MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  toponss Structured version   Unicode version

Theorem toponss 16994
Description: A member of a topology is a subset of its underlying set. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
toponss  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  e.  J )  ->  A  C_  X )

Proof of Theorem toponss
StepHypRef Expression
1 elssuni 4043 . . 3  |-  ( A  e.  J  ->  A  C_ 
U. J )
21adantl 453 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  e.  J )  ->  A  C_ 
U. J )
3 toponuni 16992 . . 3  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  =  U. J )
43adantr 452 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  e.  J )  ->  X  =  U. J )
52, 4sseqtr4d 3385 1  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  e.  J )  ->  A  C_  X )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    C_ wss 3320   U.cuni 4015   ` cfv 5454  TopOnctopon 16959
This theorem is referenced by:  en2top  17050  neiptopreu  17197  iscnp3  17308  cnntr  17339  cncnp  17344  isreg2  17441  connsub  17484  iunconlem  17490  concompclo  17498  1stccnp  17525  kgenidm  17579  tx1cn  17641  tx2cn  17642  xkoccn  17651  txcnp  17652  ptcnplem  17653  xkoinjcn  17719  idqtop  17738  qtopss  17747  kqfvima  17762  kqsat  17763  kqreglem1  17773  kqreglem2  17774  qtopf1  17848  fbflim  18008  flimcf  18014  flimrest  18015  isflf  18025  fclscf  18057  subgntr  18136  ghmcnp  18144  divstgpopn  18149  divstgplem  18150  tsmsxplem1  18182  tsmsxp  18184  ressusp  18295  mopnss  18476  xrtgioo  18837  lebnumlem2  18987  cfilfcls  19227  iscmet3lem2  19245  dvres3a  19801  dvmptfsum  19859  dvcnvlem  19860  dvcnv  19861  efopn  20549  dvatan  20775  cnllyscon  24932  cvmlift2lem9a  24990
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fv 5462  df-topon 16966
  Copyright terms: Public domain W3C validator