MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  topnval Unicode version

Theorem topnval 13339
Description: Value of the topology extractor function. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
topnval.1  |-  B  =  ( Base `  W
)
topnval.2  |-  J  =  (TopSet `  W )
Assertion
Ref Expression
topnval  |-  ( Jt  B )  =  ( TopOpen `  W )

Proof of Theorem topnval
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5525 . . . . . 6  |-  ( w  =  W  ->  (TopSet `  w )  =  (TopSet `  W ) )
2 topnval.2 . . . . . 6  |-  J  =  (TopSet `  W )
31, 2syl6eqr 2333 . . . . 5  |-  ( w  =  W  ->  (TopSet `  w )  =  J )
4 fveq2 5525 . . . . . 6  |-  ( w  =  W  ->  ( Base `  w )  =  ( Base `  W
) )
5 topnval.1 . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  W
)
64, 5syl6eqr 2333 . . . . 5  |-  ( w  =  W  ->  ( Base `  w )  =  B )
73, 6oveq12d 5876 . . . 4  |-  ( w  =  W  ->  (
(TopSet `  w )t  ( Base `  w ) )  =  ( Jt  B ) )
8 df-topn 13328 . . . 4  |-  TopOpen  =  ( w  e.  _V  |->  ( (TopSet `  w )t  ( Base `  w ) ) )
9 ovex 5883 . . . 4  |-  ( Jt  B )  e.  _V
107, 8, 9fvmpt 5602 . . 3  |-  ( W  e.  _V  ->  ( TopOpen
`  W )  =  ( Jt  B ) )
1110eqcomd 2288 . 2  |-  ( W  e.  _V  ->  ( Jt  B )  =  (
TopOpen `  W ) )
12 0rest 13334 . . 3  |-  ( (/)t  B )  =  (/)
13 fvprc 5519 . . . . 5  |-  ( -.  W  e.  _V  ->  (TopSet `  W )  =  (/) )
142, 13syl5eq 2327 . . . 4  |-  ( -.  W  e.  _V  ->  J  =  (/) )
1514oveq1d 5873 . . 3  |-  ( -.  W  e.  _V  ->  ( Jt  B )  =  (
(/)t  B ) )
16 fvprc 5519 . . 3  |-  ( -.  W  e.  _V  ->  (
TopOpen `  W )  =  (/) )
1712, 15, 163eqtr4a 2341 . 2  |-  ( -.  W  e.  _V  ->  ( Jt  B )  =  (
TopOpen `  W ) )
1811, 17pm2.61i 156 1  |-  ( Jt  B )  =  ( TopOpen `  W )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    = wceq 1623    e. wcel 1684   _Vcvv 2788   (/)c0 3455   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Basecbs 13148  TopSetcts 13214   ↾t crest 13325   TopOpenctopn 13326
This theorem is referenced by:  topnid  13340  topnpropd  13341  symgtopn  14785  oppgtopn  14826  mgptopn  15334  resstopn  16916  prdstopn  17322  xrge0tsms  18339  om1opn  18534  xrge0tmdALT  23327  xrge0tsmsd  23382
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-rest 13327  df-topn 13328
  Copyright terms: Public domain W3C validator