MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  topnval Unicode version

Theorem topnval 13388
Description: Value of the topology extractor function. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
topnval.1  |-  B  =  ( Base `  W
)
topnval.2  |-  J  =  (TopSet `  W )
Assertion
Ref Expression
topnval  |-  ( Jt  B )  =  ( TopOpen `  W )

Proof of Theorem topnval
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5563 . . . . . 6  |-  ( w  =  W  ->  (TopSet `  w )  =  (TopSet `  W ) )
2 topnval.2 . . . . . 6  |-  J  =  (TopSet `  W )
31, 2syl6eqr 2366 . . . . 5  |-  ( w  =  W  ->  (TopSet `  w )  =  J )
4 fveq2 5563 . . . . . 6  |-  ( w  =  W  ->  ( Base `  w )  =  ( Base `  W
) )
5 topnval.1 . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  W
)
64, 5syl6eqr 2366 . . . . 5  |-  ( w  =  W  ->  ( Base `  w )  =  B )
73, 6oveq12d 5918 . . . 4  |-  ( w  =  W  ->  (
(TopSet `  w )t  ( Base `  w ) )  =  ( Jt  B ) )
8 df-topn 13377 . . . 4  |-  TopOpen  =  ( w  e.  _V  |->  ( (TopSet `  w )t  ( Base `  w ) ) )
9 ovex 5925 . . . 4  |-  ( Jt  B )  e.  _V
107, 8, 9fvmpt 5640 . . 3  |-  ( W  e.  _V  ->  ( TopOpen
`  W )  =  ( Jt  B ) )
1110eqcomd 2321 . 2  |-  ( W  e.  _V  ->  ( Jt  B )  =  (
TopOpen `  W ) )
12 0rest 13383 . . 3  |-  ( (/)t  B )  =  (/)
13 fvprc 5557 . . . . 5  |-  ( -.  W  e.  _V  ->  (TopSet `  W )  =  (/) )
142, 13syl5eq 2360 . . . 4  |-  ( -.  W  e.  _V  ->  J  =  (/) )
1514oveq1d 5915 . . 3  |-  ( -.  W  e.  _V  ->  ( Jt  B )  =  (
(/)t  B ) )
16 fvprc 5557 . . 3  |-  ( -.  W  e.  _V  ->  (
TopOpen `  W )  =  (/) )
1712, 15, 163eqtr4a 2374 . 2  |-  ( -.  W  e.  _V  ->  ( Jt  B )  =  (
TopOpen `  W ) )
1811, 17pm2.61i 156 1  |-  ( Jt  B )  =  ( TopOpen `  W )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    = wceq 1633    e. wcel 1701   _Vcvv 2822   (/)c0 3489   ` cfv 5292  (class class class)co 5900   Basecbs 13195  TopSetcts 13261   ↾t crest 13374   TopOpenctopn 13375
This theorem is referenced by:  topnid  13389  topnpropd  13390  symgtopn  14834  oppgtopn  14875  mgptopn  15383  resstopn  16972  prdstopn  17378  xrge0tsms  18391  om1opn  18587  xrge0tsmsd  23360  xrge0tmdALT  23400  tuslem  23463
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1537  ax-5 1548  ax-17 1607  ax-9 1645  ax-8 1666  ax-13 1703  ax-14 1705  ax-6 1720  ax-7 1725  ax-11 1732  ax-12 1897  ax-ext 2297  ax-rep 4168  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4225  ax-pr 4251  ax-un 4549
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1533  df-nf 1536  df-sb 1640  df-eu 2180  df-mo 2181  df-clab 2303  df-cleq 2309  df-clel 2312  df-nfc 2441  df-ne 2481  df-ral 2582  df-rex 2583  df-reu 2584  df-rab 2586  df-v 2824  df-sbc 3026  df-csb 3116  df-dif 3189  df-un 3191  df-in 3193  df-ss 3200  df-nul 3490  df-if 3600  df-sn 3680  df-pr 3681  df-op 3683  df-uni 3865  df-iun 3944  df-br 4061  df-opab 4115  df-mpt 4116  df-id 4346  df-xp 4732  df-rel 4733  df-cnv 4734  df-co 4735  df-dm 4736  df-rn 4737  df-res 4738  df-ima 4739  df-iota 5256  df-fun 5294  df-fn 5295  df-f 5296  df-f1 5297  df-fo 5298  df-f1o 5299  df-fv 5300  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpt2 5905  df-1st 6164  df-2nd 6165  df-rest 13376  df-topn 13377
  Copyright terms: Public domain W3C validator