MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  toponss Unicode version

Theorem toponss 16683
Description: A member of a topology is a subset of its underlying set. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
toponss  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  e.  J )  ->  A  C_  X )

Proof of Theorem toponss
StepHypRef Expression
1 elssuni 3871 . . 3  |-  ( A  e.  J  ->  A  C_ 
U. J )
21adantl 452 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  e.  J )  ->  A  C_ 
U. J )
3 toponuni 16681 . . 3  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  =  U. J )
43adantr 451 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  e.  J )  ->  X  =  U. J )
52, 4sseqtr4d 3228 1  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  e.  J )  ->  A  C_  X )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696    C_ wss 3165   U.cuni 3843   ` cfv 5271  TopOnctopon 16648
This theorem is referenced by:  en2top  16739  iscnp3  16990  cnntr  17020  cncnp  17025  isreg2  17121  connsub  17163  iunconlem  17169  concompclo  17177  1stccnp  17204  kgenidm  17258  tx1cn  17319  tx2cn  17320  xkoccn  17329  txcnp  17330  ptcnplem  17331  xkoinjcn  17397  idqtop  17413  qtopss  17422  kqfvima  17437  kqsat  17438  kqreglem1  17448  kqreglem2  17449  qtopf1  17523  fbflim  17687  flimcf  17693  flimrest  17694  isflf  17704  fclscf  17736  subgntr  17805  ghmcnp  17813  divstgpopn  17818  divstgplem  17819  tsmsxplem1  17851  tsmsxp  17853  mopnss  18008  xrtgioo  18328  lebnumlem2  18476  cfilfcls  18716  iscmet3lem2  18734  dvres3a  19280  dvmptfsum  19338  dvcnvlem  19339  dvcnv  19340  efopn  20021  dvatan  20247  cnllyscon  23791  cvmlift2lem9a  23849  altretop  25703
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fv 5279  df-topon 16655
  Copyright terms: Public domain W3C validator