Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Hankins < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  topfne Structured version   Unicode version

Theorem topfne 26361
Description: Fineness for covers corresponds precisely with fineness for topologies. (Contributed by Jeff Hankins, 29-Sep-2009.)
Hypotheses
Ref Expression
topfne.1  |-  X  = 
U. J
topfne.2  |-  Y  = 
U. K
Assertion
Ref Expression
topfne  |-  ( ( K  e.  Top  /\  X  =  Y )  ->  ( J  C_  K  <->  J Fne K ) )

Proof of Theorem topfne
StepHypRef Expression
1 tgtop 17030 . . . 4  |-  ( K  e.  Top  ->  ( topGen `
 K )  =  K )
21sseq2d 3368 . . 3  |-  ( K  e.  Top  ->  ( J  C_  ( topGen `  K
)  <->  J  C_  K ) )
32bicomd 193 . 2  |-  ( K  e.  Top  ->  ( J  C_  K  <->  J  C_  ( topGen `
 K ) ) )
4 topfne.1 . . . 4  |-  X  = 
U. J
5 topfne.2 . . . 4  |-  Y  = 
U. K
64, 5isfne4 26340 . . 3  |-  ( J Fne K  <->  ( X  =  Y  /\  J  C_  ( topGen `  K )
) )
76baibr 873 . 2  |-  ( X  =  Y  ->  ( J  C_  ( topGen `  K
)  <->  J Fne K ) )
83, 7sylan9bb 681 1  |-  ( ( K  e.  Top  /\  X  =  Y )  ->  ( J  C_  K  <->  J Fne K ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    C_ wss 3312   U.cuni 4007   class class class wbr 4204   ` cfv 5446   topGenctg 13657   Topctop 16950   Fnecfne 26330
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fv 5454  df-topgen 13659  df-top 16955  df-fne 26334
  Copyright terms: Public domain W3C validator