MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tngtset Structured version   Unicode version

Theorem tngtset 18692
Description: The topology generated by a normed structure. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tngbas.t  |-  T  =  ( G toNrmGrp  N )
tngtset.2  |-  D  =  ( dist `  T
)
tngtset.3  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
Assertion
Ref Expression
tngtset  |-  ( ( G  e.  V  /\  N  e.  W )  ->  J  =  (TopSet `  T ) )

Proof of Theorem tngtset
StepHypRef Expression
1 ovex 6108 . . 3  |-  ( G sSet  <. ( dist `  ndx ) ,  ( N  o.  ( -g `  G
) ) >. )  e.  _V
2 fvex 5744 . . 3  |-  ( MetOpen `  ( N  o.  ( -g `  G ) ) )  e.  _V
3 tsetid 13617 . . . 4  |- TopSet  = Slot  (TopSet ` 
ndx )
43setsid 13510 . . 3  |-  ( ( ( G sSet  <. ( dist `  ndx ) ,  ( N  o.  ( -g `  G ) )
>. )  e.  _V  /\  ( MetOpen `  ( N  o.  ( -g `  G
) ) )  e. 
_V )  ->  ( MetOpen
`  ( N  o.  ( -g `  G ) ) )  =  (TopSet `  ( ( G sSet  <. (
dist `  ndx ) ,  ( N  o.  ( -g `  G ) )
>. ) sSet  <. (TopSet `  ndx ) ,  ( MetOpen `  ( N  o.  ( -g `  G ) ) ) >. ) ) )
51, 2, 4mp2an 655 . 2  |-  ( MetOpen `  ( N  o.  ( -g `  G ) ) )  =  (TopSet `  ( ( G sSet  <. (
dist `  ndx ) ,  ( N  o.  ( -g `  G ) )
>. ) sSet  <. (TopSet `  ndx ) ,  ( MetOpen `  ( N  o.  ( -g `  G ) ) ) >. ) )
6 tngtset.3 . . 3  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
7 tngbas.t . . . . . . 7  |-  T  =  ( G toNrmGrp  N )
8 eqid 2438 . . . . . . 7  |-  ( -g `  G )  =  (
-g `  G )
97, 8tngds 18691 . . . . . 6  |-  ( N  e.  W  ->  ( N  o.  ( -g `  G ) )  =  ( dist `  T
) )
10 tngtset.2 . . . . . 6  |-  D  =  ( dist `  T
)
119, 10syl6reqr 2489 . . . . 5  |-  ( N  e.  W  ->  D  =  ( N  o.  ( -g `  G ) ) )
1211adantl 454 . . . 4  |-  ( ( G  e.  V  /\  N  e.  W )  ->  D  =  ( N  o.  ( -g `  G
) ) )
1312fveq2d 5734 . . 3  |-  ( ( G  e.  V  /\  N  e.  W )  ->  ( MetOpen `  D )  =  ( MetOpen `  ( N  o.  ( -g `  G ) ) ) )
146, 13syl5eq 2482 . 2  |-  ( ( G  e.  V  /\  N  e.  W )  ->  J  =  ( MetOpen `  ( N  o.  ( -g `  G ) ) ) )
15 eqid 2438 . . . 4  |-  ( N  o.  ( -g `  G
) )  =  ( N  o.  ( -g `  G ) )
16 eqid 2438 . . . 4  |-  ( MetOpen `  ( N  o.  ( -g `  G ) ) )  =  ( MetOpen `  ( N  o.  ( -g `  G ) ) )
177, 8, 15, 16tngval 18682 . . 3  |-  ( ( G  e.  V  /\  N  e.  W )  ->  T  =  ( ( G sSet  <. ( dist `  ndx ) ,  ( N  o.  ( -g `  G
) ) >. ) sSet  <.
(TopSet `  ndx ) ,  ( MetOpen `  ( N  o.  ( -g `  G
) ) ) >.
) )
1817fveq2d 5734 . 2  |-  ( ( G  e.  V  /\  N  e.  W )  ->  (TopSet `  T )  =  (TopSet `  ( ( G sSet  <. ( dist `  ndx ) ,  ( N  o.  ( -g `  G
) ) >. ) sSet  <.
(TopSet `  ndx ) ,  ( MetOpen `  ( N  o.  ( -g `  G
) ) ) >.
) ) )
195, 14, 183eqtr4a 2496 1  |-  ( ( G  e.  V  /\  N  e.  W )  ->  J  =  (TopSet `  T ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   _Vcvv 2958   <.cop 3819    o. ccom 4884   ` cfv 5456  (class class class)co 6083   ndxcnx 13468   sSet csts 13469  TopSetcts 13537   distcds 13540   -gcsg 14690   MetOpencmopn 16693   toNrmGrp ctng 18628
This theorem is referenced by:  tngtopn  18693
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-er 6907  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-4 10062  df-5 10063  df-6 10064  df-7 10065  df-8 10066  df-9 10067  df-10 10068  df-n0 10224  df-z 10285  df-dec 10385  df-ndx 13474  df-slot 13475  df-sets 13477  df-tset 13550  df-ds 13553  df-tng 18634
  Copyright terms: Public domain W3C validator