 18351  df-nm 18630  df-ngp 18631  df-tng 18632  df-nrg 18633
 Copyright terms: Public domain W3C validator