Mathbox for Jeff Hankins < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  topfneec Structured version   Unicode version

Theorem topfneec 26352
 Description: A cover is equivalent to a topology iff it is a base for that topology. (Contributed by Jeff Hankins, 8-Oct-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 11-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
topfneec.1
Assertion
Ref Expression
topfneec

Proof of Theorem topfneec
StepHypRef Expression
1 topfneec.1 . . . . 5
21fneer 26349 . . . 4
3 errel 6906 . . . 4
42, 3ax-mp 8 . . 3
5 relelec 6937 . . 3
64, 5ax-mp 8 . 2
74brrelex2i 4911 . . . 4
87a1i 11 . . 3
9 eleq1 2495 . . . . . . 7
109biimparc 474 . . . . . 6
11 tgclb 17027 . . . . . 6
1210, 11sylibr 204 . . . . 5
13 elex 2956 . . . . 5
1412, 13syl 16 . . . 4
1514ex 424 . . 3
161fneval 26348 . . . . 5
17 tgtop 17030 . . . . . . . 8
1817eqeq1d 2443 . . . . . . 7
19 eqcom 2437 . . . . . . 7
2018, 19syl6bb 253 . . . . . 6
2120adantr 452 . . . . 5
2216, 21bitrd 245 . . . 4
2322ex 424 . . 3
248, 15, 23pm5.21ndd 344 . 2
256, 24syl5bb 249 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   wceq 1652   wcel 1725  cvv 2948   cin 3311   class class class wbr 4204  ccnv 4869   wrel 4875  cfv 5446   wer 6894  cec 6895  ctg 13657  ctop 16950  ctb 16954  cfne 26320 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fv 5454  df-er 6897  df-ec 6899  df-topgen 13659  df-top 16955  df-bases 16957  df-fne 26324
 Copyright terms: Public domain W3C validator