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Theorem toponmre 17162
 Description: The topologies over a given base set form a Moore collection: the intersection of any family of them is a topology, including the empty (relative) intersection which gives the discrete topology distop 17065. (Contributed by Stefan O'Rear, 31-Jan-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 5-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
toponmre TopOn Moore

Proof of Theorem toponmre
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 toponuni 16997 . . . . . 6 TopOn
2 eqimss2 3403 . . . . . . 7
3 sspwuni 4179 . . . . . . 7
42, 3sylibr 205 . . . . . 6
51, 4syl 16 . . . . 5 TopOn
6 vex 2961 . . . . . 6
76elpw 3807 . . . . 5
85, 7sylibr 205 . . . 4 TopOn
98ssriv 3354 . . 3 TopOn
109a1i 11 . 2 TopOn
11 distopon 17066 . 2 TopOn
12 simpl 445 . . . . . . . . . . . . . 14 TopOn TopOn
1312sselda 3350 . . . . . . . . . . . . 13 TopOn TopOn
1413adantrl 698 . . . . . . . . . . . 12 TopOn TopOn
15 topontop 16996 . . . . . . . . . . . 12 TopOn
1614, 15syl 16 . . . . . . . . . . 11 TopOn
17 simpl 445 . . . . . . . . . . . . 13
18 intss1 4067 . . . . . . . . . . . . . 14
1918adantl 454 . . . . . . . . . . . . 13
2017, 19sstrd 3360 . . . . . . . . . . . 12
2120adantl 454 . . . . . . . . . . 11 TopOn
22 uniopn 16975 . . . . . . . . . . 11
2316, 21, 22syl2anc 644 . . . . . . . . . 10 TopOn
2423expr 600 . . . . . . . . 9 TopOn
2524ralrimiv 2790 . . . . . . . 8 TopOn
26 vex 2961 . . . . . . . . . 10
2726uniex 4708 . . . . . . . . 9
2827elint2 4059 . . . . . . . 8
2925, 28sylibr 205 . . . . . . 7 TopOn
3029ex 425 . . . . . 6 TopOn
3130alrimiv 1642 . . . . 5 TopOn
32 simpll 732 . . . . . . . . . . 11 TopOn TopOn
3332sselda 3350 . . . . . . . . . 10 TopOn TopOn
34 topontop 16996 . . . . . . . . . 10 TopOn
3533, 34syl 16 . . . . . . . . 9 TopOn
36 intss1 4067 . . . . . . . . . . 11
3736adantl 454 . . . . . . . . . 10 TopOn
38 simplrl 738 . . . . . . . . . 10 TopOn
3937, 38sseldd 3351 . . . . . . . . 9 TopOn
40 simplrr 739 . . . . . . . . . 10 TopOn
4137, 40sseldd 3351 . . . . . . . . 9 TopOn
42 inopn 16977 . . . . . . . . 9
4335, 39, 41, 42syl3anc 1185 . . . . . . . 8 TopOn
4443ralrimiva 2791 . . . . . . 7 TopOn
4526inex1 4347 . . . . . . . 8
4645elint2 4059 . . . . . . 7
4744, 46sylibr 205 . . . . . 6 TopOn
4847ralrimivva 2800 . . . . 5 TopOn
49 intex 4359 . . . . . . . 8
5049biimpi 188 . . . . . . 7
5150adantl 454 . . . . . 6 TopOn
52 istopg 16973 . . . . . 6
5351, 52syl 16 . . . . 5 TopOn
5431, 48, 53mpbir2and 890 . . . 4 TopOn
55543adant1 976 . . 3 TopOn
56 n0 3639 . . . . . . . . . . 11
5756biimpi 188 . . . . . . . . . 10
5857ad2antlr 709 . . . . . . . . 9 TopOn
5918sselda 3350 . . . . . . . . . . . . . . 15
6059ancoms 441 . . . . . . . . . . . . . 14
61 elssuni 4045 . . . . . . . . . . . . . 14
6260, 61syl 16 . . . . . . . . . . . . 13
6362adantl 454 . . . . . . . . . . . 12 TopOn
6413adantrl 698 . . . . . . . . . . . . 13 TopOn TopOn
65 toponuni 16997 . . . . . . . . . . . . 13 TopOn
6664, 65syl 16 . . . . . . . . . . . 12 TopOn
6763, 66sseqtr4d 3387 . . . . . . . . . . 11 TopOn
6867expr 600 . . . . . . . . . 10 TopOn
6968exlimdv 1647 . . . . . . . . 9 TopOn
7058, 69mpd 15 . . . . . . . 8 TopOn
7170ralrimiva 2791 . . . . . . 7 TopOn
72 unissb 4047 . . . . . . 7
7371, 72sylibr 205 . . . . . 6 TopOn
74733adant1 976 . . . . 5 TopOn
7512sselda 3350 . . . . . . . . . 10 TopOn TopOn
76 toponuni 16997 . . . . . . . . . 10 TopOn
7775, 76syl 16 . . . . . . . . 9 TopOn
78 topontop 16996 . . . . . . . . . 10 TopOn
79 eqid 2438 . . . . . . . . . . 11
8079topopn 16984 . . . . . . . . . 10
8175, 78, 803syl 19 . . . . . . . . 9 TopOn
8277, 81eqeltrd 2512 . . . . . . . 8 TopOn
8382ralrimiva 2791 . . . . . . 7 TopOn
84833adant1 976 . . . . . 6 TopOn
85 elintg 4060 . . . . . . 7
86853ad2ant1 979 . . . . . 6 TopOn
8784, 86mpbird 225 . . . . 5 TopOn
88 unissel 4046 . . . . 5
8974, 87, 88syl2anc 644 . . . 4 TopOn
9089eqcomd 2443 . . 3 TopOn
91 istopon 16995 . . 3 TopOn
9255, 90, 91sylanbrc 647 . 2 TopOn TopOn
9310, 11, 92ismred 13832 1 TopOn Moore
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 178   wa 360   w3a 937  wal 1550  wex 1551   wceq 1653   wcel 1726   wne 2601  wral 2707  cvv 2958   cin 3321   wss 3322  c0 3630  cpw 3801  cuni 4017  cint 4052  cfv 5457  Moorecmre 13812  ctop 16963  TopOnctopon 16964 This theorem is referenced by:  topmtcl  26406 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-id 4501  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fv 5465  df-mre 13816  df-top 16968  df-topon 16971
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