MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  topnid Structured version   Unicode version

Theorem topnid 13664
Description: Value of the topology extractor function when the topology is defined over the same set as the base. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
topnval.1  |-  B  =  ( Base `  W
)
topnval.2  |-  J  =  (TopSet `  W )
Assertion
Ref Expression
topnid  |-  ( J 
C_  ~P B  ->  J  =  ( TopOpen `  W
) )

Proof of Theorem topnid
StepHypRef Expression
1 topnval.1 . . 3  |-  B  =  ( Base `  W
)
2 topnval.2 . . 3  |-  J  =  (TopSet `  W )
31, 2topnval 13663 . 2  |-  ( Jt  B )  =  ( TopOpen `  W )
4 fvex 5743 . . . 4  |-  ( Base `  W )  e.  _V
51, 4eqeltri 2507 . . 3  |-  B  e. 
_V
6 restid2 13659 . . 3  |-  ( ( B  e.  _V  /\  J  C_  ~P B )  ->  ( Jt  B )  =  J )
75, 6mpan 653 . 2  |-  ( J 
C_  ~P B  ->  ( Jt  B )  =  J )
83, 7syl5reqr 2484 1  |-  ( J 
C_  ~P B  ->  J  =  ( TopOpen `  W
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1653    e. wcel 1726   _Vcvv 2957    C_ wss 3321   ~Pcpw 3800   ` cfv 5455  (class class class)co 6082   Basecbs 13470  TopSetcts 13536   ↾t crest 13649   TopOpenctopn 13650
This theorem is referenced by:  topontopn  17008  prdstopn  17661  imastopn  17753  setsmstopn  18509  tngtopn  18692
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2418  ax-rep 4321  ax-sep 4331  ax-nul 4339  ax-pow 4378  ax-pr 4404  ax-un 4702
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-ral 2711  df-rex 2712  df-reu 2713  df-rab 2715  df-v 2959  df-sbc 3163  df-csb 3253  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-nul 3630  df-if 3741  df-pw 3802  df-sn 3821  df-pr 3822  df-op 3824  df-uni 4017  df-iun 4096  df-br 4214  df-opab 4268  df-mpt 4269  df-id 4499  df-xp 4885  df-rel 4886  df-cnv 4887  df-co 4888  df-dm 4889  df-rn 4890  df-res 4891  df-ima 4892  df-iota 5419  df-fun 5457  df-fn 5458  df-f 5459  df-f1 5460  df-fo 5461  df-f1o 5462  df-fv 5463  df-ov 6085  df-oprab 6086  df-mpt2 6087  df-1st 6350  df-2nd 6351  df-rest 13651  df-topn 13652
  Copyright terms: Public domain W3C validator