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Theorem topbas 16726
Description: A topology is its own basis. (Contributed by NM, 17-Jul-2006.)
Assertion
Ref Expression
topbas  |-  ( J  e.  Top  ->  J  e. 
TopBases )

Proof of Theorem topbas
Dummy variables  x  y  z  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 inopn 16661 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Top  /\  x  e.  J  /\  y  e.  J )  ->  ( x  i^i  y
)  e.  J )
213expb 1152 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J
) )  ->  (
x  i^i  y )  e.  J )
32adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J
) )  /\  z  e.  ( x  i^i  y
) )  ->  (
x  i^i  y )  e.  J )
4 simpr 447 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J
) )  /\  z  e.  ( x  i^i  y
) )  ->  z  e.  ( x  i^i  y
) )
5 ssid 3210 . . . . . . 7  |-  ( x  i^i  y )  C_  ( x  i^i  y
)
64, 5jctir 524 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J
) )  /\  z  e.  ( x  i^i  y
) )  ->  (
z  e.  ( x  i^i  y )  /\  ( x  i^i  y
)  C_  ( x  i^i  y ) ) )
7 eleq2 2357 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  ( x  i^i  y )  ->  (
z  e.  w  <->  z  e.  ( x  i^i  y
) ) )
8 sseq1 3212 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  ( x  i^i  y )  ->  (
w  C_  ( x  i^i  y )  <->  ( x  i^i  y )  C_  (
x  i^i  y )
) )
97, 8anbi12d 691 . . . . . . 7  |-  ( w  =  ( x  i^i  y )  ->  (
( z  e.  w  /\  w  C_  ( x  i^i  y ) )  <-> 
( z  e.  ( x  i^i  y )  /\  ( x  i^i  y )  C_  (
x  i^i  y )
) ) )
109rspcev 2897 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  i^i  y
)  e.  J  /\  ( z  e.  ( x  i^i  y )  /\  ( x  i^i  y )  C_  (
x  i^i  y )
) )  ->  E. w  e.  J  ( z  e.  w  /\  w  C_  ( x  i^i  y
) ) )
113, 6, 10syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J
) )  /\  z  e.  ( x  i^i  y
) )  ->  E. w  e.  J  ( z  e.  w  /\  w  C_  ( x  i^i  y
) ) )
1211exp31 587 . . . 4  |-  ( J  e.  Top  ->  (
( x  e.  J  /\  y  e.  J
)  ->  ( z  e.  ( x  i^i  y
)  ->  E. w  e.  J  ( z  e.  w  /\  w  C_  ( x  i^i  y
) ) ) ) )
1312ralrimdv 2645 . . 3  |-  ( J  e.  Top  ->  (
( x  e.  J  /\  y  e.  J
)  ->  A. z  e.  ( x  i^i  y
) E. w  e.  J  ( z  e.  w  /\  w  C_  ( x  i^i  y
) ) ) )
1413ralrimivv 2647 . 2  |-  ( J  e.  Top  ->  A. x  e.  J  A. y  e.  J  A. z  e.  ( x  i^i  y
) E. w  e.  J  ( z  e.  w  /\  w  C_  ( x  i^i  y
) ) )
15 isbasis2g 16702 . 2  |-  ( J  e.  Top  ->  ( J  e.  TopBases  <->  A. x  e.  J  A. y  e.  J  A. z  e.  (
x  i^i  y ) E. w  e.  J  ( z  e.  w  /\  w  C_  ( x  i^i  y ) ) ) )
1614, 15mpbird 223 1  |-  ( J  e.  Top  ->  J  e. 
TopBases )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   E.wrex 2557    i^i cin 3164    C_ wss 3165   Topctop 16647   TopBasesctb 16651
This theorem is referenced by:  resttop  16907  dis1stc  17241  txtop  17280  onpsstopbas  24941
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ral 2561  df-rex 2562  df-v 2803  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3640  df-uni 3844  df-top 16652  df-bases 16654
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