MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tngnrg Unicode version

Theorem tngnrg 18201
Description: Given any absolute value over a ring, augmenting the ring with the absolute value produces a normed ring. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tngnrg.t  |-  T  =  ( R toNrmGrp  F )
tngnrg.a  |-  A  =  (AbsVal `  R )
Assertion
Ref Expression
tngnrg  |-  ( F  e.  A  ->  T  e. NrmRing )

Proof of Theorem tngnrg
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tngnrg.a . . . . 5  |-  A  =  (AbsVal `  R )
21abvrcl 15602 . . . 4  |-  ( F  e.  A  ->  R  e.  Ring )
3 rnggrp 15362 . . . 4  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Grp )
42, 3syl 15 . . 3  |-  ( F  e.  A  ->  R  e.  Grp )
5 tngnrg.t . . . . 5  |-  T  =  ( R toNrmGrp  F )
6 eqid 2296 . . . . 5  |-  ( -g `  R )  =  (
-g `  R )
75, 6tngds 18180 . . . 4  |-  ( F  e.  A  ->  ( F  o.  ( -g `  R ) )  =  ( dist `  T
) )
8 eqid 2296 . . . . 5  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
98, 1, 6abvmet 18114 . . . 4  |-  ( F  e.  A  ->  ( F  o.  ( -g `  R ) )  e.  ( Met `  ( Base `  R ) ) )
107, 9eqeltrrd 2371 . . 3  |-  ( F  e.  A  ->  ( dist `  T )  e.  ( Met `  ( Base `  R ) ) )
111, 8abvf 15604 . . . 4  |-  ( F  e.  A  ->  F : ( Base `  R
) --> RR )
12 eqid 2296 . . . . 5  |-  ( dist `  T )  =  (
dist `  T )
135, 8, 12tngngp2 18184 . . . 4  |-  ( F : ( Base `  R
) --> RR  ->  ( T  e. NrmGrp  <->  ( R  e. 
Grp  /\  ( dist `  T )  e.  ( Met `  ( Base `  R ) ) ) ) )
1411, 13syl 15 . . 3  |-  ( F  e.  A  ->  ( T  e. NrmGrp  <->  ( R  e. 
Grp  /\  ( dist `  T )  e.  ( Met `  ( Base `  R ) ) ) ) )
154, 10, 14mpbir2and 888 . 2  |-  ( F  e.  A  ->  T  e. NrmGrp )
16 reex 8844 . . . . . 6  |-  RR  e.  _V
175, 8, 16tngnm 18183 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Grp  /\  F : ( Base `  R
) --> RR )  ->  F  =  ( norm `  T ) )
184, 11, 17syl2anc 642 . . . 4  |-  ( F  e.  A  ->  F  =  ( norm `  T
) )
19 eqidd 2297 . . . . . 6  |-  ( F  e.  A  ->  ( Base `  R )  =  ( Base `  R
) )
205, 8tngbas 18173 . . . . . 6  |-  ( F  e.  A  ->  ( Base `  R )  =  ( Base `  T
) )
21 eqid 2296 . . . . . . . 8  |-  ( +g  `  R )  =  ( +g  `  R )
225, 21tngplusg 18174 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  A  ->  ( +g  `  R )  =  ( +g  `  T
) )
2322proplem3 13609 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  A  /\  ( x  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( Base `  R ) ) )  ->  ( x ( +g  `  R ) y )  =  ( x ( +g  `  T
) y ) )
24 eqid 2296 . . . . . . . 8  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
255, 24tngmulr 18176 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  A  ->  ( .r `  R )  =  ( .r `  T
) )
2625proplem3 13609 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  A  /\  ( x  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( Base `  R ) ) )  ->  ( x ( .r `  R ) y )  =  ( x ( .r `  T ) y ) )
2719, 20, 23, 26abvpropd 15623 . . . . 5  |-  ( F  e.  A  ->  (AbsVal `  R )  =  (AbsVal `  T ) )
281, 27syl5eq 2340 . . . 4  |-  ( F  e.  A  ->  A  =  (AbsVal `  T )
)
2918, 28eleq12d 2364 . . 3  |-  ( F  e.  A  ->  ( F  e.  A  <->  ( norm `  T )  e.  (AbsVal `  T ) ) )
3029ibi 232 . 2  |-  ( F  e.  A  ->  ( norm `  T )  e.  (AbsVal `  T )
)
31 eqid 2296 . . 3  |-  ( norm `  T )  =  (
norm `  T )
32 eqid 2296 . . 3  |-  (AbsVal `  T )  =  (AbsVal `  T )
3331, 32isnrg 18187 . 2  |-  ( T  e. NrmRing 
<->  ( T  e. NrmGrp  /\  ( norm `  T )  e.  (AbsVal `  T )
) )
3415, 30, 33sylanbrc 645 1  |-  ( F  e.  A  ->  T  e. NrmRing )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696    o. ccom 4709   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   RRcr 8752   Basecbs 13164   +g cplusg 13224   .rcmulr 13225   distcds 13233   Grpcgrp 14378   -gcsg 14381   Ringcrg 15353  AbsValcabv 15597   Metcme 16386   normcnm 18115  NrmGrpcngp 18116   toNrmGrp ctng 18117  NrmRingcnrg 18118
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-sup 7210  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-dec 10141  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-xneg 10468  df-xadd 10469  df-xmul 10470  df-ico 10678  df-seq 11063  df-exp 11121  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-tset 13243  df-ds 13246  df-rest 13343  df-topn 13344  df-topgen 13360  df-0g 13420  df-mnd 14383  df-grp 14505  df-minusg 14506  df-sbg 14507  df-mgp 15342  df-rng 15356  df-ur 15358  df-abv 15598  df-xmet 16389  df-met 16390  df-bl 16391  df-mopn 16392  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-topsp 16656  df-xms 17901  df-ms 17902  df-nm 18121  df-ngp 18122  df-tng 18123  df-nrg 18124
  Copyright terms: Public domain W3C validator