MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  topontop Structured version   Unicode version

Theorem topontop 16991
Description: A topology on a given base set is a topology. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
topontop  |-  ( J  e.  (TopOn `  B
)  ->  J  e.  Top )

Proof of Theorem topontop
StepHypRef Expression
1 istopon 16990 . 2  |-  ( J  e.  (TopOn `  B
)  <->  ( J  e. 
Top  /\  B  =  U. J ) )
21simplbi 447 1  |-  ( J  e.  (TopOn `  B
)  ->  J  e.  Top )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1652    e. wcel 1725   U.cuni 4015   ` cfv 5454   Topctop 16958  TopOnctopon 16959
This theorem is referenced by:  toponmax  16993  topontopi  16996  topgele  16999  istps  17001  en2top  17050  pptbas  17072  toponmre  17157  cldmreon  17158  iscldtop  17159  neiptopreu  17197  resttopon  17225  resttopon2  17232  restlp  17247  restperf  17248  perfopn  17249  ordtopn3  17260  ordtcld1  17261  ordtcld2  17262  ordttop  17264  lmfval  17296  cnfval  17297  cnpfval  17298  tgcn  17316  tgcnp  17317  subbascn  17318  iscnp4  17327  iscncl  17333  cncls2  17337  cncls  17338  cnntr  17339  cncnp  17344  cnindis  17356  lmcls  17366  iscnrm2  17402  ist0-2  17408  ist1-2  17411  ishaus2  17415  hausnei2  17417  isreg2  17441  sscmp  17468  dfcon2  17482  clscon  17493  concompcld  17497  1stccnp  17525  kgenval  17567  kgenftop  17572  1stckgenlem  17585  kgen2ss  17587  txtopon  17623  pttopon  17628  txcls  17636  ptclsg  17647  dfac14lem  17649  xkoccn  17651  txcnp  17652  ptcnplem  17653  txlm  17680  cnmpt2res  17709  cnmptkp  17712  cnmptk1  17713  cnmpt1k  17714  cnmptkk  17715  cnmptk1p  17717  cnmptk2  17718  xkoinjcn  17719  qtoptopon  17736  qtopcld  17745  qtoprest  17749  qtopcmap  17751  kqval  17758  regr1lem  17771  kqreglem1  17773  kqreglem2  17774  kqnrmlem1  17775  kqnrmlem2  17776  kqtop  17777  pt1hmeo  17838  xpstopnlem1  17841  xkohmeo  17847  neifil  17912  trnei  17924  elflim  18003  flimss1  18005  flimopn  18007  fbflim2  18009  flimcf  18014  flimclslem  18016  flffval  18021  flfnei  18023  flftg  18028  cnpflf2  18032  isfcls2  18045  fclsopn  18046  fclsnei  18051  fclscf  18057  fclscmp  18062  fcfval  18065  fcfnei  18067  cnpfcf  18073  tgpmulg2  18124  tmdgsum  18125  tmdgsum2  18126  subgntr  18136  opnsubg  18137  clssubg  18138  clsnsg  18139  cldsubg  18140  snclseqg  18145  tgphaus  18146  divstgpopn  18149  prdstgpd  18154  tsmsgsum  18168  tsmsid  18169  tgptsmscld  18180  mopntop  18470  metdseq0  18884  cnmpt2pc  18953  ishtpy  18997  om1val  19055  pi1val  19062  csscld  19203  clsocv  19204  relcmpcmet  19269  bcth2  19283  limcres  19773  perfdvf  19790  dvaddbr  19824  dvmulbr  19825  dvcmulf  19831  dvmptres2  19848  dvmptcmul  19850  dvmptntr  19857  dvcnvlem  19860  lhop2  19899  lhop  19900  dvcnvrelem2  19902  taylthlem1  20289  locfincf  26386  neibastop2  26390  neibastop3  26391  topjoin  26394  istopclsd  26754
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fv 5462  df-topon 16966
  Copyright terms: Public domain W3C validator