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Theorem toplat 25290
Description: A topology when ordered by the inclusion is a lattice. This fact leads to the idea of pointless topology, that is a lattice looked at with the eyes of a topologist. (Contributed by FL, 6-Sep-2009.)
Hypothesis
Ref Expression
toplat.1  |-  C  =  { <. u ,  v
>.  |  u  C_  v }
Assertion
Ref Expression
toplat  |-  ( J  e.  Top  ->  ( C  i^i  ( J  X.  J ) )  e. 
LatRel )
Distinct variable groups:    u, C, v    u, J, v

Proof of Theorem toplat
Dummy variables  a  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 toplat.1 . . 3  |-  C  =  { <. u ,  v
>.  |  u  C_  v }
21inposet 25278 . 2  |-  ( J  e.  Top  ->  ( C  i^i  ( J  X.  J ) )  e.  PosetRel )
32adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J
) )  ->  ( C  i^i  ( J  X.  J ) )  e.  PosetRel )
4 simprl 732 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J
) )  ->  x  e.  J )
5 vex 2791 . . . . . . . . 9  |-  x  e. 
_V
6 vex 2791 . . . . . . . . 9  |-  y  e. 
_V
75, 6prss 3769 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  J  /\  y  e.  J )  <->  { x ,  y } 
C_  J )
8 uniopn 16643 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Top  /\  { x ,  y } 
C_  J )  ->  U. { x ,  y }  e.  J )
97, 8sylan2b 461 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J
) )  ->  U. {
x ,  y }  e.  J )
10 ssid 3197 . . . . . . . 8  |-  x  C_  x
115prid1 3734 . . . . . . . . 9  |-  x  e. 
{ x ,  y }
1211a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J
) )  ->  x  e.  { x ,  y } )
13 ssuni 3849 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  C_  x  /\  x  e.  { x ,  y } )  ->  x  C_  U. {
x ,  y } )
1410, 12, 13sylancr 644 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J
) )  ->  x  C_ 
U. { x ,  y } )
15 zfpair2 4215 . . . . . . . . 9  |-  { x ,  y }  e.  _V
1615uniex 4516 . . . . . . . 8  |-  U. {
x ,  y }  e.  _V
175, 16, 1definc 25279 . . . . . . 7  |-  ( x ( C  i^i  ( J  X.  J ) ) U. { x ,  y }  <->  ( x  e.  J  /\  U. {
x ,  y }  e.  J  /\  x  C_ 
U. { x ,  y } ) )
184, 9, 14, 17syl3anbrc 1136 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J
) )  ->  x
( C  i^i  ( J  X.  J ) ) U. { x ,  y } )
19 simprr 733 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J
) )  ->  y  e.  J )
20 ssid 3197 . . . . . . . 8  |-  y  C_  y
216prid2 3735 . . . . . . . . 9  |-  y  e. 
{ x ,  y }
2221a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J
) )  ->  y  e.  { x ,  y } )
23 ssuni 3849 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  C_  y  /\  y  e.  { x ,  y } )  ->  y  C_  U. {
x ,  y } )
2420, 22, 23sylancr 644 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J
) )  ->  y  C_ 
U. { x ,  y } )
256, 16, 1definc 25279 . . . . . . 7  |-  ( y ( C  i^i  ( J  X.  J ) ) U. { x ,  y }  <->  ( y  e.  J  /\  U. {
x ,  y }  e.  J  /\  y  C_ 
U. { x ,  y } ) )
2619, 9, 24, 25syl3anbrc 1136 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J
) )  ->  y
( C  i^i  ( J  X.  J ) ) U. { x ,  y } )
27 vex 2791 . . . . . . . . . . 11  |-  a  e. 
_V
285, 27, 1definc 25279 . . . . . . . . . 10  |-  ( x ( C  i^i  ( J  X.  J ) ) a  <->  ( x  e.  J  /\  a  e.  J  /\  x  C_  a ) )
296, 27, 1definc 25279 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y ( C  i^i  ( J  X.  J ) ) a  <->  ( y  e.  J  /\  a  e.  J  /\  y  C_  a ) )
30 unss 3349 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  C_  a  /\  y  C_  a )  <->  ( x  u.  y )  C_  a
)
319ad2antrl 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( x  u.  y
)  C_  a  /\  ( ( J  e. 
Top  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J ) )  /\  a  e.  J )
)  ->  U. { x ,  y }  e.  J )
32 simprr 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( x  u.  y
)  C_  a  /\  ( ( J  e. 
Top  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J ) )  /\  a  e.  J )
)  ->  a  e.  J )
335, 6unipr 3841 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  U. {
x ,  y }  =  ( x  u.  y )
3433eqcomi 2287 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  u.  y )  = 
U. { x ,  y }
3534sseq1i 3202 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  u.  y ) 
C_  a  <->  U. { x ,  y }  C_  a )
3635biimpi 186 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  u.  y ) 
C_  a  ->  U. {
x ,  y } 
C_  a )
3736adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( x  u.  y
)  C_  a  /\  ( ( J  e. 
Top  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J ) )  /\  a  e.  J )
)  ->  U. { x ,  y }  C_  a )
3816, 27, 1definc 25279 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( U. { x ,  y }  ( C  i^i  ( J  X.  J
) ) a  <->  ( U. { x ,  y }  e.  J  /\  a  e.  J  /\  U. { x ,  y }  C_  a )
)
3931, 32, 37, 38syl3anbrc 1136 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( x  u.  y
)  C_  a  /\  ( ( J  e. 
Top  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J ) )  /\  a  e.  J )
)  ->  U. { x ,  y }  ( C  i^i  ( J  X.  J ) ) a )
4039ex 423 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  u.  y ) 
C_  a  ->  (
( ( J  e. 
Top  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J ) )  /\  a  e.  J )  ->  U. { x ,  y }  ( C  i^i  ( J  X.  J ) ) a ) )
4130, 40sylbi 187 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  C_  a  /\  y  C_  a )  -> 
( ( ( J  e.  Top  /\  (
x  e.  J  /\  y  e.  J )
)  /\  a  e.  J )  ->  U. {
x ,  y }  ( C  i^i  ( J  X.  J ) ) a ) )
4241expcom 424 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y 
C_  a  ->  (
x  C_  a  ->  ( ( ( J  e. 
Top  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J ) )  /\  a  e.  J )  ->  U. { x ,  y }  ( C  i^i  ( J  X.  J ) ) a ) ) )
43423ad2ant3 978 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  J  /\  a  e.  J  /\  y  C_  a )  -> 
( x  C_  a  ->  ( ( ( J  e.  Top  /\  (
x  e.  J  /\  y  e.  J )
)  /\  a  e.  J )  ->  U. {
x ,  y }  ( C  i^i  ( J  X.  J ) ) a ) ) )
4429, 43sylbi 187 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y ( C  i^i  ( J  X.  J ) ) a  ->  ( x  C_  a  ->  ( (
( J  e.  Top  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J
) )  /\  a  e.  J )  ->  U. {
x ,  y }  ( C  i^i  ( J  X.  J ) ) a ) ) )
4544com12 27 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x 
C_  a  ->  (
y ( C  i^i  ( J  X.  J
) ) a  -> 
( ( ( J  e.  Top  /\  (
x  e.  J  /\  y  e.  J )
)  /\  a  e.  J )  ->  U. {
x ,  y }  ( C  i^i  ( J  X.  J ) ) a ) ) )
46453ad2ant3 978 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  J  /\  a  e.  J  /\  x  C_  a )  -> 
( y ( C  i^i  ( J  X.  J ) ) a  ->  ( ( ( J  e.  Top  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J
) )  /\  a  e.  J )  ->  U. {
x ,  y }  ( C  i^i  ( J  X.  J ) ) a ) ) )
4728, 46sylbi 187 . . . . . . . . 9  |-  ( x ( C  i^i  ( J  X.  J ) ) a  ->  ( y
( C  i^i  ( J  X.  J ) ) a  ->  ( (
( J  e.  Top  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J
) )  /\  a  e.  J )  ->  U. {
x ,  y }  ( C  i^i  ( J  X.  J ) ) a ) ) )
4847imp 418 . . . . . . . 8  |-  ( ( x ( C  i^i  ( J  X.  J
) ) a  /\  y ( C  i^i  ( J  X.  J
) ) a )  ->  ( ( ( J  e.  Top  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J
) )  /\  a  e.  J )  ->  U. {
x ,  y }  ( C  i^i  ( J  X.  J ) ) a ) )
4948com12 27 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J
) )  /\  a  e.  J )  ->  (
( x ( C  i^i  ( J  X.  J ) ) a  /\  y ( C  i^i  ( J  X.  J ) ) a )  ->  U. { x ,  y }  ( C  i^i  ( J  X.  J ) ) a ) )
5049ralrimiva 2626 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J
) )  ->  A. a  e.  J  ( (
x ( C  i^i  ( J  X.  J
) ) a  /\  y ( C  i^i  ( J  X.  J
) ) a )  ->  U. { x ,  y }  ( C  i^i  ( J  X.  J ) ) a ) )
511domncnt 25282 . . . . . . . 8  |-  dom  ( C  i^i  ( J  X.  J ) )  =  J
5251eqcomi 2287 . . . . . . 7  |-  J  =  dom  ( C  i^i  ( J  X.  J
) )
5352spwpr4 14340 . . . . . 6  |-  ( ( ( C  i^i  ( J  X.  J ) )  e.  PosetRel  /\  ( x
( C  i^i  ( J  X.  J ) ) U. { x ,  y }  /\  y
( C  i^i  ( J  X.  J ) ) U. { x ,  y } )  /\  A. a  e.  J  ( ( x ( C  i^i  ( J  X.  J ) ) a  /\  y ( C  i^i  ( J  X.  J ) ) a )  ->  U. { x ,  y }  ( C  i^i  ( J  X.  J ) ) a ) )  ->  (
( C  i^i  ( J  X.  J ) )  sup w  { x ,  y } )  =  U. { x ,  y } )
543, 18, 26, 50, 53syl121anc 1187 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J
) )  ->  (
( C  i^i  ( J  X.  J ) )  sup w  { x ,  y } )  =  U. { x ,  y } )
5554, 9eqeltrd 2357 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J
) )  ->  (
( C  i^i  ( J  X.  J ) )  sup w  { x ,  y } )  e.  J )
56 nfwval 25245 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C  i^i  ( J  X.  J ) )  e.  PosetRel  /\  { x ,  y }  e.  _V )  ->  ( ( C  i^i  ( J  X.  J ) )  inf w  { x ,  y } )  =  ( `' ( C  i^i  ( J  X.  J ) )  sup w  { x ,  y } ) )
573, 15, 56sylancl 643 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J
) )  ->  (
( C  i^i  ( J  X.  J ) )  inf w  { x ,  y } )  =  ( `' ( C  i^i  ( J  X.  J ) )  sup w  { x ,  y } ) )
58 cnvps 14321 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  i^i  ( J  X.  J ) )  e.  PosetRel  ->  `' ( C  i^i  ( J  X.  J ) )  e.  PosetRel )
592, 58syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( J  e.  Top  ->  `' ( C  i^i  ( J  X.  J ) )  e.  PosetRel )
6059adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J
) )  ->  `' ( C  i^i  ( J  X.  J ) )  e.  PosetRel )
61 simpr 447 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J
) )  ->  (
x  e.  J  /\  y  e.  J )
)
625, 6intpr 3895 . . . . . . . . 9  |-  |^| { x ,  y }  =  ( x  i^i  y
)
63 inopn 16645 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J  e.  Top  /\  x  e.  J  /\  y  e.  J )  ->  ( x  i^i  y
)  e.  J )
64633expb 1152 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J
) )  ->  (
x  i^i  y )  e.  J )
6562, 64syl5eqel 2367 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J
) )  ->  |^| { x ,  y }  e.  J )
6662eleq1i 2346 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( |^| { x ,  y }  e.  J  <->  ( x  i^i  y )  e.  J
)
6766biimpi 186 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( |^| { x ,  y }  e.  J  ->  (
x  i^i  y )  e.  J )
6867adantl 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  J  /\  |^|
{ x ,  y }  e.  J )  ->  ( x  i^i  y )  e.  J
)
69 simpl 443 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  J  /\  |^|
{ x ,  y }  e.  J )  ->  x  e.  J
)
70 inss1 3389 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  i^i  y )  C_  x
7170a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  J  /\  |^|
{ x ,  y }  e.  J )  ->  ( x  i^i  y )  C_  x
)
725inex1 4155 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  i^i  y )  e. 
_V
7372, 5, 1definc 25279 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  i^i  y ) ( C  i^i  ( J  X.  J ) ) x  <->  ( ( x  i^i  y )  e.  J  /\  x  e.  J  /\  ( x  i^i  y )  C_  x ) )
7468, 69, 71, 73syl3anbrc 1136 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  J  /\  |^|
{ x ,  y }  e.  J )  ->  ( x  i^i  y ) ( C  i^i  ( J  X.  J ) ) x )
7562, 74syl5eqbr 4056 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  J  /\  |^|
{ x ,  y }  e.  J )  ->  |^| { x ,  y }  ( C  i^i  ( J  X.  J ) ) x )
76 brcnvg 4862 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  J  /\  |^|
{ x ,  y }  e.  J )  ->  ( x `' ( C  i^i  ( J  X.  J ) )
|^| { x ,  y }  <->  |^| { x ,  y }  ( C  i^i  ( J  X.  J ) ) x ) )
7775, 76mpbird 223 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  J  /\  |^|
{ x ,  y }  e.  J )  ->  x `' ( C  i^i  ( J  X.  J ) )
|^| { x ,  y } )
7877adantlr 695 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  J
)  /\  |^| { x ,  y }  e.  J )  ->  x `' ( C  i^i  ( J  X.  J
) ) |^| { x ,  y } )
79 simpr 447 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  J  /\  |^|
{ x ,  y }  e.  J )  ->  |^| { x ,  y }  e.  J
)
80 simpl 443 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  J  /\  |^|
{ x ,  y }  e.  J )  ->  y  e.  J
)
81 inss2 3390 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  i^i  y )  C_  y
8262, 81eqsstri 3208 . . . . . . . . . . . . 13  |-  |^| { x ,  y }  C_  y
8382a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  J  /\  |^|
{ x ,  y }  e.  J )  ->  |^| { x ,  y }  C_  y
)
845prnz 3745 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  { x ,  y }  =/=  (/)
85 intex 4167 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( { x ,  y }  =/=  (/)  <->  |^| { x ,  y }  e.  _V )
8684, 85mpbi 199 . . . . . . . . . . . . 13  |-  |^| { x ,  y }  e.  _V
8786, 6, 1definc 25279 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( |^| { x ,  y }  ( C  i^i  ( J  X.  J ) ) y  <->  ( |^| { x ,  y }  e.  J  /\  y  e.  J  /\  |^| { x ,  y }  C_  y
) )
8879, 80, 83, 87syl3anbrc 1136 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  J  /\  |^|
{ x ,  y }  e.  J )  ->  |^| { x ,  y }  ( C  i^i  ( J  X.  J ) ) y )
89 brcnvg 4862 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  J  /\  |^|
{ x ,  y }  e.  J )  ->  ( y `' ( C  i^i  ( J  X.  J ) )
|^| { x ,  y }  <->  |^| { x ,  y }  ( C  i^i  ( J  X.  J ) ) y ) )
9088, 89mpbird 223 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  J  /\  |^|
{ x ,  y }  e.  J )  ->  y `' ( C  i^i  ( J  X.  J ) )
|^| { x ,  y } )
9190adantll 694 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  J
)  /\  |^| { x ,  y }  e.  J )  ->  y `' ( C  i^i  ( J  X.  J
) ) |^| { x ,  y } )
9278, 91jca 518 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  J
)  /\  |^| { x ,  y }  e.  J )  ->  (
x `' ( C  i^i  ( J  X.  J ) ) |^| { x ,  y }  /\  y `' ( C  i^i  ( J  X.  J ) )
|^| { x ,  y } ) )
9361, 65, 92syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J
) )  ->  (
x `' ( C  i^i  ( J  X.  J ) ) |^| { x ,  y }  /\  y `' ( C  i^i  ( J  X.  J ) )
|^| { x ,  y } ) )
94 brcnvg 4862 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  J  /\  a  e.  J )  ->  ( x `' ( C  i^i  ( J  X.  J ) ) a  <->  a ( C  i^i  ( J  X.  J ) ) x ) )
954, 94sylan 457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J
) )  /\  a  e.  J )  ->  (
x `' ( C  i^i  ( J  X.  J ) ) a  <-> 
a ( C  i^i  ( J  X.  J
) ) x ) )
9695biimpd 198 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J
) )  /\  a  e.  J )  ->  (
x `' ( C  i^i  ( J  X.  J ) ) a  ->  a ( C  i^i  ( J  X.  J ) ) x ) )
97 brcnvg 4862 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  J  /\  a  e.  J )  ->  ( y `' ( C  i^i  ( J  X.  J ) ) a  <->  a ( C  i^i  ( J  X.  J ) ) y ) )
9819, 97sylan 457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J
) )  /\  a  e.  J )  ->  (
y `' ( C  i^i  ( J  X.  J ) ) a  <-> 
a ( C  i^i  ( J  X.  J
) ) y ) )
9998biimpd 198 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J
) )  /\  a  e.  J )  ->  (
y `' ( C  i^i  ( J  X.  J ) ) a  ->  a ( C  i^i  ( J  X.  J ) ) y ) )
10027, 5, 1definc 25279 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a ( C  i^i  ( J  X.  J ) ) x  <->  ( a  e.  J  /\  x  e.  J  /\  a  C_  x ) )
101100biimpi 186 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a ( C  i^i  ( J  X.  J ) ) x  ->  ( a  e.  J  /\  x  e.  J  /\  a  C_  x ) )
10227, 6, 1definc 25279 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a ( C  i^i  ( J  X.  J ) ) y  <->  ( a  e.  J  /\  y  e.  J  /\  a  C_  y ) )
103102biimpi 186 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a ( C  i^i  ( J  X.  J ) ) y  ->  ( a  e.  J  /\  y  e.  J  /\  a  C_  y ) )
104 simprr1 1003 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J ) )  /\  a  e.  J )  /\  ( ( a  e.  J  /\  x  e.  J  /\  a  C_  x )  /\  (
a  e.  J  /\  y  e.  J  /\  a  C_  y ) ) )  ->  a  e.  J )
10565ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J ) )  /\  a  e.  J )  /\  ( ( a  e.  J  /\  x  e.  J  /\  a  C_  x )  /\  (
a  e.  J  /\  y  e.  J  /\  a  C_  y ) ) )  ->  |^| { x ,  y }  e.  J )
106 ssin 3391 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( a  C_  x  /\  a  C_  y )  <->  a  C_  ( x  i^i  y
) )
107106biimpi 186 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( a  C_  x  /\  a  C_  y )  -> 
a  C_  ( x  i^i  y ) )
108107, 62syl6sseqr 3225 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( a  C_  x  /\  a  C_  y )  -> 
a  C_  |^| { x ,  y } )
109108expcom 424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( a 
C_  y  ->  (
a  C_  x  ->  a 
C_  |^| { x ,  y } ) )
1101093ad2ant3 978 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( a  e.  J  /\  y  e.  J  /\  a  C_  y )  -> 
( a  C_  x  ->  a  C_  |^| { x ,  y } ) )
111110com12 27 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( a 
C_  x  ->  (
( a  e.  J  /\  y  e.  J  /\  a  C_  y )  ->  a  C_  |^| { x ,  y } ) )
1121113ad2ant3 978 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( a  e.  J  /\  x  e.  J  /\  a  C_  x )  -> 
( ( a  e.  J  /\  y  e.  J  /\  a  C_  y )  ->  a  C_ 
|^| { x ,  y } ) )
113112imp 418 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( a  e.  J  /\  x  e.  J  /\  a  C_  x )  /\  ( a  e.  J  /\  y  e.  J  /\  a  C_  y ) )  -> 
a  C_  |^| { x ,  y } )
114113adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J ) )  /\  a  e.  J )  /\  ( ( a  e.  J  /\  x  e.  J  /\  a  C_  x )  /\  (
a  e.  J  /\  y  e.  J  /\  a  C_  y ) ) )  ->  a  C_  |^|
{ x ,  y } )
11527, 86, 1definc 25279 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( a ( C  i^i  ( J  X.  J ) )
|^| { x ,  y }  <->  ( a  e.  J  /\  |^| { x ,  y }  e.  J  /\  a  C_  |^| { x ,  y } ) )
116104, 105, 114, 115syl3anbrc 1136 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J ) )  /\  a  e.  J )  /\  ( ( a  e.  J  /\  x  e.  J  /\  a  C_  x )  /\  (
a  e.  J  /\  y  e.  J  /\  a  C_  y ) ) )  ->  a ( C  i^i  ( J  X.  J ) ) |^| { x ,  y } )
117116ex 423 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J
) )  /\  a  e.  J )  ->  (
( ( a  e.  J  /\  x  e.  J  /\  a  C_  x )  /\  (
a  e.  J  /\  y  e.  J  /\  a  C_  y ) )  ->  a ( C  i^i  ( J  X.  J ) ) |^| { x ,  y } ) )
118101, 103, 117syl2ani 637 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J
) )  /\  a  e.  J )  ->  (
( a ( C  i^i  ( J  X.  J ) ) x  /\  a ( C  i^i  ( J  X.  J ) ) y )  ->  a ( C  i^i  ( J  X.  J ) ) |^| { x ,  y } ) )
11996, 99, 118syl2and 469 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J
) )  /\  a  e.  J )  ->  (
( x `' ( C  i^i  ( J  X.  J ) ) a  /\  y `' ( C  i^i  ( J  X.  J ) ) a )  ->  a
( C  i^i  ( J  X.  J ) )
|^| { x ,  y } ) )
120119imp 418 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J ) )  /\  a  e.  J )  /\  ( x `' ( C  i^i  ( J  X.  J ) ) a  /\  y `' ( C  i^i  ( J  X.  J ) ) a ) )  -> 
a ( C  i^i  ( J  X.  J
) ) |^| { x ,  y } )
12186, 27pm3.2i 441 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( |^| { x ,  y }  e.  _V  /\  a  e.  _V )
122121a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J ) )  /\  a  e.  J )  /\  ( x `' ( C  i^i  ( J  X.  J ) ) a  /\  y `' ( C  i^i  ( J  X.  J ) ) a ) )  -> 
( |^| { x ,  y }  e.  _V  /\  a  e.  _V )
)
123 brcnvg 4862 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
|^| { x ,  y }  e.  _V  /\  a  e.  _V )  ->  ( |^| { x ,  y } `' ( C  i^i  ( J  X.  J ) ) a  <->  a ( C  i^i  ( J  X.  J ) ) |^| { x ,  y } ) )
124122, 123syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J ) )  /\  a  e.  J )  /\  ( x `' ( C  i^i  ( J  X.  J ) ) a  /\  y `' ( C  i^i  ( J  X.  J ) ) a ) )  -> 
( |^| { x ,  y } `' ( C  i^i  ( J  X.  J ) ) a  <->  a ( C  i^i  ( J  X.  J ) ) |^| { x ,  y } ) )
125120, 124mpbird 223 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J ) )  /\  a  e.  J )  /\  ( x `' ( C  i^i  ( J  X.  J ) ) a  /\  y `' ( C  i^i  ( J  X.  J ) ) a ) )  ->  |^| { x ,  y } `' ( C  i^i  ( J  X.  J ) ) a )
126125exp31 587 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J
) )  ->  (
a  e.  J  -> 
( ( x `' ( C  i^i  ( J  X.  J ) ) a  /\  y `' ( C  i^i  ( J  X.  J ) ) a )  ->  |^| { x ,  y } `' ( C  i^i  ( J  X.  J ) ) a ) ) )
127126ralrimiv 2625 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J
) )  ->  A. a  e.  J  ( (
x `' ( C  i^i  ( J  X.  J ) ) a  /\  y `' ( C  i^i  ( J  X.  J ) ) a )  ->  |^| { x ,  y } `' ( C  i^i  ( J  X.  J ) ) a ) )
1281ranncnt 25283 . . . . . . . . 9  |-  ran  ( C  i^i  ( J  X.  J ) )  =  J
129 df-rn 4700 . . . . . . . . 9  |-  ran  ( C  i^i  ( J  X.  J ) )  =  dom  `' ( C  i^i  ( J  X.  J ) )
130128, 129eqtr3i 2305 . . . . . . . 8  |-  J  =  dom  `' ( C  i^i  ( J  X.  J ) )
131130spwpr4 14340 . . . . . . 7  |-  ( ( `' ( C  i^i  ( J  X.  J
) )  e.  PosetRel  /\  ( x `' ( C  i^i  ( J  X.  J ) )
|^| { x ,  y }  /\  y `' ( C  i^i  ( J  X.  J ) )
|^| { x ,  y } )  /\  A. a  e.  J  (
( x `' ( C  i^i  ( J  X.  J ) ) a  /\  y `' ( C  i^i  ( J  X.  J ) ) a )  ->  |^| { x ,  y } `' ( C  i^i  ( J  X.  J ) ) a ) )  -> 
( `' ( C  i^i  ( J  X.  J ) )  sup
w  { x ,  y } )  = 
|^| { x ,  y } )
13260, 93, 127, 131syl3anc 1182 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J
) )  ->  ( `' ( C  i^i  ( J  X.  J
) )  sup w  { x ,  y } )  =  |^| { x ,  y } )
13362a1i 10 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J
) )  ->  |^| { x ,  y }  =  ( x  i^i  y
) )
13457, 132, 1333eqtrd 2319 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J
) )  ->  (
( C  i^i  ( J  X.  J ) )  inf w  { x ,  y } )  =  ( x  i^i  y ) )
135134, 64eqeltrd 2357 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J
) )  ->  (
( C  i^i  ( J  X.  J ) )  inf w  { x ,  y } )  e.  J )
13655, 135jca 518 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J
) )  ->  (
( ( C  i^i  ( J  X.  J
) )  sup w  { x ,  y } )  e.  J  /\  ( ( C  i^i  ( J  X.  J
) )  inf w  { x ,  y } )  e.  J
) )
137136ralrimivva 2635 . 2  |-  ( J  e.  Top  ->  A. x  e.  J  A. y  e.  J  ( (
( C  i^i  ( J  X.  J ) )  sup w  { x ,  y } )  e.  J  /\  (
( C  i^i  ( J  X.  J ) )  inf w  { x ,  y } )  e.  J ) )
13852isla 14342 . 2  |-  ( ( C  i^i  ( J  X.  J ) )  e.  LatRel 
<->  ( ( C  i^i  ( J  X.  J
) )  e.  PosetRel  /\  A. x  e.  J  A. y  e.  J  (
( ( C  i^i  ( J  X.  J
) )  sup w  { x ,  y } )  e.  J  /\  ( ( C  i^i  ( J  X.  J
) )  inf w  { x ,  y } )  e.  J
) ) )
1392, 137, 138sylanbrc 645 1  |-  ( J  e.  Top  ->  ( C  i^i  ( J  X.  J ) )  e. 
LatRel )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543   _Vcvv 2788    u. cun 3150    i^i cin 3151    C_ wss 3152   (/)c0 3455   {cpr 3641   U.cuni 3827   |^|cint 3862   class class class wbr 4023   {copab 4076    X. cxp 4687   `'ccnv 4688   dom cdm 4689   ran crn 4690  (class class class)co 5858   PosetRelcps 14301    sup
w cspw 14303    inf
w cinf 14304   LatRelcla 14305   Topctop 16631
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-br 4024  df-opab 4078  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-riota 6304  df-ps 14306  df-spw 14308  df-nfw 14309  df-lar 14310  df-top 16636
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