MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tngtopn Unicode version

Theorem tngtopn 18166
Description: The topology generated by a normed structure. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tngbas.t  |-  T  =  ( G toNrmGrp  N )
tngtset.2  |-  D  =  ( dist `  T
)
tngtset.3  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
Assertion
Ref Expression
tngtopn  |-  ( ( G  e.  V  /\  N  e.  W )  ->  J  =  ( TopOpen `  T ) )

Proof of Theorem tngtopn
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tngbas.t . . 3  |-  T  =  ( G toNrmGrp  N )
2 tngtset.2 . . 3  |-  D  =  ( dist `  T
)
3 tngtset.3 . . 3  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
41, 2, 3tngtset 18165 . 2  |-  ( ( G  e.  V  /\  N  e.  W )  ->  J  =  (TopSet `  T ) )
5 df-mopn 16376 . . . . . . . . 9  |-  MetOpen  =  ( x  e.  U. ran  * Met  |->  ( topGen `  ran  ( ball `  x )
) )
65dmmptss 5169 . . . . . . . 8  |-  dom  MetOpen  C_  U. ran  * Met
76sseli 3176 . . . . . . 7  |-  ( D  e.  dom  MetOpen  ->  D  e.  U. ran  * Met )
8 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( -g `  G )  =  (
-g `  G )
91, 8tngds 18164 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( N  e.  W  ->  ( N  o.  ( -g `  G ) )  =  ( dist `  T
) )
109, 2syl6eqr 2333 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( N  e.  W  ->  ( N  o.  ( -g `  G ) )  =  D )
1110adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( G  e.  V  /\  N  e.  W )  ->  ( N  o.  ( -g `  G ) )  =  D )
1211dmeqd 4881 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G  e.  V  /\  N  e.  W )  ->  dom  ( N  o.  ( -g `  G ) )  =  dom  D
)
13 dmcoss 4944 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  dom  ( N  o.  ( -g `  G ) )  C_  dom  ( -g `  G
)
14 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
15 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
16 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( inv g `  G )  =  ( inv g `  G )
1714, 15, 16, 8grpsubfval 14524 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( -g `  G )  =  ( x  e.  ( Base `  G ) ,  y  e.  ( Base `  G
)  |->  ( x ( +g  `  G ) ( ( inv g `  G ) `  y
) ) )
18 ovex 5883 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x ( +g  `  G
) ( ( inv g `  G ) `
 y ) )  e.  _V
1917, 18dmmpt2 6194 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  dom  ( -g `  G )  =  ( ( Base `  G
)  X.  ( Base `  G ) )
2013, 19sseqtri 3210 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  dom  ( N  o.  ( -g `  G ) )  C_  ( ( Base `  G
)  X.  ( Base `  G ) )
2120a1i 10 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G  e.  V  /\  N  e.  W )  ->  dom  ( N  o.  ( -g `  G ) )  C_  ( ( Base `  G )  X.  ( Base `  G
) ) )
2212, 21eqsstr3d 3213 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  V  /\  N  e.  W )  ->  dom  D  C_  (
( Base `  G )  X.  ( Base `  G
) ) )
2322adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G  e.  V  /\  N  e.  W
)  /\  D  e.  U.
ran  * Met )  ->  dom  D  C_  ( ( Base `  G )  X.  ( Base `  G
) ) )
24 dmss 4878 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( dom 
D  C_  ( ( Base `  G )  X.  ( Base `  G
) )  ->  dom  dom 
D  C_  dom  ( (
Base `  G )  X.  ( Base `  G
) ) )
2523, 24syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  V  /\  N  e.  W
)  /\  D  e.  U.
ran  * Met )  ->  dom  dom  D  C_  dom  ( ( Base `  G
)  X.  ( Base `  G ) ) )
26 dmxpid 4898 . . . . . . . . . . 11  |-  dom  (
( Base `  G )  X.  ( Base `  G
) )  =  (
Base `  G )
2725, 26syl6sseq 3224 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  V  /\  N  e.  W
)  /\  D  e.  U.
ran  * Met )  ->  dom  dom  D  C_  ( Base `  G ) )
28 simpr 447 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G  e.  V  /\  N  e.  W
)  /\  D  e.  U.
ran  * Met )  ->  D  e.  U. ran  * Met )
29 xmetunirn 17902 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( D  e.  U. ran  * Met 
<->  D  e.  ( * Met `  dom  dom  D ) )
3028, 29sylib 188 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  V  /\  N  e.  W
)  /\  D  e.  U.
ran  * Met )  ->  D  e.  ( * Met `  dom  dom  D
) )
31 eqid 2283 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( MetOpen `  D )  =  (
MetOpen `  D )
3231mopnuni 17987 . . . . . . . . . . 11  |-  ( D  e.  ( * Met ` 
dom  dom  D )  ->  dom  dom  D  =  U. ( MetOpen `  D )
)
3330, 32syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  V  /\  N  e.  W
)  /\  D  e.  U.
ran  * Met )  ->  dom  dom  D  =  U. ( MetOpen `  D )
)
341, 14tngbas 18157 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  W  ->  ( Base `  G )  =  ( Base `  T
) )
3534ad2antlr 707 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  V  /\  N  e.  W
)  /\  D  e.  U.
ran  * Met )  -> 
( Base `  G )  =  ( Base `  T
) )
3627, 33, 353sstr3d 3220 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  V  /\  N  e.  W
)  /\  D  e.  U.
ran  * Met )  ->  U. ( MetOpen `  D )  C_  ( Base `  T
) )
37 sspwuni 3987 . . . . . . . . 9  |-  ( (
MetOpen `  D )  C_  ~P ( Base `  T
)  <->  U. ( MetOpen `  D
)  C_  ( Base `  T ) )
3836, 37sylibr 203 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  V  /\  N  e.  W
)  /\  D  e.  U.
ran  * Met )  -> 
( MetOpen `  D )  C_ 
~P ( Base `  T
) )
3938ex 423 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  V  /\  N  e.  W )  ->  ( D  e.  U. ran  * Met  ->  ( MetOpen
`  D )  C_  ~P ( Base `  T
) ) )
407, 39syl5 28 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  V  /\  N  e.  W )  ->  ( D  e.  dom  MetOpen  ->  ( MetOpen `  D )  C_ 
~P ( Base `  T
) ) )
41 0ss 3483 . . . . . . 7  |-  (/)  C_  ~P ( Base `  T )
42 ndmfv 5552 . . . . . . . 8  |-  ( -.  D  e.  dom  MetOpen  ->  ( MetOpen
`  D )  =  (/) )
4342sseq1d 3205 . . . . . . 7  |-  ( -.  D  e.  dom  MetOpen  ->  (
( MetOpen `  D )  C_ 
~P ( Base `  T
)  <->  (/)  C_  ~P ( Base `  T ) ) )
4441, 43mpbiri 224 . . . . . 6  |-  ( -.  D  e.  dom  MetOpen  ->  ( MetOpen
`  D )  C_  ~P ( Base `  T
) )
4540, 44pm2.61d1 151 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  V  /\  N  e.  W )  ->  ( MetOpen `  D )  C_ 
~P ( Base `  T
) )
463, 45syl5eqss 3222 . . . 4  |-  ( ( G  e.  V  /\  N  e.  W )  ->  J  C_  ~P ( Base `  T ) )
474, 46eqsstr3d 3213 . . 3  |-  ( ( G  e.  V  /\  N  e.  W )  ->  (TopSet `  T )  C_ 
~P ( Base `  T
) )
48 eqid 2283 . . . 4  |-  ( Base `  T )  =  (
Base `  T )
49 eqid 2283 . . . 4  |-  (TopSet `  T )  =  (TopSet `  T )
5048, 49topnid 13340 . . 3  |-  ( (TopSet `  T )  C_  ~P ( Base `  T )  ->  (TopSet `  T )  =  ( TopOpen `  T
) )
5147, 50syl 15 . 2  |-  ( ( G  e.  V  /\  N  e.  W )  ->  (TopSet `  T )  =  ( TopOpen `  T
) )
524, 51eqtrd 2315 1  |-  ( ( G  e.  V  /\  N  e.  W )  ->  J  =  ( TopOpen `  T ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684    C_ wss 3152   (/)c0 3455   ~Pcpw 3625   U.cuni 3827    X. cxp 4687   dom cdm 4689   ran crn 4690    o. ccom 4693   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Basecbs 13148   +g cplusg 13208  TopSetcts 13214   distcds 13217   TopOpenctopn 13326   topGenctg 13342   inv gcminusg 14363   -gcsg 14365   * Metcxmt 16369   ballcbl 16371   MetOpencmopn 16372   toNrmGrp ctng 18101
This theorem is referenced by:  tngngp2  18168  tchtopn  18657
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-sup 7194  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-tset 13227  df-ds 13230  df-rest 13327  df-topn 13328  df-topgen 13344  df-sbg 14491  df-xmet 16373  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-tng 18107
  Copyright terms: Public domain W3C validator