MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tngnrg Structured version   Unicode version

Theorem tngnrg 18710
Description: Given any absolute value over a ring, augmenting the ring with the absolute value produces a normed ring. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tngnrg.t  |-  T  =  ( R toNrmGrp  F )
tngnrg.a  |-  A  =  (AbsVal `  R )
Assertion
Ref Expression
tngnrg  |-  ( F  e.  A  ->  T  e. NrmRing )

Proof of Theorem tngnrg
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tngnrg.a . . . . 5  |-  A  =  (AbsVal `  R )
21abvrcl 15909 . . . 4  |-  ( F  e.  A  ->  R  e.  Ring )
3 rnggrp 15669 . . . 4  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Grp )
42, 3syl 16 . . 3  |-  ( F  e.  A  ->  R  e.  Grp )
5 tngnrg.t . . . . 5  |-  T  =  ( R toNrmGrp  F )
6 eqid 2436 . . . . 5  |-  ( -g `  R )  =  (
-g `  R )
75, 6tngds 18689 . . . 4  |-  ( F  e.  A  ->  ( F  o.  ( -g `  R ) )  =  ( dist `  T
) )
8 eqid 2436 . . . . 5  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
98, 1, 6abvmet 18623 . . . 4  |-  ( F  e.  A  ->  ( F  o.  ( -g `  R ) )  e.  ( Met `  ( Base `  R ) ) )
107, 9eqeltrrd 2511 . . 3  |-  ( F  e.  A  ->  ( dist `  T )  e.  ( Met `  ( Base `  R ) ) )
111, 8abvf 15911 . . . 4  |-  ( F  e.  A  ->  F : ( Base `  R
) --> RR )
12 eqid 2436 . . . . 5  |-  ( dist `  T )  =  (
dist `  T )
135, 8, 12tngngp2 18693 . . . 4  |-  ( F : ( Base `  R
) --> RR  ->  ( T  e. NrmGrp  <->  ( R  e. 
Grp  /\  ( dist `  T )  e.  ( Met `  ( Base `  R ) ) ) ) )
1411, 13syl 16 . . 3  |-  ( F  e.  A  ->  ( T  e. NrmGrp  <->  ( R  e. 
Grp  /\  ( dist `  T )  e.  ( Met `  ( Base `  R ) ) ) ) )
154, 10, 14mpbir2and 889 . 2  |-  ( F  e.  A  ->  T  e. NrmGrp )
16 reex 9081 . . . . . 6  |-  RR  e.  _V
175, 8, 16tngnm 18692 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Grp  /\  F : ( Base `  R
) --> RR )  ->  F  =  ( norm `  T ) )
184, 11, 17syl2anc 643 . . . 4  |-  ( F  e.  A  ->  F  =  ( norm `  T
) )
19 eqidd 2437 . . . . . 6  |-  ( F  e.  A  ->  ( Base `  R )  =  ( Base `  R
) )
205, 8tngbas 18682 . . . . . 6  |-  ( F  e.  A  ->  ( Base `  R )  =  ( Base `  T
) )
21 eqid 2436 . . . . . . . 8  |-  ( +g  `  R )  =  ( +g  `  R )
225, 21tngplusg 18683 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  A  ->  ( +g  `  R )  =  ( +g  `  T
) )
2322proplem3 13916 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  A  /\  ( x  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( Base `  R ) ) )  ->  ( x ( +g  `  R ) y )  =  ( x ( +g  `  T
) y ) )
24 eqid 2436 . . . . . . . 8  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
255, 24tngmulr 18685 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  A  ->  ( .r `  R )  =  ( .r `  T
) )
2625proplem3 13916 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  A  /\  ( x  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( Base `  R ) ) )  ->  ( x ( .r `  R ) y )  =  ( x ( .r `  T ) y ) )
2719, 20, 23, 26abvpropd 15930 . . . . 5  |-  ( F  e.  A  ->  (AbsVal `  R )  =  (AbsVal `  T ) )
281, 27syl5eq 2480 . . . 4  |-  ( F  e.  A  ->  A  =  (AbsVal `  T )
)
2918, 28eleq12d 2504 . . 3  |-  ( F  e.  A  ->  ( F  e.  A  <->  ( norm `  T )  e.  (AbsVal `  T ) ) )
3029ibi 233 . 2  |-  ( F  e.  A  ->  ( norm `  T )  e.  (AbsVal `  T )
)
31 eqid 2436 . . 3  |-  ( norm `  T )  =  (
norm `  T )
32 eqid 2436 . . 3  |-  (AbsVal `  T )  =  (AbsVal `  T )
3331, 32isnrg 18696 . 2  |-  ( T  e. NrmRing 
<->  ( T  e. NrmGrp  /\  ( norm `  T )  e.  (AbsVal `  T )
) )
3415, 30, 33sylanbrc 646 1  |-  ( F  e.  A  ->  T  e. NrmRing )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    o. ccom 4882   -->wf 5450   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   RRcr 8989   Basecbs 13469   +g cplusg 13529   .rcmulr 13530   distcds 13538   Grpcgrp 14685   -gcsg 14688   Ringcrg 15660  AbsValcabv 15904   Metcme 16687   normcnm 18624  NrmGrpcngp 18625   toNrmGrp ctng 18626  NrmRingcnrg 18627
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-er 6905  df-map 7020  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-sup 7446  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-4 10060  df-5 10061  df-6 10062  df-7 10063  df-8 10064  df-9 10065  df-10 10066  df-n0 10222  df-z 10283  df-dec 10383  df-uz 10489  df-q 10575  df-rp 10613  df-xneg 10710  df-xadd 10711  df-xmul 10712  df-ico 10922  df-seq 11324  df-exp 11383  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-sets 13475  df-plusg 13542  df-mulr 13543  df-tset 13548  df-ds 13551  df-rest 13650  df-topn 13651  df-topgen 13667  df-0g 13727  df-mnd 14690  df-grp 14812  df-minusg 14813  df-sbg 14814  df-mgp 15649  df-rng 15663  df-ur 15665  df-abv 15905  df-psmet 16694  df-xmet 16695  df-met 16696  df-bl 16697  df-mopn 16698  df-top 16963  df-bases 16965  df-topon 16966  df-topsp 16967  df-xms 18350  df-ms 18351  df-nm 18630  df-ngp 18631  df-tng 18632  df-nrg 18633
  Copyright terms: Public domain W3C validator