MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tngtopn Structured version   Unicode version

Theorem tngtopn 18683
Description: The topology generated by a normed structure. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tngbas.t  |-  T  =  ( G toNrmGrp  N )
tngtset.2  |-  D  =  ( dist `  T
)
tngtset.3  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
Assertion
Ref Expression
tngtopn  |-  ( ( G  e.  V  /\  N  e.  W )  ->  J  =  ( TopOpen `  T ) )

Proof of Theorem tngtopn
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tngbas.t . . 3  |-  T  =  ( G toNrmGrp  N )
2 tngtset.2 . . 3  |-  D  =  ( dist `  T
)
3 tngtset.3 . . 3  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
41, 2, 3tngtset 18682 . 2  |-  ( ( G  e.  V  /\  N  e.  W )  ->  J  =  (TopSet `  T ) )
5 df-mopn 16690 . . . . . . . . 9  |-  MetOpen  =  ( x  e.  U. ran  * Met  |->  ( topGen `  ran  ( ball `  x )
) )
65dmmptss 5358 . . . . . . . 8  |-  dom  MetOpen  C_  U. ran  * Met
76sseli 3336 . . . . . . 7  |-  ( D  e.  dom  MetOpen  ->  D  e.  U. ran  * Met )
8 eqid 2435 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( -g `  G )  =  (
-g `  G )
91, 8tngds 18681 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( N  e.  W  ->  ( N  o.  ( -g `  G ) )  =  ( dist `  T
) )
109, 2syl6eqr 2485 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( N  e.  W  ->  ( N  o.  ( -g `  G ) )  =  D )
1110adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( G  e.  V  /\  N  e.  W )  ->  ( N  o.  ( -g `  G ) )  =  D )
1211dmeqd 5064 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G  e.  V  /\  N  e.  W )  ->  dom  ( N  o.  ( -g `  G ) )  =  dom  D
)
13 dmcoss 5127 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  dom  ( N  o.  ( -g `  G ) )  C_  dom  ( -g `  G
)
14 eqid 2435 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
15 eqid 2435 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
16 eqid 2435 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( inv g `  G )  =  ( inv g `  G )
1714, 15, 16, 8grpsubfval 14839 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -g `  G )  =  ( x  e.  ( Base `  G ) ,  y  e.  ( Base `  G
)  |->  ( x ( +g  `  G ) ( ( inv g `  G ) `  y
) ) )
18 ovex 6098 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x ( +g  `  G
) ( ( inv g `  G ) `
 y ) )  e.  _V
1917, 18dmmpt2 6413 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  dom  ( -g `  G )  =  ( ( Base `  G
)  X.  ( Base `  G ) )
2013, 19sseqtri 3372 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  dom  ( N  o.  ( -g `  G ) )  C_  ( ( Base `  G
)  X.  ( Base `  G ) )
2112, 20syl6eqssr 3391 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  V  /\  N  e.  W )  ->  dom  D  C_  (
( Base `  G )  X.  ( Base `  G
) ) )
2221adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G  e.  V  /\  N  e.  W
)  /\  D  e.  U.
ran  * Met )  ->  dom  D  C_  ( ( Base `  G )  X.  ( Base `  G
) ) )
23 dmss 5061 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( dom 
D  C_  ( ( Base `  G )  X.  ( Base `  G
) )  ->  dom  dom 
D  C_  dom  ( (
Base `  G )  X.  ( Base `  G
) ) )
2422, 23syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  V  /\  N  e.  W
)  /\  D  e.  U.
ran  * Met )  ->  dom  dom  D  C_  dom  ( ( Base `  G
)  X.  ( Base `  G ) ) )
25 dmxpid 5081 . . . . . . . . . . 11  |-  dom  (
( Base `  G )  X.  ( Base `  G
) )  =  (
Base `  G )
2624, 25syl6sseq 3386 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  V  /\  N  e.  W
)  /\  D  e.  U.
ran  * Met )  ->  dom  dom  D  C_  ( Base `  G ) )
27 simpr 448 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G  e.  V  /\  N  e.  W
)  /\  D  e.  U.
ran  * Met )  ->  D  e.  U. ran  * Met )
28 xmetunirn 18359 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( D  e.  U. ran  * Met 
<->  D  e.  ( * Met `  dom  dom  D ) )
2927, 28sylib 189 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  V  /\  N  e.  W
)  /\  D  e.  U.
ran  * Met )  ->  D  e.  ( * Met `  dom  dom  D
) )
30 eqid 2435 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( MetOpen `  D )  =  (
MetOpen `  D )
3130mopnuni 18463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( D  e.  ( * Met ` 
dom  dom  D )  ->  dom  dom  D  =  U. ( MetOpen `  D )
)
3229, 31syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  V  /\  N  e.  W
)  /\  D  e.  U.
ran  * Met )  ->  dom  dom  D  =  U. ( MetOpen `  D )
)
331, 14tngbas 18674 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  W  ->  ( Base `  G )  =  ( Base `  T
) )
3433ad2antlr 708 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  V  /\  N  e.  W
)  /\  D  e.  U.
ran  * Met )  -> 
( Base `  G )  =  ( Base `  T
) )
3526, 32, 343sstr3d 3382 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  V  /\  N  e.  W
)  /\  D  e.  U.
ran  * Met )  ->  U. ( MetOpen `  D )  C_  ( Base `  T
) )
36 sspwuni 4168 . . . . . . . . 9  |-  ( (
MetOpen `  D )  C_  ~P ( Base `  T
)  <->  U. ( MetOpen `  D
)  C_  ( Base `  T ) )
3735, 36sylibr 204 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  V  /\  N  e.  W
)  /\  D  e.  U.
ran  * Met )  -> 
( MetOpen `  D )  C_ 
~P ( Base `  T
) )
3837ex 424 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  V  /\  N  e.  W )  ->  ( D  e.  U. ran  * Met  ->  ( MetOpen
`  D )  C_  ~P ( Base `  T
) ) )
397, 38syl5 30 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  V  /\  N  e.  W )  ->  ( D  e.  dom  MetOpen  ->  ( MetOpen `  D )  C_ 
~P ( Base `  T
) ) )
40 ndmfv 5747 . . . . . . 7  |-  ( -.  D  e.  dom  MetOpen  ->  ( MetOpen
`  D )  =  (/) )
41 0ss 3648 . . . . . . 7  |-  (/)  C_  ~P ( Base `  T )
4240, 41syl6eqss 3390 . . . . . 6  |-  ( -.  D  e.  dom  MetOpen  ->  ( MetOpen
`  D )  C_  ~P ( Base `  T
) )
4339, 42pm2.61d1 153 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  V  /\  N  e.  W )  ->  ( MetOpen `  D )  C_ 
~P ( Base `  T
) )
443, 43syl5eqss 3384 . . . 4  |-  ( ( G  e.  V  /\  N  e.  W )  ->  J  C_  ~P ( Base `  T ) )
454, 44eqsstr3d 3375 . . 3  |-  ( ( G  e.  V  /\  N  e.  W )  ->  (TopSet `  T )  C_ 
~P ( Base `  T
) )
46 eqid 2435 . . . 4  |-  ( Base `  T )  =  (
Base `  T )
47 eqid 2435 . . . 4  |-  (TopSet `  T )  =  (TopSet `  T )
4846, 47topnid 13655 . . 3  |-  ( (TopSet `  T )  C_  ~P ( Base `  T )  ->  (TopSet `  T )  =  ( TopOpen `  T
) )
4945, 48syl 16 . 2  |-  ( ( G  e.  V  /\  N  e.  W )  ->  (TopSet `  T )  =  ( TopOpen `  T
) )
504, 49eqtrd 2467 1  |-  ( ( G  e.  V  /\  N  e.  W )  ->  J  =  ( TopOpen `  T ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    C_ wss 3312   (/)c0 3620   ~Pcpw 3791   U.cuni 4007    X. cxp 4868   dom cdm 4870   ran crn 4871    o. ccom 4874   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   Basecbs 13461   +g cplusg 13521  TopSetcts 13527   distcds 13530   TopOpenctopn 13641   topGenctg 13657   inv gcminusg 14678   -gcsg 14680   * Metcxmt 16678   ballcbl 16680   MetOpencmopn 16683   toNrmGrp ctng 18618
This theorem is referenced by:  tngngp2  18685  tchtopn  19176
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-er 6897  df-map 7012  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-sup 7438  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-4 10052  df-5 10053  df-6 10054  df-7 10055  df-8 10056  df-9 10057  df-10 10058  df-n0 10214  df-z 10275  df-dec 10375  df-uz 10481  df-q 10567  df-rp 10605  df-xneg 10702  df-xadd 10703  df-xmul 10704  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-sets 13467  df-tset 13540  df-ds 13543  df-rest 13642  df-topn 13643  df-topgen 13659  df-sbg 14806  df-psmet 16686  df-xmet 16687  df-bl 16689  df-mopn 16690  df-top 16955  df-bases 16957  df-topon 16958  df-tng 18624
  Copyright terms: Public domain W3C validator