MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  topontopn Unicode version

Theorem topontopn 16680
Description: Express the predicate "is a topological space." (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tsettps.a  |-  A  =  ( Base `  K
)
tsettps.j  |-  J  =  (TopSet `  K )
Assertion
Ref Expression
topontopn  |-  ( J  e.  (TopOn `  A
)  ->  J  =  ( TopOpen `  K )
)

Proof of Theorem topontopn
StepHypRef Expression
1 toponuni 16665 . . . 4  |-  ( J  e.  (TopOn `  A
)  ->  A  =  U. J )
2 eqimss2 3231 . . . 4  |-  ( A  =  U. J  ->  U. J  C_  A )
31, 2syl 15 . . 3  |-  ( J  e.  (TopOn `  A
)  ->  U. J  C_  A )
4 sspwuni 3987 . . 3  |-  ( J 
C_  ~P A  <->  U. J  C_  A )
53, 4sylibr 203 . 2  |-  ( J  e.  (TopOn `  A
)  ->  J  C_  ~P A )
6 tsettps.a . . 3  |-  A  =  ( Base `  K
)
7 tsettps.j . . 3  |-  J  =  (TopSet `  K )
86, 7topnid 13340 . 2  |-  ( J 
C_  ~P A  ->  J  =  ( TopOpen `  K
) )
95, 8syl 15 1  |-  ( J  e.  (TopOn `  A
)  ->  J  =  ( TopOpen `  K )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1623    e. wcel 1684    C_ wss 3152   ~Pcpw 3625   U.cuni 3827   ` cfv 5255   Basecbs 13148  TopSetcts 13214   TopOpenctopn 13326  TopOnctopon 16632
This theorem is referenced by:  tsettps  16681  xrstopn  16938  cnfldms  18285  cnfldtopn  18291
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-rest 13327  df-topn 13328  df-topon 16639
  Copyright terms: Public domain W3C validator